Finite Elemente in der Bruchmechanik

Das Wort „Bruch“ bezeichnet die Trennung des Materialzusammenhalts in einem festen Körper. Auf der Ebene der Mikrostruktur des Materials kommt es zur Trennung der Atombindungen, was zur Entstehung von Anrissen führt. Die globale Erscheinungsform des Bruchs auf makroskopischer Ebene besteht in der Bildung und Ausbreitung eines oder mehrerer Risse im Körper, wodurch schließlich das totale mechanische Versagen herbeigeführt wird. Auf dieser Ebene können Bruchvorgänge erfolgreich mit den Methoden der Festkörpermechanik und Festigkeitslehre beschrieben werden. Die technischen Konstruktionen, Maschinen und Anlagen der Menschheit sind seit jeher und immer wieder mit Problemen der Bruchsicherheit und Lebensdauerkonfrontiert und stellten zu allen Zeiten eine Herausforderung für das Ingenieurwesen dar. Spontaner Bruch ist die gefährlichste Versagensart einer mechanisch beanspruchten Konstruktion! Es wird eine Einordnung der Fachgebiete Bruchmechanik, Schädigungsmechanik und Betriebsfestigkeit gegeben. Abschließend werden aktuelle relevante Bücher des engeren Fachgebietes empfohlen.

Bruchvorgänge werden nach recht unterschiedlichen Gesichtspunkten eingeteilt. Die Gründe dafür liegen in der enormen Vielfalt, mit der Bruchvorgänge in Erscheinung treten, und in den verschiedenartigen Ursachen, die zum Versagen führen. In erster Linie hängt der Bruch von den Eigenschaften des betrachteten Werkstoffs ab, weshalb die auf mikrostruktureller Ebene ablaufenden Zerstörungsprozesse im Material die charakteristische Erscheinungsform bestimmen. Diese mikroskopischen Strukturen und Versagensmechanismen variieren innerhalb der Palette technischer Werkstoff in vielfältiger Weise. Genauso bedeutsam für das Bruchverhalten ist jedoch auch die Art der äußeren Belastung des Bauteils. Nach dieser Kategorie kann man z. B. Brüche bei statischer, dynamischer oder zyklischer Belastung unterscheiden. Weitere wichtige Einflussgrößen auf den Bruchvorgang sind die Temperatur, die Mehrachsigkeit der Beanspruchung, die Verformungsgeschwindigkeit und die chemischen Umgebungsbedingungen. Die unterschiedlichen Brucharten werden anschaulich anhand mikroskopischer Aufnahmen und mit Bildern spektakulärer technischer Schadensfälle illustriert.

In diesem Kapitel werden wesentliche Grundlagen der Höheren Festigkeitslehre und Kontinuumsmechanik dargelegt. Es handelt sich um eine komprimierte Zusammenstellung der wesentlichen Begriffe und Beziehungen, die für das Verständnis des Buches notwendig sind, ohne Herleitungen anzugeben. Zunächst wird die Kinematik des deformierbaren Körpers mit infinitesimalen und finiten Verformungen abgehandelt. Danach folgt die Beschreibung des Spannungszustandes in der Ausgangs- und Momentankonfiguration, sowie der statischen Gleichgewichtsbedingungen. Ausführlich werden die isotropen und anisotropen elastischen Materialgesetze eingeführt. Die Beziehungen der elastisch-plastischen Materialtheorie inkl. der Fließbedingungen und Verfestigungsarten sind Gegenstand eines weiteren Abschnitts. Danach wird der gesamte Satz von partiellen Differentialgleichungen für die Behandlung ebener und räumlicher Randwertaufgaben der Festigkeitslehre zusammengestellt. Insbesondere wird auf die Methode der komplexen Spannungsfunktionen zur Lösung ebener Randwertaufgaben in der Bruchmechanik eingegangen.

In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der Bruchmechanik dargelegt. Hauptanliegen ist die Beschreibung der verfügbaren kontinuumsmechanischen Lösungen für Risse. Auf der Grundlage der so ermittelten Spannungs- und Verformungszustände werden dann geeignete Kenngrößen ausgewählt, welche die Beanspruchungssituation an Rissen eindeutig beschreiben. Diese Beanspruchungsparameter bzw. Bruchkenngrößen bilden die Grundlage für die Formulierung von Bruchkriterien, womit das Verhalten der Risse quantitativ bewertet werden kann. Diese meist geschlossenen mathematischen Lösungen stellen die Voraussetzung dar, um die Bruchkenngrößen später mit numerischen Methoden berechnen zu können. Selbstverständlich basieren auch die experimentellen Prüfmethoden der Bruchmechanik zur Ermittlung der Werkstoffkennwerte auf dem Verständnis der Beanspruchungssituation. Im Einzelnen werden die linear-elastische Bruchmechanik spröder Werkstoffe behandelt, die Zähbruchmechanik duktiler Werkstoffe, die Ermüdungsrissausbreitung unter zyklische Belastung und dynamische Bruchvorgänge.

Die Finite Elemente Methode (FEM) zählt gegenwärtig zu den leistungsfähigsten und universellsten numerischen Berechnungsverfahren für die Lösung partieller Differentialgleichungen aus Technik und Naturwissenschaften. In diesem Kapitel werden zuerst einige Variationsprinzipien der Kontinuumsmechanik dargelegt, um die theoretischen Grundlagen der FEM zu erläutern. Besonderheit ist die Abhandlung hybrider, gemischter Variationsprinzipien, die für spezielle Risselemente in der Bruchmechanik sehr geeignet sind. Danach erfolgt eine knappe Darstellung der Diskretisierungstechniken mit den isoparametrischen Elementansätzen und der numerischen Realisierung der FEM. Die Algorithmen für nichtlineares Materialverhalten, für geometrisch nichtlineare Aufgaben und für dynamische explizite Berechnungen werden vorgestellt. Diese Ausführungen stellen die Basis für das Verständnis der folgenden Kapitel dar, in denen dann die Anwendung der FEM in der Bruchmechanik ausführlich behandelt wird.

Ziel der FEM-Analyse ist die Berechnung der bruchmechanischen Beanspruchungsparameter für einen Riss in einer Struktur (Prüfkörper, Bauteil, Werkstoffgefüge) bei linear-elastischem (isotropem oder anisotropem) Materialverhalten. Die gesuchten Beanspruchungsparameter der Linear Elastischen Bruchmechanik LEBM sind: Die Spannungsintensitätsfaktoren K_I, K_II, K_III und die Energiefreisetzungsrate G bzw. das J-Integral. Ihre Werte hängen von der Geometrie der Struktur, ihrer Belastung, der Länge und Form des Risses sowie von den elastischen Materialeigenschaften ab. Bei der Anwendung der FEM auf Rissprobleme besteht eine grundlegende Schwierigkeit. Diese liegt in der exakten Erfassung der Singularität an der Rissspitze mit Hilfe eines numerischen Näherungsverfahrens. Die üblichen Finite-Elemente-Typen besitzen nur reguläre Polynomansätze für die Verschiebungen und Spannungen. Sie können deshalb die Risssingularität nur schlecht wiedergeben. Aus diesem Grunde sind spezielle Elementansätze, numerische Algorithmen oder energiebasierte Auswertetechniken erforderlich, um aus einer FEM-Lösung die Beanspruchungskenngrößen effizient und genau zu gewinnen. In diesem Kapitel werden die dafür entwickelten Methoden vorgestellt, wobei wir uns hauptsächlich auf stationäre Risse in ebenen und räumlichen Strukturen konzentrieren.

Ausgehend von den Pionierarbeiten Eshelbys, der die thermodynamischen Kräfte auf Defekte in Festkörpern untersuchte, hat sich in den vergangenen 50 Jahren eine neue Theorie der verallgemeinerten Energiebilanzintegrale oder auch „Konfigurationskräfte“ herausgebildet. Energiebilanzintegrale vom Typ des J-Integrals wurden für nahezu alle Aufgaben der Bruchmechanik entwickelt und angewandt. Das wurde für Risse in heterogenen, gradierten und anisotropen elastischen Strukturen unter thermischen, Rissufer-, Gewichts- und Trägheitsbelastungen ausführlich dargelegt. Auch die Verifikationsbeispiele demonstrieren die Leistungsfähigkeit der J-Integrale im Vergleich zu anderen FEM-Techniken. Darüber hinaus gilt als erwiesen und anerkannt, dass die Verallgemeinerungen des J-Integrals sehr universelle und aussagekräftige Beanspruchungskenngrößen für Risse darstellen. Der wesentliche Grund dafür ist in der einheitlichen physikalischen Interpretation als Energiefreisetzungsrate in elastischen konservativen Systemen bzw. als Energiefluss in die Prozesszone bei dissipativen nichtkonservativen Systemen zu finden. Besonders im Hinblick auf die numerische Berechnung besitzen die Energiebilanzintegrale gegenüber anderen Verfahren zur Bestimmung der Bruchkenngrößen erhebliche Vorteile.

Die Extended (»erweiterte«) Finite Element Methode XFEM wurde speziell für die Analyse von Strukturen mit Diskontinuitäten und Singularitäten entwickelt und bietet sich deshalb für die Behandlung bruchmechanischer Probleme an. Die Idee der XFEM beruht auf der Erweiterung der FEM-Ansatzfunktionen, um bekannte analytische Lösungen mit Diskontinuitäten einbauen zu können. Hierbei wird die so genannte »partition of unity« Methode genutzt, bei der die regulären Formfunktionen der Elemente durch so genannte Anreicherungsfunktionen (engl. enrichement functions) ergänzt werden. Dadurch wird auch die Kompatibilität mit Standardelementen gewährleistet. Für die Modellierung von gerissenen Strukturen kann somit innerhalb eines Elementes der Verschiebungssprung über die Rissufer nachgebildet werden. Außerdem wird das asymptotische Verschiebungsfeld nahe der Rissspitze durch spezielle Anreicherungsfunktionen innerhalb eines Elementes eingebaut. Auf diese Weise ist es möglich, durch sukzessive Anpassung der Formfunktionen in einem bestehenden FEM-Netz die Ausbreitung eines Risses zu modellieren. Der bestechende Vorteil der XFEM liegt darin, dass bei der Analyse von Rissproblemen keine Neuvernetzung erforderlich ist, sondern der Anwender sein vorhandenes strukturmechanisches FEM-Modell weiter nutzen kann und den Riss nachträglich mit Hilfe der XFEM an der gewünschten Stelle berücksichtigt.

Für die Beanspruchungsanalyse von Risskonfigurationen in elastisch-plastischen Materialien ist die FEM ein unverzichtbares Instrument geworden, da die physikalisch und evtl. geometrisch nichtlinearen Randwertaufgaben für Prüfkörper und Bauteile mit analytischen Methoden nicht lösbar sind. Als Materialmodelle kommen überwiegend inkrementelle Plastizitätsgesetze mit verschiedenen Verfestigungsarten in Betracht. Ziel der Berechnungen ist auch hier die Bestimmung der bruchmechanischen Beanspruchungsparameter für duktile Rissinitiierung und Rissausbreitung. Dafür haben sich die Rissöffnungsverschiebung CTOD, der Rissöffnungswinkel, das J-Integral sowie die Mehrachsigkeitsparameter T und Q bewährt. In der Zähbruchmechanik beeinflussen eine Vielzahl von Modellparametern (Geometrie, Belastungshöhe, Materialverhalten) das Ergebnis auf unterschiedliche, komplexe Weise, so dass man mit Sorgfalt arbeiten muss. Auch die bruchmechanische Interpretation der numerischen Resultate erfordert ein ausreichendes Verständnis der Konzepte und Methoden. Die entwickelten Methoden werden am Beispiel der Kompakt-Zug-Probe und einem Plattenzugversuch mit Oberflächenriss demonstriert.

Die Vorhersage des Ausbreitungsvorgangs von Rissen ist für viele bruchmechanische Fragestellungen von Bedeutung. Die numerische Simulation bietet zur Lösung dieser Aufgaben hervorragende Möglichkeiten und hat sich zu einem unentbehrlichen Werkzeug entwickelt. Ein besonders hohes technisches Interesse besteht an der Modellierung des unterkritischen Wachstums von Ermüdungsrissen, der stabilen Rissausbreitung in duktilen Werkstoffen und von instabilen dynamischen Bruchvorgängen. Die Bruchmechanik stellt für diese Fälle Kriterien und Gesetzmäßigkeiten bereit, die festlegen, bei welcher Belastung die Rissausbreitung beginnt, in welcher Richtung die Rissausbreitung erfolgt und wie groß der Betrag des Risswachstums ist. Die Aufgabe der numerischen Simulation besteht somit darin, diese Gesetze im Rahmen des FEM-Lösungsalgorithmus umzusetzen. Aus kontinuumsmechanischer Sicht bedeutet Risswachstum die Änderung der Geometrie und Randbedingungen, weil hierdurch neue Ränder (Rissufer) entstehen. Daraus ergibt sich auch für die FEM-Analyse das Problem, die geometrische Diskretisierung beim Risswachstum fortlaufend zertrennen oder anpassen zu müssen. Für diesen Zweck wurden verschiedene Techniken entwickelt, die im Folgenden dargestellt und diskutiert werden. Vorgestellt werden die Element-Trenntechnik, mitbewegte Risselemente, adaptive Vernetzungsstrategien und Submodelltechniken. Zahlreiche Beispiele runden das Kapitel ab.

Der Begriff „Schädigung“ (engl. damage) beschreibt die fortschreitende physikalische Zerrüttung eines Werkstoffs als Folge von Beanspruchung, Verformung und Umgebungseinflüssen. Im Rahmen der Schädigungsmechanik (engl. continuum damage mechanics) versucht man, diese Schädigungsprozesse mit den Methoden der Kontinuumsmechanik quantitativ zu beschreiben und zu modellieren. Auf der Grundlage thermodynamischer Prinzipien wird zusätzlich zum elastischen oder plastischen Verformungsverhalten die Materialschädigung einbezogen. Die mikromechanischen Defekte werden nicht diskret, sondern als gemittelte Dichtefunktion pro Volumen oder Fläche erfasst. Zu ihrer Quantifizierung werden interne Zustandsvariablen – Schädigungsvariablen- in die Materialgesetze eingeführt. Die Veränderung der Schädigung als Folge der lokalen Beanspruchungen wird über ein Evolutionsgesetz ausgedrückt. Wenn die Schädigungsvariable eine kritische Grenze erreicht hat, gilt das Volumenelement als versagt. Bekannte und bewährte Modelle der duktilen Schädigungsmechanik (Gurson, Rousselier) werden vorgestellt und ihre erfolgreiche Anwendung auf duktile Bruchvorgänge mit Beispielen erörtert. Wichtig für die praktische Anwendung ist die Kenntnis der der zahlreichen Materialparameter dieser Schädigungsmodelle. Es werden geeignete Methoden zur Identifikation dieser Materialparameter vorgestellt.

Die Phasenfeldmethode (engl. phase field method ) wurde ursprünglich in den Materialwissenschaften entwickelt, um physikalische Prozesse der Entwicklung von Phasen und Grenzflächen in Materialien zu simulieren. Typische Anwendungsfelder der Phasenfeldmethode sind Erstarrungsvorgänge, Diffusionsprozesse oder Phasenumwandlungen in Metallen und Keramiken. Zur Beschreibung der räumlichen Verteilung und zeitlichen Entwicklung der Phasen benutzt die Phasenfeldmethode eine stetige Funktion des so genannten Ordnungsparameters. Seit ca. 20 Jahren wird die Phasenfeldmethode auch erfolgreich für die Modellierung und Simulation von Bruchvorgängen eingesetzt und hat aufgrund ihrer vielseitigen Möglichkeiten inzwischen einen Boom von Publikationen und Modellvarianten ausgelöst. Der Grundgedanke besteht darin, den Riss nicht als scharfe Diskontinuität abzubilden, sondern ihn als kontinuierlichen Übergang zwischen intaktem und defektem Materialzustand mit Hilfe eines weiteren Feldes, dem Ordnungsparameter, zu beschreiben. Dieser Ordnungsparameter entwickelt sich mit der Belastung des Körpers und wird durch ein Energiefunktional gesteuert. Dadurch ist die FEM-Simulation von Bruchvorgängen nicht mehr an die numerische Diskretisierung der Vernetzung gebunden, was erhebliche Vorteile verspricht. Die Phasenfeld-Modellierung von Bruchvorgängen benötigt keine vordefinierten Risse, so dass sich Rissentstehung, -wachstum oder -verzweigung automatisch einstellen können. Das ist allerdings mit einem extremen numerischen Aufwand verbunden, da eine sehr feine FEM-Diskretisierung im Bereich des Risses benötigt wird, um die hohen Feldgradienten genau genug aufzulösen.

Spröde Werkstoffe besitzen eine geringe Bruchzähigkeit und versagen durch einen verformungsarmen spontanen Gewaltbruch. Charakteristisch für diese Werkstoffe ist eine starke Streuung der gemessenen Festigkeitswerte. Außerdem wurde in zahlreichen Experimenten eine Abhängigkeit der Festigkeit von der Probengröße beobachtet - ein stochastischer Größeneffekt. Die Ursache dafür ist die Existenz von Mikrodefekten, deren Versagen von zufälligen, statistisch verteilten Eigenschaften wie Größe, Orientierung, der lokalen Bruchspannung u.a. abhängt. Diese Streuung der lokalen Festigkeit wirkt sich beim Sprödbruch sofort auch global aus, da das Versagen eines Mikrodefektes meist auch den Bruch der gesamten Struktur auslöst. Dadurch wird die quantitative Erfassung und Bewertung der Versagenslasten bei Bauteilen und Prüfkörpern aus diesen Werkstoffen erschwert. Anstelle von deterministischen Aussagen sind deshalb nur wahrscheinlichkeitstheoretische Bewertungskonzepte auf der Basis der o.g. statistischen Einflussfaktoren möglich. Eine zentrale Bedeutung hat die so genannte Weibull-Statistik, womit man die Streubreite und die Versagenswahrscheinlichkeit quantitativ beschreiben kann. Es werden die theoretischen Grundlagen der Weibull-Verteilung dargestellt und die Methodik zur Ermittlung ihrer Parameter anhand einer Versuchsserie. Die Anwendung des Konzeptes wird am Beispiel des Sprödbruchs einer Hochleistungskeramik und dem Versagen von ferritischem Stahl bei niedrigen Temperaturen demonstriert. Abschließend wird das so genannte Master-Curve Konzept der Bruchmechanik zur Charakterisierung der Bruchfestigkeit von Metallen in der Zähigkeits-Tieflage erörtert.

Das Kapitel enthält drei Beispiele für die Anwendung der vorgestellten numerischen Berechnungsmethoden für Risse aus der ingenieurtechnischen Praxis des Autors. Im ersten Teil werden Bruchsicherheit und Lebensdauer eines Eisenbahnrades aus duktilem Gusseisen unter relevanten Betriebsbelastungen bewertet. Ziel der Untersuchungen war es, für das Rad kritische Rissgrößen oder zulässiger Grenzmaße der Belastung abzuleiten, sowie geeignete Überwachungskonzepte festzulegen. Auf der Basis von FEM-Rechnungen und Werkstoffkennwerten wurde der bruchmechanische Sicherheitsnachweis bei typischen Gussfehlern erbracht, und die Lebensdauer bei Annahme eines Ermüdungsrisswachstums bestimmt.

Im zweiten Teil wird die Bruchsicherheit eines Transportbehälters für radioaktiven Abfall untersucht, der einem Fall aus 9 Meter Höhe ausgesetzt war. Dafür wurde eine dynamische FEM-Analyse des Behälterfallversuchs durchgeführt, der einen hypothetischen Anriss an der höchst belasteten Stelle besaß.

Im dritten Teil geht es um die Bruchsicherheit von Schweißverbindungen in Gasrohrleitungen. Wenn bei der zerstörungfreien Inspektionen Schweißnahtfehler gefunden werden, müssen diese bruchmechanisch bewertet werden. Dafür wurde auf Basis des FAD-Konzeptes ein computergestütztes Bewertungssystem entwickelt, das anhand der Werkstoffdaten und Belastungsfälle die Sicherheit gegen Bruch berechnet. Das Konzept wurde an einem Bauteilversuch verifiziert.