Skip to main content
main-content

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung
Die Methode der Finiten Elemente (FEM) kann als ein numerisches Berechnungsverfahren zur Lösung von Problemen der mathematischen Physik angesehen werden. Der überbegriff mathematische Physik soll die Allgemein-gültigkeit der Methode verdeutlichen.
Michael Link

2. Der Grundgedanke der Methode der finiten Elemente

Zusammenfassung
Der Grundgedanke der FE-Methode sei an einem einfachen Fachwerk (Bild 2.1) erläutert. Für dieses seien die Verschiebungen der Knotenpunkte und die Normalkräfte unter der Wirkung von statischen äußeren Lasten gesucht. Ein Element wird hier von einem Zug-Druckstab mit gelenkigen Enden gebildet. Sein elastomechanisches Verhalten ist gekennzeichnet durch die Beziehung zwischen den Kräften f1, f2 und den Verschiebungen u1, u2 an den Stabenden. Die Verschiebungen nennt man auch Freiheitsgrade (FHG) des Stabelementes. Wir bemerken ferner, daß die Freiheitsgrade in Richtung der Stabachse angetragen sind. Die Stabachse stellt das sogenannte lokale Koordinatensystem dar. Außerdem definieren wir ein globales XY-Koordinatensystem, das die Richtung der Freiheitsgrade für das Gesamtsystem angibt. In dem lokalen Koordinatensystem können nun die Kraft-Verschiebungsbeziehungen nach den elementaren Beziehungen der Mechanik aufgestellt werden.
Michael Link

3. Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Zusammenfassung
Die Grundgleichungen werden hier für den zweidimensionalen Fall abgeleitet. Die Erweiterungen auf dem dreidimensionalen Fall werden formal angegeben. Alle Sonderformen von Tragwerkselementen, zu denen unsere technisch wichtigen Elemente wie z. B. Stab und Scheibe gehören, ergeben sich aus Vereinfachungen dieser Grundgleichungen durch entsprechende Annahmen über Kraft- und Verschiebungsverlauf. Es werden nur die Grundgleichungen abgeleitet, ohne daß wir auf ihre Lösung eingehen wollen. Die Grundgleichungen sind gekoppelte partielle Differentialgleichungen, deren direkte Lösung im allgemeinen nicht möglich ist und auch nicht in diesen Rahmen gehört.
Michael Link

4. Die Finite Elemente Methode als verallgemeinertes Verfahren von Ritz

Zusammenfassung
Die mathematische Begründung der FEM erfolgt hier auf der Grundlage des Energieprinzips δΠ = 0 in Verbindung mit dem Ritzschen Verfahren. Es muß also zunächst ein angenähertes Energiefunktional für ein Gesamttragwerk aufgebaut werden. Diese Betrachtungsweise hat den Vorteil, daß man die Konvergenzeigenschaften des Ritzschen Verfahrens und die Bedingungen dafür auch für die FEM angeben kann. Dies ist wichtig zu wissen, da die Ansatzfunktionen manchmal exakt sein können, z.B. als Lösung der zugehörigen Eulerschen Differentialgleichung. Damit kann auch die gesamte FEM-Lösung als exakte Lösung angesehen werden (z.B. bei Balkentragwerken). In anderen Fällen (z.B. bei Scheiben) stellen die Ansatzfunktionen nur Näherungen dar, auf deren Güte man zu achten hat. Eine wichtige Grundidee bei der FEM ist die Überlegung, an Stelle der unbekannten Ansatzkoeffizienten ai, die keine direkte anschauliche Bedeutung haben, die Verschiebungsfreiheitsgrade U einer beliebig großen Zahl von Punkten auf dem Tragwerk als Ansatzkoeffizienten zu wählen
Michael Link

5. Elementsteifigkeitsmatrizen

Zusammenfassung
Die im Kap. 4 abgeleiteten Gln.behalten natürlich auch im Sonderfall, daß das Tragwerk nur aus einem Element besteht, ihre Gültigkeit. Die Koinzidenzmatrix T~ ist in diesem Fall gleich der Einheitsmatrix.
Michael Link

6. Äquivalente Lastvektoren für vertikale Lasten und Temperaturänderungen

Zusammenfassung
Bei der Darstellung äußerer Lasten waren wir bislang davon ausgegangen, daß diese nur als Einzelkräfte an den Knotenpunkten angreifen. Im Fall, daß verteilte Lasten (z.B. Eigengewicht) auftreten, müßten diese in geeigneter Weise (z.B. nach dem Hebelgesetz) auf die Knoten verteilt werden. Die Genauigkeit dieser Darstellung könnte einfach durch Erhöhung der Zahl der Knotenpunkte erzielt werden, was eine entsprechende Erhöhung der Ordnung des zu lösenden Gleichungssystems (Rechenaufwand) als auch eine Erhöhung des Aufwands bei der Erstellung der Programmeingabedaten (Modellaufwand) zur Folge hat.
Michael Link

7. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen in der Dynamik, Hamiltonsches Prinzip und Bewegungsgleichungen

Zusammenfassung
Bisher galten alle Betrachtungen für den Fall statischer Lasten. Wir wollen nun auch dynamische, d.h. zeitveränderliche Lasten zulassen. Diese treten bei realen technischen Konstruktionen in vielfältiger Form auf. Man klassifiziert zunächst den zeitlichen Verlauf der Lasten (in der Strukturdynamik meist “Erregung” genannt) in periodisch (Sonderfall:harmonisch = sinusförmig) und nicht-periodisch. Typische harmonische Erregungen entstehen durch die Unwucht eines Rotors oder die Wirbelablösung an einem zylindrischen Baukörper unter Windbelastung. Auch als Testkraftverlauf zum versuchstechnischen Nachweis der Funktionstüchtigkeit von Bauteilen und Geräten z.B. in der Luft- und Raumfahrttechnik wird die harmonische Erregung verwendet. Zu den nichtperiodischen Erregungen zählen impulsartige Belastungen, wie sie bei Ramm- und Schmiedevorgängen, bei Explosionen, bei Windböen, etc. auftreten können, und länger andauernde Belastungen, wie sie durch Erdbeben, Wind oder durch Überfahrvorgänge bei Brücken und Fahrleitungen entstehen. Die genannten Erregungsarten können allein durch die Angabe der Größe und des zeitlichen Verlaufs der äußeren Kräfte charakterisiert werden. Man bezeichnet diese Art der Erregung auch als Fremderregung im Gegensatz zu der sogenannten Selbsterregung (auch Parametererregung), die dadurch gekennzeichnet ist, daß sich bestimmte Systemparameter des Tragwerks (Steifigkeit, Dämpfung, Masse) mit der Zeit ändern. (z.B. bei Rotoren, Flattererscheinungen bei Flugzeugen). Im Rahmen dieses Buches können nur die Fremderregungen behandelt werden.
Michael Link

8. Kondensierung der Bewegungsgleichungen

Zusammenfassung
Ein Blick auf das Tragwerk im Bild 7.12 zeigt, daß selbst bei diesem einfachen Beispiel bereits 6 Freiheitsgrade zu berücksichtigen sind, wenn die Fußpunkte eingespannt sind. Die Lösung der zugehörigen sechs gekoppelten Bewegungsgleichungen ist “per Hand” praktisch nicht mehr durchführbar. In der Praxis werden manchmal mehrere hundert, bei komplizierten Tragwerken der Luft- und Raumfahrttechnik auch über tausend Freiheitsgrade mit entsprechend großen Bewegungsgleichungen erforderlich, zu deren Lösung selbstverständlich ein Computer erforderlich ist. In beiden Fällen, sowohl für die “per Hand”-Rechnung als auch für die Computerrechnung, ist es jedoch von großer Wichtigkeit, alle Verfahren auszunutzen, die zur Reduktion der Zahl der Freiheitsgrade führen. Zum ersten, um eine “per Hand”-Berechnung überhaupt erst zu ermöglichen, und zum zweiten, um Rechenzeitkosten einzusparen. Eine Reduktion der Systemmatrizen ist immer dann möglich, wenn es zwischen den Freiheitsgraden des Gesamttragwerks 1ineare Abhängigkeiten gibt. Wir können dann den Gesamtverschiebungsvektor U in zwei Anteile aufspalten, die unabhängigen Freiheitsgrade Uu (Index u) und die abhängigen Freiheitsgrade Us (Index s). Entsprechend teilt man den Gesamtkraftvektor F auf.
Michael Link

9. Das Eigenschwingungsproblem

Zusammenfassung
In den folgenden Kapiteln werden wir uns mit den wichtigsten Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichungen beschäftigen. Dabei wollen wir uns allerdings auf die Darstellung der analytischen Verfahren beschränken, da die Behandlung der numerischen Verfahren den Rahmen dieses Buches sprengen würde.
Michael Link

10. Modale Transformation der Bewegungsgleichungen

Zusammenfassung
Wir hatten mit den Gln. (9.19) die Orthogonalitätstransformationen kennengelernt, mit deren Hilfe es möglich ist, die Systemmatrizen K und M zu diagonalisieren. Diese Eigenschaften nutzen wir nun um die Bewegungsgleichungen (7.13) mit Hilfe des Produktansatzes
$$\eqalign{ & {\text{U}}\left( {\text{t}} \right){\text{ = }}\sum\limits_{\text{r}} {{\text{X}}_{\text{r}} {\text{q}}_{\text{r}} } {\text{ = jq}}\left( {\text{t}} \right) \cr & \left( {r = 1,2...R \leqslant N = Anzahl\,der\,Freitsgrade} \right) \cr}$$
(10.1)
zu entkoppeln. q(t) wird als modale oder generalisierte Antwort bezeichnet; die Transformation (10.1) heißt modale Transformation. Durch diesen Ansatz wird die Antwort U(t) an jedem Freiheitsgrad des Tragwerks durch Superposition der Eigenformen dargestellt. Diese werden dabei mit den modalen Antworten qr (t) gewichtet. Wir nennen die Transformation (10.1) vollständig, wenn alle N Eigenformen (R=N) berücksichtigt werden, und unvollständig, wenn weniger Eigenformen (R < N) in der Summe mitgenommen werden. Mathematisch gesehen ist nur die vollständige Transformation (R=N) exakt. Wir werden später jedoch zeigen, daß der Anteil der höheren Eigenformen in der Antwort U(t) oftmals so klein ist, daß er vernachlässigt werden kann. Nach Einführung des Ansatzes (10.1) in die Bewegungsgleichung (7.13) und durch Vormultiplikation mit ΦT erhält man
$$\mu \ddot q + \Delta \dot q + \gamma q = \varphi ^T F = r$$
(10.2)
Michael Link

11. Berechnung der dynamischen Antwort

Zusammenfassung
Unter der dynamischen Antwort eines Tragwerks verstehen wir zunächst die Verschiebungen U(t), die Geschwindigkeiten (t) und die Beschleunigungen Ü(t), d.h. Lösungen der Bewegungsgleichungen für eine gegebene dynamische Anregung, sei es durch gegebene Anfangsverschiebungen Uooder Anfangsgeschwindigkeiten o (freie Schwingungen) oder durch zeitveränderliche Kräfte F(t). Mit Kenntnis der Antwort U(t) ist es dann möglich, die Knotenpunktskräfte und daraus die Spannungen als Funktion der Zeit in jedem Element zu berechnen.
Michael Link

12. Anwendungsbeispiele aus der Praxis

Zusammenfassung
Auslauftrichter eines Getreidesilos.
Michael Link

Backmatter

Weitere Informationen