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2014 | Buch

Finite Elemente in der Statik und Dynamik

verfasst von: Michael Link

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Das Buch bildet die Grundlage für die Vorlesungsreihe „Finite Elemente“ und „Tragwerksdynamik“, die der Verfasser für Bauingenieur- und Maschinenbaustudenten des 8. und 9. Semesters gehalten hat. Es trägt dazu bei, die Fähigkeit des Ingenieurs zu stärken, reale Konstruktionen in FE-Modellen abzubilden sowie die Ergebnisse der Computerrechnungen vor dem Hintergrund FE-spezifischer Annahmen zu interpretieren. Die Darstellung zielt auf die Verdeutlichung des strukturmechanischen Hintergrunds, weniger auf die numerischen der Mathematik, ohne die die Realisierung der Methode der Finiten Elemente auf dem Computer nicht denkbar ist. Der Bezug zur Praxis wird in zahlreichen Anwendungsbeispielen aus dem Bauingenieurwesen und dem Maschinenbau hergestellt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung

Die Methode der Finiten Elemente (FEM) kann als ein numerisches Berechnungsverfahren zur Lösung von Problemen der mathematischen Physik angesehen werden. Der Übergriff mathematische Physik soll die Allgemeingültigkeit der Methode verdeutlichen.

Michael Link

2. Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente

Zusammenfassung

Der Grundgedanke der FE-Methode sei an einem einfachen Fachwerk (Bild 2-1) erläutert. Für dieses seien die Verschiebungen der Knotenpunkte und die Normalkräfte unter Wirkung von statischen äußeren Lasten gesucht. Ein Element wird hier von einem Zug-Druckstab mit gelenkigen Enden gebildet. Sein elastomechanisches Verhalten ist gekennzeichnet durch die Beziehung zwischen den Kräften f₁, f₂ und den Verschiebungen u₁, u₂ an den Stabenden. Die Verschiebungen nennt man auch Freiheitsgrade (FHG) des Stabelementes.

Michael Link

3. Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Zusammenfassung

Die Grundgleichungen werden hier für den zweidimensionalen Fall abgeleitet. Die Erweiterungen auf den dreidimensionalen Fall werden formal angegeben. Alle Sonderformen von Tragwerkselementen, zu denen unsere technisch wichtigen Elemente wie z. B. Stab und Scheibe gehören, ergeben sich aus Vereinfachungen dieser Grundgleichungen durch entsprechende Annahmen über Kraft- und Verschiebungsverlauf. Es werden nur die Grundgleichungen abgeleitet, ohne dass wir auf ihre Lösung eingehen wollen. Die Grundgleichungen sind gekoppelte partielle Differentialgleichungen, deren direkte Lösung im Allgemeinen nicht möglich ist und auch nicht in diesen Rahmen gehört.

Michael Link

4. Die Finite Elemente Methode als verallgemeinertes Verfahren von Ritz

Zusammenfassung

Die mathematische Begründung der FEM erfolgt hier auf der Grundlage des Energieprinzips \(\delta \Pi = 0\) in Verbindung mit dem Ritzschen Verfahren. Es muss also zunächst ein angenähertes Energiefunktional für ein Gesamttragwerk aufgebaut werden. Diese Betrachtungsweise hat den Vorteil, dass man die Konvergenzeigenschaften des Ritzschen Verfahrens und die Bedingungen dafür auch für die FEM angeben kann. Das ist wichtig zu wissen, da die Ansatzfunktionen manchmal exakt sein können, z. B. als Lösung der zugehörigen Eulerschen Differentialgleichung. Damit kann auch die gesamte FEM-Lösung als exakte Lösung angesehen werden (z. B. bei Balkentragwerken).

Michael Link

5. Elementsteifigkeitsmatrizen

Zusammenfassung

In der diskretisierten Form des Prinzips der virtuellen Verschiebungen und des dazu äquivalenten Energieprinzips hatten wir in den Kapiteln zuvor die grundsätzliche Methodik zur Ableitung der Kraft- Verschiebungsbeziehungen \({{\bf{F}}_{\rm{g}}} = {\bf{K}}\,{\bf{U}}\) sowohl für die Elemente, als auch für die Gesamtstruktur kennengelernt. Die zentrale Rolle spielte dabei der in den Gln. (3.47) angegebene Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und den Knotenverschiebungen, \({\bf{\varepsilon}} = {\bf{D}}\,{\bf{U}}\), mit der Verzerrungs- Verschiebungs- Transformationsmatrix \({\bf{D}} = {\bf{d}}\varphi _{\rm{g}}^{\rm{T}}\).

Michael Link

6. Äquivalente Lastvektoren für verteilte Lasten und Temperaturänderungen

Zusammenfassung

Im Kap.3.6.2 wurde gezeigt, dass verteilte Lasten und Temperaturänderungen durch äquivalente, auf die Knoten einwirkende Einzellasten, ersetzt werden können als Folge der Diskretisierung der Verschiebungsfelder mit Hilfe der Formfunktionen. Die äquivalenten Knotenlastvektoren konnten interpretiert werden als Reaktionskräfte, die an den Knoten entstehen, wenn man die Knotenpunkte als starr gelagert annimmt.

Michael Link

7. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen in der Dynamik, Hamiltonsches Prinzip und Bewegungsgleichungen

Zusammenfassung

Bisher galten alle Betrachtungen für den Fall statischer Lasten. Wir wollen nun auch dynamische, d. h. zeitveränderliche Lasten zulassen. Diese treten bei realen technischen Konstruktionen in vielfältiger Form auf. Man klassifiziert zunächst den zeitlichen Verlauf der Lasten (in der Strukturdynamik meist "Erregung" genannt) in periodisch (Sonderfall: harmonisch = sinusförmig) und nicht-periodisch. Typische harmonische Erregungen entstehen durch die Unwucht eines Rotors oder die Wirbelablösung an einem zylindrischen Baukörper unter Windbelastung.

Michael Link

8. Kondensierung der Bewegungsgleichungen

Zusammenfassung

Ein Blick auf das Tragwerk im Bild 7-12 zeigt, dass selbst bei diesem einfachen Beispiel bereits 6 Freiheitsgrade zu berücksichtigen sind, wenn die Fußpunkte eingespannt sind. Die Lösung der zugehörigen sechs gekoppelten Bewegungsgleichungen ist "per Hand" praktisch nicht mehr durchführbar. In der Praxis werden manchmal mehrere hundert, bei komplexen Tragwerken tausende Freiheitsgrade mit entsprechend großen Bewegungsgleichungen erforderlich, zu deren Lösung effiziente numerische Verfahren zur Verfügung stehen.

Michael Link

9. Das Eigenschwingungsproblem

Zusammenfassung

In den folgenden Kapiteln werden wir uns mit den wichtigsten Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichungen beschäftigen. Dabei wollen wir uns allerdings auf die Darstellung der analytischen Verfahren beschränken, da die Behandlung der numerischen Verfahren den Rahmen dieses Buches sprengen würde.

Michael Link

10. Modale Transformation der Bewegungsgleichungen und Teilstruktur-Kopplung

Zusammenfassung

Wir hatten mit den Gln. (9.19) und (9.30) die Orthogonalitätstransformationen für das ungedämpfte und das gedämpfte System kennengelernt, mit deren Hilfe es möglich ist, die Systemmatrizen zu diagonalisieren.

Michael Link

11. Berechnung der dynamischen Antwort

Zusammenfassung

Unter der dynamischen Antwort eines Tragwerks verstehen wir zunächst die Verschiebungen \({\bf{U}}{\rm{(t)}}\), die Geschwindigkeiten \({\bf{\dot U}}{\rm{(t)}}\) und die Beschleunigungen \({\bf{\ddot U}}{\rm{(t)}}\) , d.h. Lösungen der Bewegungsgleichungen für eine gegebene dynamische Anregung, sei es durch gegebene Anfangsverschiebungen \({{\bf{U}}_{\rm{0}}}\) oder Anfangsgeschwindigkeiten \({{\bf{\dot U}}_{\rm{0}}}\) (freie Schwingungen) oder durch zeitveränderliche Kräfte \({{\bf{F}}}{\rm{(t)}}\).

Michael Link

12. Anwendungsbeispiele aus der Praxis

Michael Link

Backmatter

Titel: Finite Elemente in der Statik und Dynamik
verfasst von: Michael Link
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-03557-0
Print ISBN: 978-3-658-03556-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-03557-0