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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1.1. Grundbegriffe der Matrizenrechnung

Zusammenfassung
Ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Unbekannten hat folgendes Aussehen:
$$ \begin{array}{*{20}c} {a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 } \hfill \\ {a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 } \hfill \\ \vdots \hfill \\ {a_{il} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{in} x_n = b_i } \hfill \\ \vdots \hfill \\ {a_{ml} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m } \hfill \\ \end{array} $$
(1.1)
Dabei sind die Größen x1, x2, ..., xn die Unbekannten, die in der 1. Potenz, d.h. linear vorkommen. Sie werden mit den vorgegebenen Koeffizienten aij, i = l,...,, j = l,...,n verknüpft und ergeben auf den rechten Seiten der Gleichungen die bekannten Größen b1, b2, ..., bm.
Wilfried Gawehn

1.2. Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Wir betrachten lineare Gleichungssysteme der Form
$$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\text{a}}_{{{\text{11}}}}}{{\text{x}}_{{\text{1}}}}} & {{\text{ + }}} & \cdots & {{\text{ + }}} & {{{\text{a}}_{{{\text{1n}}}}}{{\text{x}}_{{\text{n}}}}} & {{\text{ = }}} & {{{\text{b}}_{{\text{1}}}}} \\ \vdots & {} & {} & {} & {} & {} & \vdots \\ {{{\text{a}}_{{{\text{m1}}}}}} & {{\text{ + }}} & \cdots & {{\text{ + }}} & {{{\text{a}}_{{{\text{mn}}}}}{{\text{x}}_{{\text{n}}}}} & {{\text{ = }}} & {{{\text{b}}_{{\text{m}}}}} \\ \end{array} $$
(1.26)
In Matrizenschreibweise haben wir kürzer
$$A \cdot \vec{x} = \vec{b}$$
, wobei \( \begin{array}{*{20}{c}} {{\text{A = (}}{{\text{a}}_{{{\text{ij}}}}}{\text{)}}{\mkern 1mu} {\text{,}}} & {{\text{i = 1}}, \ldots ,{\text{m}}{\mkern 1mu} {\text{,}}} & {{\text{j = 1}}, \ldots ,{\text{n}}{\mkern 1mu} {\text{,}}} \\ \end{array}\),
$${{\vec{x}}^{T}} = \left[ {{{x}_{1}},{{x}_{2}}, \ldots ,{{x}_{n}}} \right]\;{\text{und }}{{\vec{b}}^{T}} = \left[ {{{b}_{1}},{{b}_{2}}, \ldots ,{{b}_{m}}} \right]$$
.
Wilfried Gawehn

2. Spannungen

Zusammenfassung
Die auf einen Körper aufgebrachten äußeren Kräfte und Momente erzeugen nicht nur in den Auflagern Reaktionen, sondern rufen auch im Inneren Kräfte hervor. Eine Möglichkeit, diese inneren Kräfte zu erfahren, ist das Schnittprinzip. In der Schnittfläche werden in deren Schwerpunkt derart Kräfte und Momente angebracht, daß der Teilkörper im Gleichgewicht mit den äußeren Kräften steht.
Wilfried Gawehn

3.1. Die Deformation des Belasteten Körpers

Zusammenfassung
Die Bewegungen eines Körpers im Raum müssen wir durch Funktionen von 3 Veränderlichen beschreiben, ebenso die Deformationen des belasteten Körpers. Da wir eine lineare Mechanik zugrundelegen wollen, müssen wir diese Funktionen linearisieren. Zu diesem Zweck wollen wir uns kurz den Begriff der Taylorentwicklung für Funktionen in das Gedächtnis rufen.
Wilfried Gawehn

3.2. Die Stoffgesetze (Das Hooke’sche Gesetz)

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wollen wir die Zusammenhänge zwischen den Spannungen und Verzerrungen eines belasteten Körpers herstellen. Dieser Zusammenhang ist vom physikalischen Verhalten des Werkstoff geprägt.
Wilfried Gawehn

3.3. Die Gleichgewichtsbedingungen am Belasteten Körper

Zusammenfassung
Es fehlen nun noch die Gleichgewichtsbedingungen. Wir gehen davon aus, daß der belastete Körper im Gleichgewicht ist. Jeder beliebige aus dem Gesamtkörper herausgeschnittene Teilkörper muß an seinen Schnittflächen derart mit Spannungen versehen werden, daß auch er sich im Gleichgewicht befindet. Das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ergibt dann einen Zusammenhang zwischen den auftretenden Spannungen.
Wilfried Gawehn

3.4. Die Gleichungen des Belasteten Dreidimensionalen Körpers

Zusammenfassung
Der allgemeine Fall ist ein dreidimensionales Bauteil, das ausreichend gelagert ist und durch beliebige äußere Kräfte belastet wird. Die Belastungen können Einzel lasten, Streckenlasten, Flächenlasten oder auch Volumenkräfte bzw. entsprechende Momente sein. Das Eigengewicht ist z.B. eine Volumenkraft, die in der Dimension Kraft/Volumen angegeben wird. Wir wollen die Volumenkräfte im Augenblick beiseite lassen. Ein anderer Teil der Oberfläche unseres Bauteils wird gelagert, d.h. die Verschiebungen werden dort vorgeschrieben. Wir teilen daher die Oberfläche in 2 Bereiche ein, einen Bereich Ra, auf dem die Randbedingungen gelten (Auflager) und einen Bereich Rb, auf dem die äußren Lasten wirken.
Wilfried Gawehn

4.1. Integralsätze

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt werden die Integrale und Integralsätze erläutert, die zum Verständnis des Energiesatzes, des Zusammenhangs des Prinzips der virtuellen Verschiebungen mit dem Prinzip vom Minimum der totalen potentiellen Energie und zur Entwicklung der Finite Element Methode notwendig sind.
Wilfried Gawehn

4.2. Der Energiesatz der Linearen Elastizitätstheorie

Zusammenfassung
Wir nehmen an, daß die auf einen Kärper wirkenden äußeren Kräfte “unendlich langsam” aufgebracht werden, um dynamische Prozesse auszuschließen. Die Kräfte leisten dabei eine äußere Arbeit. Diese Arbeit wird im linear elastischen Körper gespeichert und zwar als Arbeit der inneren Kräfte, d.h. der Spannungen.
Wilfried Gawehn

5. Die Matrixsteifigkeitsmethode

Zusammenfassung
Das Prinzip der Matrixsteifigkeitsmethode ist grundlegend für die FEM und hat in der linearen Elastizitätstheorie als Basis den linearen Zusammenhang zwischen den äußeren Kräften bzw. Momenten und den Verschiebungen bzw. Verdrehungen in den Angriffspunkten über den Satz von Maxwell. Wir haben in (4.48) die sogenannte Steifigkeitsbeziehung entwickelt:
$$\vec{F} = K\bullet \vec{w}$$
(5.1)
mit \({{\vec{w}}^{T}} = \left[ {{{w}_{1}},{{w}_{2}}, \ldots ,{{w}_{n}}} \right]{\text{ und }}{{\vec{F}}^{T}} = \left[ {{{F}_{1}},{{F}_{2}}, \ldots ,{{F}_{n}}} \right]\).
Wilfried Gawehn

6.1. Variationsmethoden

Zusammenfassung
Während in der Infinitesimalrechnung unter anderem eine Aufgabe darin besteht, für eine Funktion y = f (x) die relativen Extrema zu bestimmen, behandelt die Variationsrechnung das Problem, ein bestimmtes Integral, das im Integranden eine unbekannte Funktion y = g(x) enthält, in Abhängigkeit von dieser Funktion zu minimieren oder maximieren. Dies erläutern wir an einem Beispiel.
Wilfried Gawehn

6.2. Die Formulierung der FEM Über das Prinzip vom Minimum der Totalen Potentiellen Energie

Zusammenfassung
Bei der Entwicklung der Elementsteifigkeitsmatrizen (ES-Matrizen) für den Stab und Balken haben wir direkt auf die Gleichungen der linearen Elastizitätstheorie zurückgreifen können, um die Beziehungen zwischen den Kräften und Verschiebungen in den Knoten herzustellen.
Wilfried Gawehn

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