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2022 | Buch

Flächentragwerke

Scheiben, Platten, Schalen, geschichtete Strukturen

verfasst von: Christian Mittelstedt

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Dieses Buch bietet eine umfassende Darstellung der Statik der Flächentragwerke und ist in fünf Abschnitte unterteilt. Nachdem im ersten Abschnitt die Grundlagen der Elastizitätstheorie und der Energiemethoden der Elastostatik kurz eingeführt wurden, widmet sich der zweite Abschnitt der Statik der Scheibentragwerke. Neben isotropen Scheiben in kartesischen und polaren Koordinaten werden außerdem Näherungsverfahren sowie anisotrope Scheiben behandelt. Der nachfolgende dritte Abschnitt behandelt Plattenstrukturen, wobei auch hier Platten in kartesischen und polaren Koordinaten behandelt werden und zudem Näherungsverfahren sowie Plattentheorien höherer Ordnung besprochen werden. Weitere Kapitel dieses Abschnitts behandeln das Plattenbeulen sowie die geometrisch nichtlineare Analyse. Der vierte Abschnitt dieses Buchs ist der Statik geschichteter Flächentragwerke gewidmet. Hierbei werden sowohl die Klassische Laminattheorie als auch Laminattheorien höherer Ordnung diskutiert, und als ein Spezialfall wird die sog. Sandwichbauweise angesprochen. Der fünfte und letzte Abschnitt dieses Buchs ist den Schalen, also gekrümmten Flächentragwerken gewidmet, wobei hier der gängigen Einteilung in die Membrantheorie einerseits und der Biegetheorie andererseits gefolgt wird.

Dieses Buch richtet sich an Studierende an Fachhochschulen und Universitäten, aber auch an Ingenieurinnen und Ingenieure in der Praxis sowie an Forscherinnen und Forscher der Ingenieurwissenschaften.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

Frontmatter
Kapitel 1. Grundlagen der Elastizitätstheorie
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden alle notwendigen Grundlagen der linearen Elastizitätstheorie dreidimensionaler anisotroper Körper besprochen, die für das Verständnis aller nachfolgenden Kapitel notwendig sind. Als Spezialfall wird am Ende dieses Kapitels auch auf die üblichen Vereinfachungen für ebene Probleme eingegangen. Wir beschränken uns dabei in allen Ausführungen dieses Kapitels auf die absolut notwendigen Zusammenhänge, um dieses Buch in sich selbst lesbar zu machen.
Christian Mittelstedt
Kapitel 2. Energiemethoden der Elastostatik
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist der Darstellung aller notwendigen Grundlagen energiebasierter Methoden und Verfahren gewidmet, die für das Verständnis der Inhalte dieses Buchs unverzichtbar sind, wobei wir uns in den nachfolgenden Ausführungen auf das absolut Notwendige beschränken. Zu Beginn werden die Begriffe der Arbeit und der Energie im Kontext dieses Buchs motiviert. Dem schließt sich eine Einführung in das Prinzip der virtuellen Verrückungen nebst Anwendung auf Stäbe, Balken und Kontinua an, bevor als ein besonders wichtiges mechanisches Prinzip das sog. Prinzip vom Stationärwert des elastischen Gesamtpotentials eingeführt und diskutiert wird. Das Kapitel schließt mit einer Einführung in die Näherungsverfahren der Elastostatik, und zwar das Ritz-Verfahren einerseits und das Galerkin-Verfahren andererseits. Die interessierte Leserschaft findet z. B. bei Becker und Gross (2002), Kossira (1996), Lanczos (1986), Langhaar (2016), Oden und Reddy (1983), Reddy (2017), Tauchert (1974) oder Washizu (1982) weitere Ausführung zu den Energiemethoden der Strukturmechanik.
Christian Mittelstedt

Scheiben

Frontmatter
Kapitel 3. Isotrope Scheiben in kartesischen Koordinaten
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist der Betrachtung von isotropen Scheibenstrukturen in kartesischen Koordinaten gewidmet. Nach einer kurzen Definition des Begriffs der Scheibe werden die beiden grundlegenden analytischen Betrachtungsweisen, nämlich das Weggrößenverfahren und das Kraftgrößenverfahren, motiviert und für das Kraftgrößenverfahren sämtliche Grundgleichungen zusammengestellt, die für die Beschreibung einer Scheibe notwendig sind. Dem schließt sich eine energetische Betrachtung des Scheibenproblems an, bevor ausführlich auf Lösungen der Scheibengleichung und elementarer Scheibenprobleme eingegangen wird.
Christian Mittelstedt
Kapitel 4. Isotrope Scheiben in polaren Koordinaten
Zusammenfassung
Dieses  Kapitel ist der Betrachtung von isotropen Scheiben in polaren Koordinaten gewidmet. Nach einer kurzen Darstellung aller notwendigen Grundgleichungen wird wie schon im Falle der kartesischen Koordinaten detailliert auf das Kraftgrößenverfahren eingegangen, wobei hier neben der Herleitung der Scheibengleichung und Lösungsansätzen auch eine energetische Betrachtung erfolgt.
Christian Mittelstedt
Kapitel 5. Näherungsverfahren für isotrope Scheiben
Zusammenfassung
In diesem Kapitel gehen wir auf Näherungsverfahren der Strukturmechanik zur Anwendung auf isotrope Scheibenstrukturen ein. Zu nennen ist hier zunächst das klassische Ritz-Verfahren, wobei wir hier zwei Versionen betrachten wollen, nämlich eine verschiebungsbasierte Formulierung einerseits, und eine kraftbasierte Formulierung andererseits. Desweiteren gehen wir auf die Finite-Elemente-Methode (FEM) ein. Näherungsmethoden, so wie sie im Rahmen dieses Kapitels relevant sind, werden z. B. bei Becker und Gross (2002), Göldner et al. (1979), (1985), Kossira (1996), Lanczos (1986), Langhaar (2016), Mittelstedt (2021), Reddy (2017), Tauchert (1974), Washizu (1982) beschrieben. Über die Finite-Elemente-Methode findet sich in den Werken von Altenbach und Sacharov (1982), Bathe (1996), Betten (2003), (2004), Crisfield (1991), (1997), Oden und Reddy (2011), Reddy (2005), Zienkiewicz et al. (2013), Zienkiewicz und Taylor (2013) eine Fülle von weiterführenden Informationen. Eine Diskussion der Anwendung des Differenzenverfahrens auf Scheibenstrukturen findet sich bei Girkmann (1974). Altenbach et al. (2016) diskutieren weitere klassische Näherungsverfahren für Scheibenstrukturen.
Christian Mittelstedt
Kapitel 6. Anisotrope Scheiben
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir die bislang angestellten Betrachtungen hinsichtlich isotroper Scheiben auf anisotrope Scheibenstrukturen erweitern, wobei wir uns aufgrund ihrer hohen praktischen Relevanz im Wesentlichen auf orthotrope Scheiben beschränken werden. Sämtliche Betrachtungen werden sich auf den ebenen Spannungszustand fokussieren, die Übertragung der Ergebnisse auf den ebenen Verzerrungszustand ist dann sehr einfach durch den Austausch der elastischen Konstanten zu bewerkstelligen (s. dazu auch Kap. 1). Die unterstellten anisotropen Materialien seien dergestalt, dass sie mindestens eine Symmetrieebene aufweisen, die mit der Scheibenmittelebene zusammenfällt.
Christian Mittelstedt

Platten

Frontmatter
Kapitel 7. Kirchhoffsche Plattentheorie in kartesischen Koordinaten
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist der Betrachtung der sog. Kirchhoffschen Plattentheorie in kartesischen Koordinaten gewidmet. Ausgehend von den Annahmen dieser elementar wichtigen Plattentheorie werden sowohl das Verschiebungs- als auch das Verzerrungsfeld der Kirchhoff-Platte hergeleitet und ausführlich diskutiert, woraus sich dann letztlich auch das Spannungsfeld der Platte ermitteln lässt. Aus den Spannungen folgen dann unmittelbar die Schnittgrößen der Kirchhoff-Platte in Form von Momenten- und Querkraftflüssen.
Christian Mittelstedt
Kapitel 8. Näherungsverfahren für die Kirchhoff-Platte
Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist der Anwendung klassischer Näherungsmethoden auf Plattenbiegeprobleme gewidmet. Spezifisch gehen wir hier sowohl auf das Ritz-Verfahren als sehr universelles Näherungsverfahren ein, als auch auf das Galerkin-Verfahren.
Christian Mittelstedt
Kapitel 9. Kirchhoffsche Plattentheorie in polaren Koordinaten
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Plattenprobleme im Rahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie betrachtet, die sich vorteilhaft durch polare Koordinaten beschreiben lassen. Hierzu zählen naturgemäß Kreisplatten und Kreisringplatten. Zu Beginn dieses Kapitels werden alle notwendigen Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie in polaren Koordinaten bereitgestellt. Hiernach wird vor allem auf denjenigen Fall der Biegung von Kreis- und Kreisringplatten eingegangen, dass sowohl die strukturelle Situation als auch die Belastung rotationssymmetrisch sind, und es werden einige Beispiellösungen präsentiert. Zum Abschluss des Kapitels wird auf den Fall der unsymmetrischen Biegung eingegangen.
Christian Mittelstedt
Kapitel 10. Plattentheorien höherer Ordnung
Zusammenfassung
Die in den vorhergehenden Kapiteln besprochene Kirchhoffsche Plattentheorie hat sich für viele technische Anwendungen bewährt und ist in vielen technischen Anwendungsgebieten sehr weit verbreitet. Sie weist durchaus einige Widersprüche auf, die jedoch bei der Betrachtung hinreichend dünner Plattenstrukturen zumeist vernachlässigbar sind. Die wesentlichen Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie sind die Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte, die Normalenhypothese sowie die Annahme eines ebenen Spannungszustandes bezüglich der Dickenrichtung der Platte. Sie sind bei hinreichend dünnen Plattentragwerken durchaus begründet und plausibel, liefern aber dann Ergebnisse von zunehmend schlechter Qualität, wenn man es mit dickeren Platten und/oder Plattenmaterialien mit geringer Schubsteifigkeit zu tun hat. Die so entstehenden Fehler sind dabei stets auf der unsicheren Seite, d. h. man wird u. a. Durchbiegungen der Platte unterschätzen sowie Beullasten überschätzen, was in der praktischen Anwendung natürlich nicht akzeptabel ist. Ein weiterer Problempunkt ist die Berechnung der transversalen Schubspannungen \(\tau _{xz}\) und \(\tau _{yz}\), für deren Berechnung im Rahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie keinerlei Konstitutivbeziehung zur Verfügung steht und die aus einer Nachlaufrechnung ermittelt werden müssen.
Christian Mittelstedt
Kapitel 11. Plattenbeulen
Zusammenfassung
Platten  sind dünnwandige Strukturen. Insofern ist ihrem Beulverhalten einige Aufmerksamkeit zu schenken. Dieses Kapitel widmet sich entsprechend der analytischen Behandlung des Beulverhaltens von Platten im Rahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie. Eingangs werden alle notwendigen Grundgleichungen bereitgestellt, die das Beulen dünner orthotroper Platten beschreiben. Anschließend wird auf die Naviersche Lösung eingegangen, also die exakt-analytische Ermittlung der Beullast rechteckiger gelenkig gelagerter orthotroper Platten unter ebener uniaxialer und biaxialer Belastung. Hieran schließt sich die Beschreibung Lévyscher Lösungen für rechteckige orthotrope Platten an, die unter uniaxialem Druck stehen und bei denen zwei sich gegenüberliegende Ränder gelenkig gelagert sind, wohingegen die beiden verbleibenden Ränder beliebig gelagert sein können. Das Kapitel schließt mit der ganz grundlegenden energetischen Behandlung von Plattenbeulproblemen und beschreibt als einfaches Verfahren den sog. Rayleigh-Quotienten sowie als universeller einsetzbare Methode das Ritz-Verfahren. In den Werken von Girkmann (1974), Mittelstedt und Becker (2016), Petersen (1982), Reddy (2004), (2006), Szilard (2004), Wiedemann (2006) finden sich weitere Informationen zu dieser Thematik.
Christian Mittelstedt
Kapitel 12. Geometrisch nichtlineare Analyse
Zusammenfassung
Platten  sind dünnwandige Strukturen, so dass neben der bereits diskutierten Plattenbiegung im Rahmen einer geometrisch linearen Analyse auch das geometrisch nichtlineare Verhalten von ganz grundlegender Bedeutung ist. Aus diesem Grund wird in diesem Kapitel das Biegeverhalten linear-elastischer Platten im Rahmen der v. Kármánschen Plattentheorie (Kap. 1, Abschn. 1.​3.​3) betrachtet, und zwar sowohl basierend auf den kinematischen Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie als auch im Rahmen der Schubdeformationstheorie 1. Ordnung. Die beschreibenden Gleichungen und Randbedingungen lassen sich besonders vorteilhaft auf energetischem Wege beschaffen, und ein gewichtiger Teil dieser Betrachtungen ist der energetischen Herleitung und der Diskussion der sich einstellenden Randterme im Rahmen der Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie gewidmet. Hiernach werden statische Biegeprobleme betrachtet und verschiedene Lösungsmethoden für solche Probleme behandelt. Dieses Kapitel schließt mit der Bereitstellung der beschreibenden Gleichungen im Rahmen der Schubdeformationstheorie 1. Ordnung. Weitere Informationen zum Themenbereich dieses Kapitels findet man z. B. bei Altenbach et al. (2016), Chia (1980), Reddy (2003), (2006), Sathyamoorthy (1997), Szilard (2004).
Christian Mittelstedt

Laminat- und Sandwichstrukturen

Frontmatter
Kapitel 13. Klassische Laminattheorie
Zusammenfassung
Laminate sind flächige Strukturen in Form von Scheiben, Platten oder Schalen, die aus einer beliebigen Anzahl von Einzelschichten bestehen, die jeweils unterschiedliche Eigenschaften (Dicke, Materialeigenschaften, Materialhauptrichtungen, etc.) aufweisen können. Eine sehr häufig in der Leichtbaupraxis auftretende Anwendung sind Laminate, deren Schichten aus Faserverbund-Werkstoffen bestehen. Unter einem Faserverbund-Werkstoff verstehen wir einen Verbund aus mindestens zwei unterschiedlichen Bestandteilen (Konstituenten) bzw. Materialien, die mit Hilfe eines spezifischen Herstellungsverfahrens zu einem neuen Werkstoff, nämlich dem Verbundwerkstoff, zusammengefügt werden. Im Falle von Faserverbunden sind dies typischerweise hochfeste und hochsteife Fasern (z. B. Kohlenstofffasern), die in eine Matrix, üblicherweise einen Kunststoff, eingelegt werden. Der so entstehende neue Werkstoff wird in seinen mechanischen Eigenschaften durch die Eigenschaften der einzelnen Bestandteile charakterisiert und wird gegenüber den einzelnen Konstituenten deutlich vorteilhaftere Eigenschaften aufweisen. Im Leichtbau finden solche Faserverbund-Werkstoffe eine breite Anwendung vor allem in der Luft- und Raumfahrt, aber auch im Automobilbau und allgemein überall dort, wo das Gewicht einer Struktur ein wichtiger Faktor bei der Bauteilauslegung ist. Kohlenstofffaserverstärkte Kunststoffe beispielsweise weisen eine besonders hohe Steifigkeit und Festigkeit im Vergleich mit ihrem Eigengewicht auf.
Christian Mittelstedt
Kapitel 14. Laminattheorien höherer Ordnung
Zusammenfassung
Die in Kap. 13 diskutierte klassische Laminattheorie hat sich in vielerlei praktischen Anwendungen bestens bewährt und stellt für viele relevante Ingenieursprobleme die Theorie der Wahl dar. Wie diskutiert bringt sie einige Widersprüche mit sich, die aber zumindest bei der Betrachtung hinreichend dünner Laminattragwerke vernachlässigbar sind. Wesentliche Grundlage der klassischen Laminattheorie sind die Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie (s. Kap. 7), also die Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte sowie die Normalenhypothese, in Verbindung mit der Annahme eines ebenen Spannungszustandes bezüglich der Dickenrichtung des Laminats. Diese Annahmen führen bei hinreichend dünnen Tragwerken zu guten und praktisch tauglichen Ergebnissen, jedoch zeigt es sich auch, dass bei Vorliegen dickerer Laminate und auch bei Laminaten mit schwachen transversalen Schubsteifigkeiten signifikante Fehler in der Berechnung entstehen können, wenn in solchen Fällen ebenfalls mit der klassischen Laminattheorie gerechnet wird. Üblicherweise sind diese Fehler nicht konservativ, so dass sich bei Verwendung der klassischen Laminattheorie zu kleine Durchbiegungen, aber auch zu hohe Beullasten ergeben, was in vielen Fällen nicht hinnehmbar ist. Darüber hinaus hat es sich gezeigt, dass im Rahmen der klassischen Laminattheorie (genau wie beim Euler-Bernoulli-Balken oder der Kirchhoff-Platte) keine Möglichkeit der Berechnung der transversalen Schubspannungen \(\tau _{xz}\) und \(\tau _{yz}\) und damit auch der transversalen Schubverzerrungen \(\gamma _{xz}\) und \(\gamma _{yz}\) aus konstitutiven Beziehungen besteht, eine Diskrepanz, die gerade bei dicken Laminaten mit z. T. doch erheblichen interlaminaren Spannungen signifikant zu Buche schlagen kann. Je nach Anwendungsfall kann außerdem die Berechnung der Normalspannung \(\sigma _{zz}\) ebenfalls von Wichtigkeit sein.
Christian Mittelstedt
Kapitel 15. Sandwichstrukturen
Zusammenfassung
Sandwichstrukturen sind Strukturen, die typischerweise aus zwei sog. Deckschichten und einem sog. Kern bestehen.
Christian Mittelstedt

Schalen

Frontmatter
Kapitel 16. Allgemeines zu Schalenstrukturen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel führt ganz grundlegend in die Betrachtung von Schalen als tragende Strukturen ein und klärt einige Grundbegriffe. Neben einigen geometrischen Zusammenhängen werden neben relevanten Belastungsarten die grundlegenden Annahmen der technischen Schalentheorie erläutert und die hierbei auftretenden Spannungs-, Verschiebungs- und Verzerrungsgrößen eingeführt.
Christian Mittelstedt
Kapitel 17. Membrantheorie der Rotationsschalen
Zusammenfassung
In  diesem Kapitel wird die sog. Membrantheorie als eine sehr nützliche analytische Herangehensweise an die Berechnung von Schalentragwerken beschrieben. Nach Beschreibung der Anwendbarkeitsgrenzen dieser Theorie werden die Gleichgewichtsbedingungen für Rotationschalen hergeleitet und danach für den Fall der rotationssymmetrischen Belastung spezialisiert, aus denen sich die Membrankraftflüsse der Schalen ermitteln lassen. Grundlegende Beispiele beschreiben hiernach die Anwendung der Membrantheorie auf Kreiszylinder-, Kugel- und Kegelschalen.
Christian Mittelstedt
Kapitel 18. Biegetheorie der Rotationsschalen
Zusammenfassung
Dieses  Kapitel ist der Biegetheorie der Rotationsschalen gewidmet. Nach Erläuterung der Gleichgewichtsbedingungen für beliebige Rotationsschalen werden die entsprechenden kinematischen Gleichungen sowie das Konstitutivgesetz bei vorliegender Biegewirkung besprochen. Hierauf folgt die Diskussion der Behältertheorie der Kreiszylinderschale, also das Vorliegen einer Rotationsschale unter rotationssymmetrischer Belastung.
Christian Mittelstedt
Backmatter
Metadaten
Titel
Flächentragwerke
verfasst von
Christian Mittelstedt
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65613-6
Print ISBN
978-3-662-65612-9
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65613-6

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