Folgen und Reihen

Wir haben in Kapitel 2 gesehen, dass wir durch gezieltes Probieren die Zahl √2 beliebig genau durch rationale Zahlen annähern können. Ein effizientes Verfahren hat der griechische Mathematiker Heron im 1. Jh. n. Chr. angegeben: Man beginnt mit einem Näherungswert

a

1

, etwa

a

1

= 2, und wählt einen zweiten Wert

b

1

= 2/

a

1

= 1, sodass das Rechteck mit den Seiten

a

1

und

b

1

die Fläche

a

1

b

1

= 2 hat. Hätten wir den richtigen Wert (nämlich √2) gewählt, so hätten wir ein Quadrat erhalten. So ist aber die eine Seite zu lang und die andere zu kurz. Einen besseren Näherungswert erhalten wir, indem wir den Mittelwert

$$ a_2 = \tfrac{{a_1 + b_1 }} {2} = \tfrac{1} {2}\left( {a_1 + \tfrac{2} {{a_1 }}} \right) = 1.5 $$

wählen. Der nächste Näherungswert wird in gleicher Weise aus dem zweiten Näherungswert berechnet:

$$ a_3 = \tfrac{1} {2}\left( {a_2 + \tfrac{2} {{a_2 }}} \right) = 1.416666... $$

In diesem Sinn geht es weiter:

$$ \begin{gathered} a_4 = \frac{1} {2}(a_3 + \frac{2} {{a_3 }}) = 1.414215... \hfill \\ a_5 = \frac{1} {2}(a_4 + \frac{2} {{a_4 }}) = 1.414213... \hfill \\ \end{gathered} $$

Man erhält eine

Folge

a

1

,

a

2

,

a

3

,

a

4

,

a

5

, . . . von Näherungswerten. Es kann gezeigt werden, dass dadurch √2 in jeder gewünschten Genauigkeit angenähert werden kann.