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Erschienen in:
2018 | OriginalPaper | Buchkapitel
3. Formalismus der Quantenmechanik
verfasst von : Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf
Erschienen in: Theoretische Physik 3 | Quantenmechanik
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
In der Quantentheorie gilt das Superpositionsprinzip exakt für abgeschlossene Systeme. Das bedeutet erstens, dass sich beliebige Zustände – in der Wellenmechanik dargestellt durch Wellenfunktionen – zu einer bestimmten Zeit mit beliebigen komplexen Koeffizienten superponieren lassen und dadurch einen neuen möglichen Zustand definieren, und zweitens, dass jede Superposition von Lösungen der Schrödinger-Gleichung ebenfalls eine Lösung ist. Die zweite Eigenschaft ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass die Schrödinger-Gleichung linear ist. In der Quantenphysik kann man Zustände überlagern, die in der klassischen Physik als vollkommen getrennt behandelt würden. Ein Elektron kann in einem Zustand sein, der eine Mischung aus „hier“ und „dort“ darstellt, in dem es also keinen eindeutig definierten Ort hat. Der Raum der Wellenfunktionen bildet also einen linearen Raum, einen Vektorraum. Man spricht in diesem Zusammenhang vom Raum der Zustandsvektoren in der Ortsdarstellung.
Die Wellenfunktion selbst hat in der in Abschn. 4.1 vorgestellten Standardinterpretation der Quantenmechanik keine physikalische Bedeutung, aber ihr Betragsquadrat ist proportional zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte. Diese Interpretation verlangt, dass das Betragsquadrat integrierbar sein muss, und diese Bedingung versieht den linearen Raum der Zustandsvektoren mit einem Skalarprodukt. Wir werden annehmen, dass der Vektorraum eine Basis besitzt und unendlich-dimensional sein kann. Vektorräume mit dieser Eigenschaft nennt man Hilbert-Räume.