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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung
Im Jahre 1994 erschien das Buch H. ZEITLER — W. NEIDHARDT, Fraktale und Chaos [ZEI/NEI]. Wir erhielten dazu viele, viele Zuschriften — positive, aber auch negative. Dabei wurde der Wunsch nach einem weiteren Buch, ja nach weiteren Büchern geäußert. Eine solche Publikation sollte sich — so wurde gewünscht — nur der fraktalen Geometrie widmen. In ihm müssten mehr Beispiele und auch etwas mehr Theorie behandelt werden.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel I. Die Cantor—Drittelmenge

Zusammenfassung
Auf der Suche nach verrückten Monstermengen entdeckte G. Cantor die nach ihm benannte Punktmenge. Er sagte von ihr: “Je le vois, mais je ne le crois pas!” Diese Aussage soll als Motto über dem ersten Kapitel stehen: “Ich sehe es, aber ich kann es nicht glauben!”Inzwischen spielen verallgemeinerte Cantor-Mengen in dynamischen Systemen eine wesentliche Rolle.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel II. Selbstähnlichkeit im Strengen Sinn

Zusammenfassung
Gegeben sei eine kompakte Punktmenge G in IR2 (allgemeiner in IR n oder noch allgemeiner in einem metrischen Raum).
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel III. Flächenfraktale

Zusammenfassung
Forscher aus Anatomie und Physiologie suchen nach Modellen zur mathematischen Beschreibung der inneren Struktur von Lungen und Nieren. Sie stellen an solche Modelle, an solche Flächen vier Forderung.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel IV. Die Barnsley-Maschine

Zusammenfassung
Michael Barnsley konstruierte eine merkwürdige Maschine. Es gibt sie in unserer Welt gar nicht. Sie existiert nur in den Köpfen der Mathematiker.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel V. Selbstähnlichkeit im Weiteren Sinn

Zusammenfassung
In diesem Kapitel soll der in II,1 eingeführte Begriff der Selbstähnlichkeit (im strengen Sinn) erweitert werden.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel VI. Aus der Schulgeometrie

Ohne Zusammenfassung
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel VII. Selbstaffinität

Zusammenfassung
Es liegt nahe, unsere Definitionen II,1 und V,1 erneut zu erweitern. Das Wort „ähnlich“ wird einfach durch „affin“ ersetzt.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel VIII. Etwas Theorie

Zusammenfassung
Die Computerausdrücke in den vergangenen Kapiteln legen jeweils die Existenz einer Limesmenge (eines Attraktors) nahe. Doch mit Bildchen alleine geben sich Mathematiker nicht zufrieden. Sie wollen die Existenz exakt bewiesen haben — und das auch noch in möglichst allgemeinen Räumen.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel IX. Und Schon Wieder eine Dimension

Zusammenfassung
Von vielen, in den vorigen Kapiteln behandelten Fraktalen haben wir die mathematische Existenz nachgewiesen. Genau genommen gibt es aber diese Fraktale nur in den Gehirnen der Mathematiker, in der Welt der Ideen. Dies ist auch mit anderen mathematischen Ideen so, etwa dem Punkt oder der Geraden. Gibt es Ebenen?
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel X. Der Gipfel — die Hausdorff-Besicovitch Dimension

Zusammenfassung
Inzwischen kennen wir verschiedene Dimensionsbegriffe: d, d s , \({\bar d_s}\), d F . Nun wird — als Höhepunkt, als Gipfel — noch ein weiterer dazugenommen.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel XI. Wir Erwürfeln Fraktale

Zusammenfassung
Ian Stewart [STE1] bezeichnet das Sierpinski-Dreieck als die Inkarnation der fraktalen Geometrie. Wir sind diesem wundersamen Geschöpf schon mehrmals begegnet (II,5.2; IV; VI,5). Jetzt kommen wir erneut darauf zurück — allerdings auf einem völlig überraschenden Weg.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Kapitel XII. Die Bäckerabbildung (Streifenfraktale)

Zusammenfassung
Bisher haben wir uns vorwiegend mit verschiedenen Dimensionsbegriffen d s , \({\bar d_s}\), d F , d HB ) und mit der Konstruktion von Fraktalen (Wischen, Wuchern, Würfeln, Maschine) beschäf­tigt. Jetzt wechseln wir das Thema und untersuchen einen merkwürdigen Vorgang, die Bäckerabbildung. Im Mittelpunkt steht dabei wieder die — für das vorliegende Buch zentrale — Idee der Iteration.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Schluss

Zusammenfassung
Mit dem vorliegenden Buch versuchten wir in das weite Gebiet fraktaler Geometrie einzuführen.
Herbert Zeitler, Dušan Pagon

Backmatter

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