Functional Equations and Ulam’s Problem
- 2026
- Buch
- Herausgegeben von
- Themistocles M. Rassias
- Verlag
- Springer Nature Switzerland
Über dieses Buch
Ziel dieses Bandes, Functional Equations and Ulam's Problem, ist es, eine ausgewogene Sammlung von Arbeiten zu veröffentlichen, die sich dem Bereich der funktionalen Gleichungen widmen, wobei der Schwerpunkt auf Stabilitätsergebnissen liegt, die mit Ulams Problem der annähernden Homomorphismen verbunden sind. Dieser Bereich ist seit mehr als fünf Jahrzehnten eine Quelle aktiver und lebendiger Forschung. Es wurden Anstrengungen unternommen, um das Buch als wertvolle Referenz für Doktoranden und fortgeschrittene Wissenschaftler zu etablieren, die an das aktuelle Wissen über die behandelten Probleme herangeführt werden möchten, sowie um einen Überblick über wichtige Ergebnisse der Stabilitätstheorie zu erhalten, von der Klassik bis zur jüngsten. Die Beiträge in dieser Sammlung untersuchen die folgenden Themen: Funktionsgleichungen auf einer Semigruppe, generalisierte kubische Euler-Lagrange-Funktionsgleichungen, Ulam-Stabilitätsergebnisse für die Davison-Funktionsgleichung, Hyers-Ulam-Stabilität einer pexiderisierten Funktionsgleichung, Ulam-Hyers-Stabilität in normierten Räumen, Hyers-Ulam-Stabilität für gewichtete Operatoren, Stabilitätsbedingungen für lineare funktionale Differentialgleichungen, semilineare funktionale Differentialgleichungen, allgemeine bi-Jensen-Funktionsgleichungen, Normenungleichungen für die Chebyshev-Funktion in Hilbert-Räumen, Orthogonalität und generalisierte additive Zuordnungen in Banach-Modulen, permutierende Triableitungen und permutierende Trihomomorphismen in komplexen Banach-
Mit KI übersetzt
Über dieses Buch
The aim of this volume, Functional Equations and Ulam’s Problem, is to publish a well-balanced collection of works devoted to the domain of functional equations with emphasis on stability results associated with Ulam’s problem for approximate homomorphisms. This area has been a source of active and vibrant research for more than five decades. Efforts have been made for the book to constitute a valuable reference for graduate students and advanced research scientists who wish to be introduced to the state-of-the art knowledge on the problems treated, as well as to obtain an overview of important results on stability theory, from classical to the most recent.
The contributions in this collection investigate the following topics: functional equations on a semigroup, generalized Euler-Lagrange cubic functional equations, Ulam stability results for the Davison functional equation, Hyers-Ulam stability of a pexiderized functional equation, Ulam-Hyers stability in normed spaces, Hyers-Ulam stabilities for weighted operators, stability conditions for linear functional-differential equations, semilinear functional differential equations, general bi-Jensen functional equation, norm inequalities for the Chebyshev functional in Hilbert spaces, orthogonality and generalized additive mappings in Banach modules, permuting triderivations and permuting trihomomorphisms in complex Banach algebras, bi-quadratic derivations and bi-quadratic homomorphisms in Banach algebras, novel representations of mappings, linear and affine sets and relations, and solvability relations in groupoids.
Anzeige
Inhaltsverzeichnis
-
Frontmatter
-
A System of Cosine-Sine Functional Equations on a Semigroup Generated by Its Squares
Ajebbar Omar, Elqorachi ElhoucienDieses Kapitel untersucht die Lösungen für ein System kosinussinusförmiger Funktionsgleichungen auf einer Halbgruppe, die durch ihre Quadrate erzeugt wird. Die Autoren bauen auf früheren Arbeiten von Chung et al. und Ebanks, was die Lösungen auf einen allgemeineren Fall ausweitet. Der Aufsatz geht der linearen Unabhängigkeit von Lösungen und den Herausforderungen bei der Suche nach einer allgemeinen Lösung für alle Halbgruppen nach. Es bietet eine detaillierte Analyse des Systems der Levi-Civita-Funktionsgleichungen und einen systematischen Ansatz zu ihrer Lösung. Die Autoren diskutieren auch die Eigenschaften additiver und multiplikativer Funktionen, die für die Lösung dieser Gleichungen entscheidend sind. Das Kapitel schließt mit einer umfassenden Lösung für das Gleichungssystem, die die Bedeutung linearer Unabhängigkeit bei der Erzielung derartiger Lösungen hervorhebt.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractGiven a semigroup S generated by its squares, we determine the complex-valued solutions of the following system of cosine-sine functional equationswhere \(\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C}\) are given constants and \(f,g_{1},g_{2},h:S\to \mathbb {C}\) are unknown functions.$$\displaystyle \begin{aligned} \begin {array}{l}f(xy)=f(x)g_{1}(y)+g_{1}(x)f(y)+\lambda _{1}^{2}\,h(x)h(y),\; x,y\in S,\\ h(xy)=h(x)g_{2}(y)+g_{2}(x)h(y)+\lambda _{2}^{2}\,f(x)f(y),\; x,y\in S, \end {array} \end{aligned} $$ -
Orthogonality and Generalized Additive Mappings in Banach Modules
H. Azadi Kenary, N. Sahami, M. H. EghtesadifardDieses Kapitel taucht ein in die faszinierende Welt der Orthogonalität und generalisierter additiver Mappings innerhalb von Banach-Modulen. Es beginnt mit der Untersuchung der orthogonalen Cauchy-Funktionsgleichung und ihrer Lösungen, wobei die Unterschiede zwischen der Orthogonalität in inneren Produkträumen und allgemeineren Banach-Räumen hervorgehoben werden. Der Text untersucht verschiedene Orthogonalitätsbegriffe wie Birkhoff-James, Boussouis und pythagoreische Orthogonalität und ihre Auswirkungen auf die Stabilität funktionaler Gleichungen. Ein wesentlicher Schwerpunkt liegt auf der Hyers-Ulam-Stabilität der orthogonal Jensen-Funktionsgleichung, wobei sowohl für Banach- als auch für nicht-archimedische Banach-Module detaillierte Beweise und Folgerungen vorliegen. Das Kapitel behandelt auch die Anwendung der Fixpunkttheorie zur Lösung dieser Stabilitätsprobleme und bietet eine einzigartige Perspektive auf das Thema. Darüber hinaus untersucht sie die Struktur orthogonal additiver Kartierungen und die Bedingungen, unter denen sie existieren. Der Text schließt mit einer Diskussion über die JM Rassias Mischprodukt-Summenstabilität und ihre Relevanz für die untersuchten funktionalen Gleichungen. Während des gesamten Kapitels verwenden die Autoren eine klare und prägnante Sprache, um komplexe mathematische Konzepte für Fachleute mit einem starken Hintergrund in funktionaler Analyse und abstrakter Algebra zugänglich zu machen.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractUsing the fixed point method, we prove the Hyers-Ulam stability of the following generalized Jensen functional equationin Banach modules over a unital \(C^*\)-algebra and in non-Archimedean Banach modules over a unital \(C^*\)-algebra associated with the orthogonally Jensen functional equation.$$\displaystyle f\left (\frac {\sum _{i=1}^n x_i}{n}\right )+\sum _{i=1}^n f\left (\frac {\sum _{i=1,i\neq j}^n x_i -(n-1)x_j}{n}\right )=f(x_1)\quad (n\geq 2) $$ -
General System of the Generalized Euler-Lagrange Cubic Functional Equations and Stability Results
Abasalt BodaghiDieses Kapitel vertieft sich in die Stabilität funktionaler Gleichungen und konzentriert sich auf die verallgemeinerten kubischen Euler-Lagrange-Funktionsgleichungen. Sie führt kubische Abbildungen von mehreren Euler-Lagrange-Systemen ein und präsentiert sie als Einzelgleichungen, wodurch komplexe Systeme in überschaubare Formen reduziert werden. Der Text untersucht die Hyers-Ulam-Stabilität dieser Mappings mithilfe von Fixpunktmethoden in intuitionistisch verschwommenen normierten Räumen und nicht-archimedischen normierten Räumen. Zu den Schlüsselthemen zählen die Charakterisierung von kubischen Kartierungen aus mehreren Euler-Lagrange-Formaten, die Anwendung von Fixpunkttheoremen und die Stabilitätsergebnisse in verschiedenen mathematischen Kontexten. Das Kapitel schließt mit logischen Schlussfolgerungen, die die Stabilität der Funktionsgleichungen unter verschiedenen Bedingungen hervorheben und einen soliden Rahmen für das Verständnis und die Lösung dieser Gleichungen in fortgeschrittenen mathematischen Räumen bieten.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractThe aim of this chapter is to characterize (two ways) and to prove the stability of multi-Euler-Lagrange cubic mappings. In other words, it reduces a system of equations defining the multi-Euler-Lagrange cubic mappings to a single functional equation, namely, the multi-Euler-Lagrange cubic functional equation. Moreover, some results corresponding to known stability outcomes regarding the multi-Euler-Lagrange cubic functional equation are presented in intuitionistic fuzzy normed spaces and non-Archimedean normed spaces by applying the fixed point methods. -
Bi-hom-ders in Banach Algebras
Mehdi Dehghanian, Choonkil Park, Yamin SayyariDieses Kapitel befasst sich mit der Stabilität funktionaler Gleichungen und der Anwendung der Fixpunkttheorie in Banach-Algebren. Es wird das Konzept der Bi-Hom-ders eingeführt, bei denen es sich um bilineare Abbildungen handelt, die bestimmte Bedingungen in komplexen Banach-Algebren erfüllen. Das Kapitel bietet eine gründliche Untersuchung der Hyers-Ulam-Stabilität dieser Zuordnungen, wobei sowohl direkte Methoden als auch Fixpunkttheoreme verwendet werden. Anhand detaillierter Beweise und Beispiele zeigt sie die Existenz und Einzigartigkeit von Bi-Hom-ders unter bestimmten Bedingungen auf. Darüber hinaus werden in diesem Kapitel die Stabilität verschiedener funktioneller Ungleichheiten und die Rolle von Bi-Hom-dern in verschiedenen algebraischen Strukturen diskutiert. Die Schlussfolgerungen unterstreichen die Bedeutung dieser Ergebnisse im breiteren Kontext der Funktionsanalyse und abstrakten Algebra.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractIn this paper, we introduce the concept of bi-hom-der in Banach algebras and we prove the Hyers-Ulam stability of bi-hom-der in Banach algebras. -
Several New Inner Product and Norm Inequalities for the Čebyšev Functional in Hilbert Spaces
Silvestru Sever DragomirDieses Kapitel vertieft sich in die Čebyšev-Funktion und stellt einige neue innere Produkt- und Normenungleichheiten in Hilbert-Räumen vor. Es erweitert klassische Ergebnisse auf reale oder komplexe innere Produkträume und Bochner-Integrale vektorwerter Funktionen. Der Text untersucht die Schärfe von Konstanten in diesen Ungleichheiten und bietet praktische Bedingungen für ihre Gültigkeit. Darüber hinaus werden Anwendungen monotoner Funktionen des Bedieners diskutiert, die Einblicke in ihre Eigenschaften und ihr Verhalten bieten. Das Kapitel schließt mit konkreten Beispielen und Beweisen, die den Nutzen dieser neuen Ungleichheiten in verschiedenen mathematischen Kontexten aufzeigen.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractLet H be a complex Hilbert space. For two continuous functions \(f,\)\(g: \left [ a,b\right ] \rightarrow H\) we define the Čebyšev functionalIn this paper we show among others that if \(f,\)\(g:\left [ a,b\right ] \rightarrow H\) are strongly differentiable functions on the interval \(\left ( a,b\right ) ,\) then$$\displaystyle D\left ( f,g\right ) :=\left ( b-a\right ) \int _{a}^{b}\left \langle f\left ( t\right ) ,g\left ( t\right ) \right \rangle dt-\left \langle \int _{a}^{b}f\left ( t\right ) dt,\int _{a}^{b}g\left ( t\right ) dt\right \rangle . $$where$$\displaystyle \begin {aligned}{} \left \vert D\left ( f,g\right ) \right \vert \leq & \frac {1}{2}\left (b-a\right ) \left \Vert f^{\prime }\right \Vert { }_{\left [ a,b\right ] ,\infty }\int _{a}^{b}\left ( b-t\right ) \left ( t-a\right ) \left \Vert g^{\prime }\left ( t\right ) \right \Vert dt \\ \leq & \frac {1}{2}\left ( b-a\right ) ^{3}\left \Vert f^{\prime }\right \Vert { }_{\left [ a,b\right ] ,\infty }\\ &\quad \times \left \{\begin {array}{l} \frac {1}{4}\left \Vert g^{\prime }\right \Vert { }_{\left [ a,b\right ] ,1}, \\ \left ( b-a\right ) ^{1/q}\left [ B\left ( q+1,q+1\right ) \right ]^{1/q}\left \Vert g^{\prime }\right \Vert { }_{\left [ a,b\right ] ,p}, \\ p,q>1,\frac {1}{p}+\frac {1}{q}=1, \\ \frac {1}{6}\left ( b-a\right ) ^{2}\left \Vert g^{\prime }\right \Vert { }_{\left [a,b\right ] ,\infty }, \end {array}\right . \end {aligned} $$and \(\left \Vert h^{\prime }\right \Vert { }_{\left [ a,b\right ] ,\infty }:=\sup _{t\in \left ( a,b\right ) }\left \Vert h^{\prime }\left ( u\right ) \right \Vert \) for a strongly differentiable function h on \(\left ( a,b\right ) ,\) while \(B\left ( \cdot ,\cdot \right ) \) is Beta function. Some applications for operator monotone function with examples for power function are also given.$$\displaystyle \left \Vert h^{\prime }\right \Vert { }_{\left [ a,b\right ] ,p}:=\left (\int _{a}^{b}\left \Vert h^{\prime }\left ( u\right ) \right \Vert ^{p}du\right )^{1/p},\ p\geq 1 $$ -
Ulam Stability Results for the Davison Functional Equation in 2-Banach Spaces
El-Sayed El-hadyDieses Kapitel taucht in die faszinierende Welt der Ulam-Stabilität ein und konzentriert sich auf die Davison-Funktionsgleichung im Kontext von 2-Banach-Räumen. Es beginnt mit der Einführung des Konzepts der Ulam-Stabilität, das untersucht, wie sehr sich eine annähernde Lösung einer Gleichung von den genauen Lösungen unterscheidet. Der Text untersucht dann den historischen Hintergrund und die Beweggründe hinter diesen Forschungen und führt zurück auf Ulams Problem und Hyers "ursprüngliche Lösung. Ein zentraler Höhepunkt ist die Präsentation des Theorems 1, das die Stabilität der Cauchy-Gleichung in normierten Räumen festlegt. Das Kapitel stellt auch das Konzept der 2-normierten Räume vor und liefert detaillierte Definitionen und Eigenschaften. Sie gipfelt in Theorem 6, das die Stabilität der Davison-Funktionsgleichung in 2-Banach-Räumen unter Beweis stellt. Das Kapitel schließt mit einer logischen Schlussfolgerung, die die Stabilitätsbedingungen weiter ausführt. Im gesamten Text wird betont, wie wichtig es ist, verschiedene Methoden zur Entfernungsmessung in funktionalen Gleichungen und die einzigartigen Eigenschaften von 2-normierten Räumen zu verstehen. Diese umfassende Untersuchung bietet wertvolle Einblicke in die Stabilität funktionaler Gleichungen und ihre Anwendung in verschiedenen mathematischen Kontexten.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractStability in the sense of Ulam for functional equations is a hot topic. It has many nice applications. In this chapter, we generalize some recent interesting results on stability for the Davison functional equation. The obtained results are in 2-Banach spaces. -
Stability Conditions for Linear Functional-Differential Equations in a Banach Space. A Brief Survey
Michael Gil’Dieses Kapitel vertieft sich in die Stabilitätsanalyse linearer funktionaler Differentialgleichungen in Banach-Räumen und beleuchtet jüngste Fortschritte und neuartige Ansätze. Es beginnt mit der Einführung der Lyapunov-Krasovskij-Methode und ihrer Erweiterungen auf Hilbert-Räume und betont die Notwendigkeit umfassenderer Stabilitätsbedingungen für nichtautonome Gleichungen mit mehrfacher Verzögerung. Der Text stellt explizite Stabilitätsbedingungen auf Grundlage der Spektren der Operatorkoeffizienten dar, die die Analyse durch Nutzung der Spektraltheorie vereinfachen. Es behandelt autonome und nicht-autonome Gleichungen mit begrenzten und unbegrenzten Operatoren, einschließlich Integro-Differential- und Neutralgleichungen. Das Kapitel verallgemeinert auch das Dyson-Phillips-Theorem auf Differentialdifferenzgleichungen und bietet verzögerungsabhängige exponentielle Stabilitätsbedingungen. Anschauliche Beispiele veranschaulichen die praktische Anwendung dieser Bedingungen und zeigen, wie sie die Notwendigkeit vermeiden können, Funktionalitäten vom Typ Krasovskij-Lyapunov zu konstruieren. Der Text schließt mit bibliographischen Kommentaren, Verweisen auf einschlägige Literatur und weiteren Ergebnissen auf diesem Gebiet.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractThis chapter is a brief survey of the recent results of the author devoted to the stability of linear functional-differential equations in a Banach space. We consider autonomous and non-autonomous equations with bounded and unbounded operators. The illustrative examples with partial differential and integro-differential equations are also presented. These examples show that the obtained stability conditions allow us to avoid in appropriate situations the construction of the Krasovskij-Lyapunov type functionals. In the case of unbounded operators we generalize the well-known Dyson-Phillips theorem on perturbations of strongly continuous semigroups to the fundamental solutions of differential-difference equations in a Banach space. -
Delay-Dependent Stability Conditions for Semilinear Functional Differential Equations in a Banach Space
Michael Gil’Dieses Kapitel geht den verzögerungsabhängigen exponentiellen Stabilitätsbedingungen für semilineare funktionale Differentialgleichungen mit mehreren variablen Verzögerungen innerhalb eines Banach-Raums nach. Die Studie weitet das Hauptergebnis einer früheren Arbeit auf eine breitere Klasse semilinearer Gleichungen aus und befasst sich mit den technischen Schwierigkeiten beim Auffinden von Lyapunov-Krasovskij-Funktionalitäten, insbesondere für nichtlineare nichtautonome Gleichungen mit mehrfacher Verzögerung. Das Kapitel stellt die notwendigen Notationen und Definitionen vor, einschließlich des Banach-Raums, begrenzter linearer Operatoren und des Raums kontinuierlicher Funktionen. Es formuliert den Hauptsatz, der Bedingungen liefert, unter denen die Nulllösung der Gleichung exponentiell stabil ist. Der Beweis für dieses Theorem wird in den folgenden Abschnitten unter Anwendung der Lyapunov-Krasovskij-Methode und des Contraction Mapping Theorem detailliert dargelegt. Darüber hinaus untersucht das Kapitel die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen für die Gleichung und liefert ein Beispiel zur Veranschaulichung der Anwendung des Hauptsatzes. Die Studie schließt mit einer Diskussion über die Implikationen der Ergebnisse und ihre möglichen Anwendungen in verschiedenen Bereichen.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractWe consider a class of semilinear differential equations with several variable delays and bounded operators in a Banach space. Explicit delay-dependent exponential stability conditions for the considered equation are established. Applications to semilinear integro-differential equations with delay are also discussed. -
General Bi-Jensen Equation and (-Ternary Bi)Hom-Derivations on -Ternary Banach Algebras
Zohreh Heydarpour, Javad IzadiDieses Kapitel vertieft sich in die Stabilität funktionaler Gleichungen und konzentriert sich auf das Stabilitätskonzept Hyers-Ulam-Rassias. Es werden die neuen Konzepte der (λ-ternären bi) Hom-Derivate und (λ-ternären bi) Hom-Jordanien-Derivate auf λ-ternäre Banach-Algebren vorgestellt und erforscht. Die Studie erweitert frühere Forschungen von K. Jun et al. und S. Jahedi et al., die die Stabilität dieser neuen Konzepte anhand der Kontrollfunktion von Rassias bewiesen. Das Kapitel untersucht auch die Stabilität von Bi-Jensen-Kartierungen und liefert detaillierte Beweise und Zitate, um diese Ergebnisse zu untermauern. Die Schlussfolgerungen unterstreichen die Bedeutung der λ-ternären Banach-Algebren und ihrer Anwendungen in der mathematischen Physik und bieten einen umfassenden Überblick über die Stabilität dieser algebraischen Strukturen.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractIn this work, first, we introduce the concept of (\(C^*\)-ternary bi)hom–derivations and (\(C^*\)-ternary Jordan bi)hom-derivations with non-identical variables on \(C^*\)-ternary Banach algebras. Finally, we investigate the Hyers-Ulam stability of \(C^*\)-ternary Jordan bihomomorphisms and (\(C^*\)-ternary bi) hom-derivations between \(C^*\)-ternary Banach algebras by Rassias’s control function. -
Hyers-Ulam Stability of a Pexiderized Functional Equation
Soon-Mo JungDieses Kapitel untersucht die Hyers-Ulam-Stabilität einer pexiderisierten Funktionsgleichung, aufbauend auf den grundlegenden Arbeiten von D. H. Hyers und S. M. Ulam. Es stellt ein einzigartiges Theorem (Theorem 1.2) vor, das die Lösungen einer Funktionsgleichung charakterisiert, die als direkte Verallgemeinerung des Additivs Cauchy und der exponentiellen Cauchy-Gleichung betrachtet wird. Das Kapitel vertieft sich in das Stabilitätsproblem dieser Funktionsgleichung und liefert einen detaillierten Beweis (Theorem 2.1), der die Idee aus einem früheren Buch anwendet, um die Hyers-Ulam-Stabilität zu untersuchen. Die Diskussion unterstreicht die Eleganz der Beweismethode und die Herausforderungen, vor denen die Erzielung eines raffinierteren Ergebnisses aufgrund des Mangels an Literatur über die Stabilität exponentieller Funktionsgleichungen mit Kontrollbegriffen einschließlich unbekannter Funktionen steht. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion über die Grenzen des aktuellen Ergebnisses und die Notwendigkeit weiterer Forschung auf diesem Gebiet.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractIn this paper, we examine the stability problem of the Pexider-type functional equation \(f(x+y) = f(x) h(y) + k(y)\), which is a direct generalization of the Cauchy functional equations. -
Impact of Fixed Point Theory on Ulam-Hyers Stability in Normed Spaces
Erdal Karapınar, Marija Cvetković, Seher Sultan YeşilkayaIn diesem Kapitel wird der signifikante Einfluss der Fixpunkttheorie auf die Stabilität funktionaler Gleichungen innerhalb normierter Räume zwischen Ulam und Hyers untersucht. Es beginnt mit einem historischen Überblick, der die Ursprünge des Stabilitätsproblems der Ulam-Hyers und seine späteren Entwicklungen nachzeichnet. Das Kapitel untersucht dann verschiedene Arten von Stabilitätsergebnissen, einschließlich derer für additive, quadratische, kubische und quartische Funktionsgleichungen. Es wird auch die Anwendung von Fixpunkttheoremen zum Nachweis dieser Stabilitätsergebnisse diskutiert, wobei die Verwendung von Banachs Kontraktionsprinzip, Kannans Kontraktion und anderer kontraktiver Mappings hervorgehoben wird. Zusätzlich behandelt das Kapitel Stabilitätsergebnisse in verschiedenen Arten von Räumen, wie zufällige normalisierte Räume, verschwommene normierte Räume, nicht archimedische normierte Räume, p-Banach-Räume und Multi-Banach-Räume. Die Schlussfolgerung betont den bedeutsamen Einfluss von Festpunktergebnissen auf das Stabilitätsproblem von Ulam-Hyers und bietet eine vielseitige Referenzliste und ein breites Spektrum an präsentierten Ergebnissen. Dieses Kapitel dient sowohl Anfängern als auch Experten als umfassender Leitfaden und bietet eine detaillierte Untersuchung der jüngsten Fortschritte und ihrer Anwendungen.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractFixed point theorems have been used extensively in solving Ulam-Hyers stability problems. In this chapter we will focus on Ulam-Hyers stability of different types of functional equations in normed spaces, their modifications and generalizations like \(\beta \)-normed spaces, p-normed spaces, non-Archimedean normed space, fuzzy and random normed spaces. We collect the new results on this topic with following fixed point theorems that were used in their acquiring. Wide range of approaches to the proof of some well-known stability results is also presented from the angle of Fixed Point Theory. -
The Boundedness and HU-Stabilities for Some Weighted Operators
Vahid Keshavarz, Zohreh Kefayati, Thabet AbdeljawadDieses Kapitel befasst sich mit der Begrenzung und Hyers-Ulam (HU) Stabilität gewichteter Operatoren, mit besonderem Schwerpunkt auf gewichteten Hardy Spaces und rückwärts verlagerten Operatoren. Der Text untersucht die Äquivalenz zwischen der Grenze der Operatoren und ihrer HU-Stabilität und liefert eine umfassende Analyse der Bedingungen, unter denen diese Eigenschaften gehalten werden. Darüber hinaus untersucht das Kapitel die Anwendung von Festpunkttechniken auf funktionale Gleichungen und bietet Einblicke in die Stabilität von Lösungen für diese Gleichungen. Ein detailliertes Beispiel veranschaulicht die diskutierten Konzepte und macht dieses Kapitel zu einer wertvollen Ressource für Fachleute, die die Feinheiten gewichteter Operatoren und ihre Stabilitätseigenschaften verstehen wollen.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractIn this paper, we introduce the concept of some weighted operators \(T_{\lambda ,\varphi }\) and \(T_{\lambda ,\omega }\) on weighted Hardy spaces \(H^2_\beta \). After that we investigate the boundedness of those operators on \(H^2_\beta \). Finally, we investigate the Hyers-Ulam stability for weighted backward shift operator on \(H^2_\beta \) and by using example, we show that it stable or not stable in which conditions. -
Permuting Triderivations and Permuting Trihomomorphisms in Complex Banach Algebras
Jung Rye Lee, Choonkil Park, Michael Th. RassiasDieses Kapitel befasst sich mit der Stabilität funktionaler Gleichungen, insbesondere mit triadditiven funktionalen Ungleichheiten in komplexen Banach-Räumen. Die Studie stellt permutierende Triderivate und permutierende Trihomomorphismen in Banach-Algebren vor und untersucht sie. Sie liefert eine umfassende Analyse ihrer Eigenschaften und Stabilität. Zu den wichtigsten Ergebnissen zählen der Nachweis der Hyers-Ulam-Stabilität dieser funktionalen Ungleichheiten mittels Fixpunkt-Methoden sowie die Erforschung permutierender Triderivationen und Trihomomorphismen in unitalen C * -Algebren. Das Kapitel behandelt auch die Anwendung dieser Konzepte in verschiedenen mathematischen Kontexten und bietet einen detaillierten Überblick über die Stabilität und das Verhalten dieser funktionalen Gleichungen in komplexen Banach-Algebren.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractPark (Permuting triderivations and permuting trihomomorphisms in Banach algebras, preprint) introduced the following tri-additive s-functional inequalitywhere s is a fixed nonzero complex number with \(|s |< 1\). Using the fixed point method, we prove the Hyers-Ulam stability and hyperstability of permuting triderivations and permuting trihomomorphisms in Banach algebras and unital \(C^*\)-algebras, associated with the tri-additive s-functional inequality (1).$$\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{rcl} {} & &\displaystyle \| f(x+y, z-w, a+b) + f(x-y, z+w, a-b) \\ & &\displaystyle \qquad -2 f(x, z, a) + 2 f(x, w, b) -2f(y, z, b) +2 f(y, w, a)\| \\ & &\displaystyle \quad \le \left\| s \left(2f\left(\frac{x+y}{2}, z-w, a+b \right) + 2f\left(\frac{x-y}{2}, z+w, a-b\right) \right. \right. \\ & &\displaystyle \qquad \left. \left. -2 f(x, z, a) + 2 f(x, w, b) -2f(y, z, b) +2 f(y, w, a)\right)\right\| , \end{array} \end{aligned} $$(1) -
-Bi-Ternary Derivations in -Algebra-Ternary Algebras
Jung Rye Lee, Choonkil Park, Michael Th. RassiasDieses Kapitel untersucht die Stabilität funktionaler Gleichungen und führt ihre Ursprünge auf Ulams Frage und Hyers "ursprüngliche Lösung zurück. Es untersucht die Hyers-Ulam-Stabilität additiver Funktionsgleichungen in unitalen-algebra-ternären Algebren sowohl unter Verwendung direkter als auch Festpunktmethoden. Der Text stellt biternäre Ableitungen und Homomorphismen vor und liefert detaillierte Beweise und Theoreme für ihre Stabilität. Es wird auch die Anwendung der Fixpunkttheorie bei der Lösung dieser Stabilitätsprobleme diskutiert. Das Kapitel schließt mit einer umfassenden Analyse von -bi-ternären Homomorphismen und Ableitungen, die eine einzigartige Perspektive auf das Thema bietet.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractWe introduce the following additive functional equation$$\displaystyle \begin{aligned} {} g(\lambda u +v+ 2y)= \lambda g(u) + g(v) + 2 g(y) \end{aligned} $$(1)for all \(\lambda \in \mathbf {C}\), all unitary elements \(u, v\) in a unital \(C^*\)-algebra-ternary algebra P and all \(y\in P\). Using the direct method and the fixed point method, we prove the Hyers-Ulam stability of the additive functional equation (1) in unital \(C^*\)-algebra-ternary algebras. Furthermore, we apply to study \(C^*\)-bi-ternary homomorphisms and \(C^*\)-bi-ternary derivations in unital \(C^*\)-algebra-ternary algebras. -
Lie Bracket Derivation-Derivations in Banach Algebras
Jung Rye Lee, Choonkil Park, Michael Th. RassiasDieses Kapitel taucht ein in das faszinierende Reich der Lie-Bracket-Derivate innerhalb komplexer Banach-Algebren. Es beginnt mit der Festlegung grundlegender Konzepte und Definitionen und bereitet die Bühne für einen tiefen Einblick in die Stabilitätsprobleme funktionaler Gleichungen und Ungleichheiten. Das Kapitel stellt dann das Konzept der Lie-Bracket-Derivate vor und untersucht deren Eigenschaften und Verhalten. Ein wesentlicher Teil des Textes widmet sich der Lösung additiv-additiver funktioneller Ungleichheiten, wobei sowohl direkte als auch Festpunktmethoden verwendet werden. Das Kapitel untersucht auch die Hyers-Ulam-Stabilität dieser Derivate und liefert wertvolle Einsichten in ihr Verhalten und ihre Anwendung. Der Text schließt mit einer Reihe von Theoremen und Folgerungen, die die wichtigsten Erkenntnisse und ihre Implikationen zusammenfassen und ein umfassendes Verständnis des Themas bieten.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractIn this paper, we introduce and solve the following additive-additive \((s,t)\)-functional inequalitywhere s and t are fixed nonzero complex numbers with \(|s| <1\) and \( |t| <1\). Using the direct method and the fixed point method, we prove the Hyers-Ulam stability of Lie bracket derivation-derivations in complex Banach algebras, associated to the additive-additive \((s,t)\)-functional inequality (1) and the following functional inequality$$\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{rcl} {} & &\displaystyle \|g\left(x+y\right) -g(x) -g(y)\| +\| h(x+y) + h(x-y) -2 h(x) \| \\ & &\displaystyle \quad \le \left\|s\left( 2 g\left(\frac{x+y}{2}\right)-g(x)-g(y)\right)\right\| \\ & &\displaystyle \qquad + \left\|t \left( 2h\left(\frac{x+y}{2}\right)+ 2h \left(\frac{x-y}{2}\right)- 2h (x)\right) \right\| , \end{array} \end{aligned} $$(1)$$\displaystyle \begin{aligned} {}\| [g, h](xy)-[g,h](x) y- x [g,h](y) \| +\| h(xy) - h(x) y -x h(y) \| \le \varphi(x,y). \end{aligned} $$(2) -
Bi-quadratic Derivations and Bi-quadratic Homomorphisms in Banach Algebras
Jung Rye Lee, Choonkil Park, Michael Th. RassiasDieses Kapitel taucht ein in die faszinierende Welt der bi-quadratischen funktionalen Ungleichheiten und ihrer Stabilität in Banach-Algebren. Der Text beginnt mit der Einführung von bi-quadratischen Ableitungen und Homomorphismen, die klare Definitionen liefern und den Boden für weitere Erkundungen bereiten. Das Kapitel löst dann die bi-quadratische s-funktionale Ungleichheit und beweist die Hyers-Ulam-Stabilität dieser Ungleichheit in Banach-Räumen. Kommen wir nun zu den bi-quadratischen Derivaten. Der Text untersucht ihre Eigenschaften und Stabilität und bietet einen tiefen Einblick in ihr Verhalten. Schließlich untersucht das Kapitel bi-quadratische Homomorphismen, indem es ihre Stabilität nachweist und ein umfassendes Verständnis ihrer Rolle in der Banach-Algebra liefert. Im Verlauf des Kapitels werden detaillierte Korrekturen und Zitate präsentiert, die wertvolle Einblicke in das Thema bieten. Die Schlussfolgerung unterstreicht die Bedeutung dieser Ergebnisse und betont ihre potenziellen Anwendungen in verschiedenen Bereichen.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractIn this paper, we solve the following bi-quadratic s-functional inequality$$\displaystyle \begin{array}{@{}rcl@{}} {} && \|f(x+y,z+w)+f(x+y,z-w)+f(x-y,z+w)+f(x-y,z-w)\\ && \quad - 4[f(x,z)+f(y,z)+f(x,w)+f (y,w)]\| \\ && \le \|s (f(x+y,z)+f(x-y,z)+f(x+y,w)+f(x-y,w)\\&& \quad -f(x,z+w)-f(x,z-w)-f(y,z+w)-f(y,z-w))\| , \end{array} $$(1)where s is a fixed nonzero real or complex number with \(|s |< 2\). Moreover, we prove the Hyers-Ulam stability of bi-quadratic derivations and bi-quadratic homomorphisms in Banach algebras, associated with the bi-quadratic s-functional inequality (1). -
Representation of Mapping as a Sum of Mappings with Familiar Properties
Yang-Hi Lee, Michael Th. RassiasDieses Kapitel untersucht die Darstellung von Mappings als Summen von Mappings mit vertrauten Eigenschaften in realen Vektorräumen. Es stellt das Konzept vor, jedes Mapping als eine Kombination gerader und ungerader Mappings auszudrücken und stellt Theorem 1.1 vor, das besagt, dass ein Mapping als Summe einer Konstanten und Mappings ausgedrückt werden kann, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Das Hauptergebnis, Theorem 2.2, beweist, dass ein Mapping als Summe von Mappings mit einer bestimmten Eigenschaft ausgedrückt werden kann, wenn und nur wenn es eine Lösung für eine bestimmte Funktionsgleichung ist. Das Kapitel behandelt auch die Verallgemeinerung von Cramers Regel zur Lösung linearer Gleichungssysteme und liefert Beispiele und Folgerungen, um die wichtigsten Ergebnisse zu veranschaulichen. Darüber hinaus werden funktionale Gleichungen untersucht, die mit ungeraden und geraden Teilen von Mappings zusammenhängen, und Theorem 4.1 vorgestellt, das die Anwendung des Hauptsatzes auf bestimmte Realitäten vereinfacht. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion über die Implikationen des Hauptsatzes und das Potenzial für weitere Forschungen in diesem Bereich.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractLet X and Y be real vector spaces, m a fixed positive integer, a a real number with \(a > 1\), and let \(i_1, i_2, \ldots , i_m\) be real numbers with \(i_1 < i_2 < \cdots < i_m\). In this paper, we present a method to express each mapping as a sum of mappings with a familiar property. More precisely, we prove that a mapping \(f : X \to Y\) can be expressed as the sum of the mappings \(f_1, f_2, \ldots , f_m : X \to Y\) which have the property \(f_k(ax) = a^{i_k} f_k(x)\) for all \(k \in \{ 1, 2, \ldots , m \}\) if and only if \(f(x)\) is a solution to the functional equation (2.3). In particular, we prove that each \(f_k(x)\) can be expressed as a linear combination of \(f(x), f(ax), \ldots , f(a^{m-1} x)\). -
On Ulam Stability and Hyperstability of Functional Equations in Banach Spaces and 2-Banach Spaces
Abbas Najati, Themistocles M. RassiasDieses Kapitel taucht ein in die faszinierende Welt der funktionalen Gleichungen und konzentriert sich auf ihre Stabilität und Hyperstabilität in Banach- und 2-Banach-Räumen. Die Untersuchung beginnt mit den grundlegenden Arbeiten von Ulam und Hyers, die Pioniere bei der Erforschung der Stabilität von Gruppenhomomorphismen und funktionalen Gleichungen waren. Der Text untersucht akribisch die Bedingungen, unter denen Funktionen die Hyers-Ulam-Stabilität erfüllen, was zur Existenz einzigartiger additiver Funktionen führt. Es erweitert diese Erkenntnisse auch auf annähernd additive Funktionen und liefert verallgemeinerte Versionen der Stabilitätstheoreme. Ein wesentlicher Teil des Kapitels widmet sich dem Konzept der 2-Banach-Räume, stellt ihre Eigenschaften vor und zeigt, wie die Stabilität funktionaler Gleichungen innerhalb dieser Räume untersucht werden kann. Das Kapitel schließt mit einer Reihe von Theoremen und Beweisen, die die Stabilität und Hyperstabilität bestimmter Funktionsgleichungen begründen und wertvolle Einsichten in das Verhalten von Funktionen in diesen fortgeschrittenen mathematischen Strukturen bieten. Die Leser werden ein tieferes Verständnis der Stabilität von Funktionsgleichungen und der einzigartigen Eigenschaften von 2-Banach-Räumen erhalten, was dieses Kapitel zu einem Pflichtlektüre für diejenigen macht, die sich für die neueste Version der Funktionsanalyse interessieren.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractWe investigate the Ulam stability and hyperstability of the functional equationsin Banach spaces and 2-Banach spaces.$$\displaystyle \begin {array}{l} f\left (\frac {x-y}{2}+z\right )+ f\left (\frac {y-z}{2}+x\right )+ f\left (\frac {z-x}{2}+y\right )=f(x+y+z),\\ f\left (\frac {x-y}{2}+z\right )+ f\left (\frac {y-z}{2}+x\right )+ f\left (\frac {z-x}{2}+y\right )=f(x)+f(y)+f(z), \end {array} $$ -
Linear and Affine Sets and Relations
Themistocles M. Rassias, Árpád SzázDieses Kapitel vertieft sich in die algebraischen Strukturen linearer und affiner Mengen und Beziehungen und erweitert die Konzepte von Vektorräumen auf allgemeinere Strukturen. Es beginnt mit der Definition linearer und affiner Mengen und Beziehungen, deren Eigenschaften und wie sie eine natürliche Erweiterung von Vektorräumen bilden. Der Text führt auch die Konzepte der Super- und Hyperbeziehungen ein und bietet einen Rahmen für weitere Untersuchungen. Schlüsselthemen sind die Charakterisierung linearer und affiner Beziehungen, die Existenz linearer und affiner Selektionsfunktionen und die Einführung hypervorgeordneter Halbvektorräume. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion über das Potenzial für weitere Untersuchungen dieser Strukturen, die einen umfassenden Überblick über das Thema und seine Anwendungsmöglichkeiten in der Analyse bietet.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractLinear and affine sets and relations have been formerly investigated by a great number of authors. The aim of the present paper is to put the subject into a new perspective by slightly improving and supplementing some of the earlier definitions and results.In the family \(\mathscr {P}(X)\) of all subsets of a vector space X over a field K, we shall consider the usual extensions of the linear operations to sets. Thus, \(\mathscr {P}(X)\), with the ordinary set inclusion, forms a complete, partially ordered generalized vector space with null, zero and infinity elements \(\emptyset \), \(\{0\}\) and X.Now, a subset A of the vector space X may be naturally called(a)affine if \(\lambda A +( 1-\lambda ) A\subseteq A\) for all \(\lambda \in K\);(b)linear if \(A+A\subseteq A\) and \(\lambda A\subseteq A\) for all \(\lambda \in K\).Moreover, a relation R on X to another vector space Y over K (i.e., a subset R of the product set \(X\!\times \!Y\)) may be naturally called linear (affine) if it is a linear (affine) subset of the product vector space \(X\!\times \!Y\). These properties can also be expressed in terms of the values \(R\,(x)\) with \(x\in X\).Some of the results obtained will be extended to super and hyper relations on X to Y in a subsequent paper. However, for this, instead of \(\mathscr {P}\,(X\!\times \!Y)\) the more difficult power sets \(\mathscr {P}\,\bigl (\mathscr {P}\,(X)\times Y\,\bigr )\) and \(\mathscr {P}\,\bigl (\mathscr {P}\,(X)\times \mathscr {P}\,(Y)\,\bigr )\) have to be equipped with appropriate inequalities and linear operations. -
Solvability Relations in Groupoids
Árpád SzázDieses Kapitel vertieft sich in das Konzept der Löslichkeitsbeziehungen bei Groupoiden, einer grundlegenden Struktur in der abstrakten Algebra. Der Text beginnt mit der Definition der wichtigsten Löslichkeitsbeziehungen und der Erforschung ihrer Eigenschaften, einschließlich ihrer Rolle bei der Klassifizierung und Untersuchung von Groupoiden. Anschließend werden die Konzepte von präfunktionalen und semifunktionalen Groupoiden vorgestellt und Beispiele und Theoreme zur Veranschaulichung dieser Ideen geliefert. Das Kapitel behandelt auch die Assoziativitätseigenschaft und ihre Auswirkungen auf die Löslichkeitsbeziehungen. Darüber hinaus wird das Konzept idempotenter und regelmäßiger Elemente in Groupoiden und ihre Beziehung zu Löslichkeitsbeziehungen untersucht. Der Text schließt mit einer Diskussion über die Anwendung dieser Beziehungen bei der Definition und Untersuchung verschiedener Arten von Groupies, einschließlich Brand-Clifford-Halbgruppen und Brand-Teilgruppen. Im Laufe des Kapitels liefert der Autor zahlreiche Beispiele und Theoreme, um die praktischen Implikationen von Löslichkeitsbeziehungen bei Groupoiden zu illustrieren.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
AbstractIf X is a groupoid, then for any \(x, y\in X\) we defineand moreover \(\varphi \,(x)=\varPhi \,(x, x)\) and \(\psi \,(x)=\varPsi \,(x, x)\).$$\displaystyle \varPhi \,(x, y)=\big \{u\in X: \ \ u\,x=y\,\big \} \ \qquad \text{and}\qquad \ \varPsi \,(x, y)=\big \{v\in X: \ \ x\,v=y\,\big \}, $$In the sequel, \(\varphi , \psi \) and \(\varPhi , \varPsi \) will be considered as relations on X and \(X^{2}\) to X, respectively. And, they will be called the main solvability relations in X.To feel the importance of these relations, note that if \(u\in \varphi \,(x)\) and \(v\in \varPsi \,(x, u)\), then \(u\,x=x\) and \(x\,v=u\). Therefore, u is a left unit for x and v is a right inverse of x relative to u. Thus, the above solvability relations can be used to classify and investigate groupoids.For instance, the groupoid X may be called prefunctional if the restrictions of the relations \(\varphi \) and \(\psi \) to the setare functions of \(X_{0}\) to X. That is, \(\varphi \,(x)\) and \(\psi \,(x)\) are singletons for all \(x\in X_{0}\).$$\displaystyle X_{0}= \left \{ \begin {array}{ll} X\setminus \{0\} \ \ &\text{if }\ \ X\ \text{has a zero 0}; \\ \ \quad X &\text{if }\ \ X\ \text{does not have a zero} \end {array} \right . $$If X is a prefunctional groupoid, then by identifying singletons with their elements we may also definefor all \(x\in X_{0}\).$$\displaystyle {\sigma \,(x)=\varPhi \,\big (x, \psi \,(x)\big ) \qquad \qquad \text{and}\qquad \qquad \rho \,(x)=\varPsi \,\big (x, \varphi \,(x)\big )} $$Moreover, we may call the prefunctional groupoid X to be semifunctional if the relations \(\sigma \) and \(\rho \) are also functions of \(X_{0}\) to X. Surprisingly, if X is a prefunctional semigroup, then \(\sigma =\rho \), and thus \(\rho \) is not needed.If X is a semifunctional semigroup with zero 0, then X may be called a Brand–Clifford semigroup and \(X_{0}\) may be called a Brand partial groupoid. Thus, the difficult definitions and properties of Brandt partial groupoids can be briefly expressed in terms of the solvability relations.The principal task is to determine the solvability relations in a given semigroup X. Unfortunately, this can be done only in some very particular cases. Of course, if X is a group, then the solvability relations in X can be easily computed, and are functions.In this respect it is also worth mentioning that a groupoid X may be called a quasi-group if it is functional in the sense that the relations \(\varPhi \) and \(\varPsi \) are functions of \(X^{2}\) to X. Moreover, the famous Green relations \(\mathscr {L}\) and \(\mathscr {R}\) can also be nicely defined in terms of the relations \(\varPhi \) and \(\varPsi \) considered in the groupoid obtained from X by adjoining a unit if necessary.
- Titel
- Functional Equations and Ulam’s Problem
- Herausgegeben von
-
Themistocles M. Rassias
- Copyright-Jahr
- 2026
- Verlag
- Springer Nature Switzerland
- Electronic ISBN
- 978-3-032-08949-6
- Print ISBN
- 978-3-032-08948-9
- DOI
- https://doi.org/10.1007/978-3-032-08949-6
Die PDF-Dateien dieses Buches wurden gemäß dem PDF/UA-1-Standard erstellt, um die Barrierefreiheit zu verbessern. Dazu gehören Bildschirmlesegeräte, beschriebene nicht-textuelle Inhalte (Bilder, Grafiken), Lesezeichen für eine einfache Navigation, tastaturfreundliche Links und Formulare sowie durchsuchbarer und auswählbarer Text. Wir sind uns der Bedeutung von Barrierefreiheit bewusst und freuen uns über Anfragen zur Barrierefreiheit unserer Produkte. Bei Fragen oder Bedarf an Barrierefreiheit kontaktieren Sie uns bitte unter accessibilitysupport@springernature.com.
