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Über dieses Buch

Das vorliegende Lehrbuch möchte seine Leser auf knappem Raum nachhaltig für die Eleganz und Geschlossenheit der Funktionentheorie und ihre Wirkungsmächtigkeit begeistern. Funktionentheoretische, d.h. komplex-analytische Methoden leisten nämlich etwas fast Magisches:

- kompakte Darstellung von Formeln

- vertieftes Verständnis von Funktionsverhalten

- einfache Berechnung von Grenzwerten

- eleganter Zugang zu Geometrie und Topologie der Ebene

Die Analysis im Komplexen macht vieles also tatsächlich sehr viel unaufwändiger als im Reellen: „Funktionentheorie spart Rechnungen“.

Das Buch eignet sich für Studierende der Mathematik ab dem zweiten Studienjahr und kommt mit einem Minimum an topologischen Begriffen aus. Der äußerst ökonomische Aufbau des Stoffs betont Konzepte und Ideen; konsequent wird daher begrifflichen Beweisen gegenüber solchen mit vielen Rechnungen der Vorzug gegeben. Zahlreiche interessante Beispiele, Anwendungen und 170 Übungsaufgaben beleuchten die Kraft der eingeführten Methoden. Trotz der Kürze des Buchs reicht der Stoff bis zum Riemann'schen Abbildungssatz.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

I. Holomorphe Funktionen

Zusammenfassung
Die „Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Veränderlichen“ (kurz Funktionentheorie, engl. „complex analysis“) stellt in Eleganz, Geschlossenheit und Wirkungsmächtigkeit den unbestritten grö\ten Triumph der Analysis des 19. Jahrhunderts dar. Selbst wenn man „nur“ an reellen Ergebnissen interessiert sein sollte, leisten funktionentheoretische Methoden etwas fast Magisches:
  • kompakte Darstellung von Formeln,
  • vertieftes Verständnis des Funktionsverhaltens,
  • einfache Berechnung von Grenzwerten (Integrale, Reihen, Asymptotik),
  • eleganter Zugang zu Geometrie und Topologie der Ebene.
Die Funktionentheorie ist sowohl ein „einmaliges Geschenk an die Mathematiker“ (Carl L. Siegel) als auch ein für sie und die Anwender (vor allem für Physiker und Ingenieure) unverzichtbares Werkzeug.
Folkmar Bornemann

II. Lokale Cauchy’sche Theorie

Zusammenfassung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung besagt für eine stetige Funktion f: I → ℝ auf einem Interval I = [a, b] ⊂ ℝ, dass
$$ F\left( x \right) = \int_a^x {f\left( \xi \right)d\xi } $$
eine Stammfunktion von f auf (a, b) ist (und jede Stammfunktion sich hiervon nur um eine Konstante unterscheidet). Für die Übertragung in die komplexe Ebene benötigen wir einen geeigneten Integralbegriff.
Folkmar Bornemann

III. Fundamentalsätze

Zusammenfassung
Die Cauchy’sche Integralformel (12.1) lehrt, dass holomorphe Funktionen in einer offenen Kreisscheibe B durch ihre Werte auf dem Rand ∂B bereits eindeutig festgelegt sind (solange B und ∂ B im Definitionsbereich liegen). Diese Beobachtung erlaubt eine weitreichende Verallgemeinerung, für deren Beschreibung wir zunächst einen wichtigen topologischen Begriff einführen:
Folkmar Bornemann

IV. Potenzreihen in Aktion

Zusammenfassung
Wie berechnen wir die Koeffizienten der Taylorentwicklung
$$ f\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{z_n}} {\text{ }}\left( {\left| z \right| < {r_f}} \right) $$
einer konkret gegebenen, um Null holomorphen Funktion f?
Folkmar Bornemann

V. Globale Cauchy’sche Theorie

Zusammenfassung
Wir wollen uns jetzt von all den einschränkenden Voraussetzungen der lokalen Cauchy’schen Theorie befreien: Bislang kennen wir etwa die Gültigkeit des Cauchy’schen Integralsatzes (vgl. § 10) nur für (innerhalb von Sterngebieten) zerlegbare Zyklen und diejenige der Cauchy’schen Integralformel (vgl. § 12) nur für Kreisscheiben. Wir suchen zunächst in § 22 nach einem einfach zu überprüfenden Kriterium, das all jene Zyklen Γ eines gegebenen Bereichs U ⊂ ℂ charakterisiert, für welche der Cauchy’sche Integralsatz gültig bleibt:
$$ \int_\Gamma {f\left( z \right)dz = 0} {\text{ }}\left( {f \in H\left( U \right)} \right); $$
in § 26 charakterisieren wir dann die Gebiete, in denen er für alle Zyklen gilt.
Folkmar Bornemann

VI. Residuenkalkül in Aktion

Zusammenfassung
Eine der Stärken des Residuensatzes liegt in der Auswertung bestimmter (oft uneigentlich konvergenter) Integrale. Das ist dann von besonderem Interesse, wenn der Integrand keine elementare Stammfunktion besitzt und damit der Weg über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung versperrt ist. Hängt das Integral zudem von Parametern ab, so ist eine Auswertung als Funktion der Parameter einer numerischen Approximation für einzelne Parameterwerte häufig vorzuziehen.
Folkmar Bornemann

VII. Biholomorphe Abbildungen

Zusammenfassung
Rationale Funktionen der Form (beachte: für ad − bc = 0 wäre T konstant)
$$ T\left( z \right) = \frac{{az + b}}{{cz + d}}{\text{ }}\left( {ad - bc \ne 0;a,b,c,d \in {\Bbb C}} \right) $$
(30.1)
hei\en gebrochen lineare Transformationen oder Möbiustransformationen. Ihre Bedeutung liegt darin, dass sie biholomorphe Äquivalenzen zwischen „Standardgebieten“ wie Halbebenen und Kreisscheiben vermitteln.
Folkmar Bornemann

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