Geodätische und statistische Berechnungen

Grundlegend für alle geodätischen Berechnungen sind die Lösungen der Grundaufgaben der ebenen Trigonometrie. Gegenstand dieses Kapitels sind zunächst Berechnungen mit Strecken, Winkeln und Flächeninhalten in ebenen Figuren wie Dreiecken, Vierecken, Kreisen und Ellipsen. Ebene kartesische und polare Koordinatensysteme werden eingeführt und die Grundaufgaben der ebenen Koordinatenrechnung gelöst. Darauf aufbauend werden Berechnungsverfahren für ebene geodätische Schnitte betrachtet, das sind der Bogenschnitt, der Vorwärtsschnitt, der Geradenschnitt, der Schnitt von Gerade und Kreis sowie der Rückwärtsschnitt. Schließlich werden die wichtigsten ebenen Koordinatentransformationen eingeführt, vor allem die Rotation und Translation, die Ähnlichkeitstransformation, die Helmert-Transformation und die Affin-Transformation. Es wird gezeigt, wie diese Berechnungsverfahren eingesetzt werden können, um Anwendungsaufgaben zu lösen, z.B. die Konstruktion eines Kreises durch drei Punkte und eines Rechtecks durch fünf Punkte.

Die in Kapitel 1 vorgestellten Berechnungen in der Ebene werden um eine Dimension erweitert. Dabei wird sinnvoll von der Vektor- und Matrix-Algebra Gebrauch gemacht. Räumliche kartesische und polare Koordinatensysteme werden eingeführt und die Grundaufgaben der räumlichen Koordinatenrechnung gelöst. Mit Punkten, Geraden, Ebenen und Kugeln werden Abstands-, Schnitt- und Projektionsberechnungen durchgeführt. Darauf aufbauend werden Berechnungsverfahren für räumliche geodätische Schnitte betrachtet, das sind der Vorwärtsschnitt, der Geradenschnitt, der Kugelschnitt mit und ohne Offset sowie der Rückwärtsschnitt. Schließlich werden die wichtigsten räumlichen Koordinatentransformationen eingeführt, vor allem die Helmert-Transformation, die Sechs- und die Neun-Parameter-Transformation sowie die Affintransformation. Es wird gezeigt, wie diese Berechnungsverfahren eingesetzt werden können, um Anwendungsaufgaben zu lösen, z.B. die Konstruktion einer Kugel durch vier Punkte und eines Zylinders durch sieben Punkte.

Nur bei sehr kleinräumigen geodätischen Aufgaben kann die Erdkrümmung vernachlässigt werden. Als Näherung für die unregelmäßige Erdfigur verwendet man heute bei sehr vielen geodätischen Aufgaben ein Rotationsellipsoid. Zunächst werden die geometrischen Eigenschaften des Rotationsellipsoids beleuchtet, hier vor allem die Krümmungsverhältnisse der Ellipsoidfläche. Die Umrechnung zwischen Breiten- und Längengraden sowie geozentrischen und topozentrischen kartesischen Koordinaten wird erläutert. Als wichtigste Ellipsoidflächenkurve wird die geodätische Linie eingeführt. Für diese Kurve werden Berechnungsverfahren aus auf die Ellipsoidfläche reduzierten räumlichen Messwerten vorgestellt, hier vor allem das Verfahren der Integralformeln. Zur Verebnung des Ellipsoids dient heute die winkeltreue Gaußsche Abbildung als Grundlage für Gauß-Krüger- und UTM-Koordinatensysteme. Umrechnungen zwischen diesen und ellipsoidischen Koordinaten werden erläutert. Zur praktischen Arbeit mit diesen Koordinaten müssen Meridiankonvergenzen sowie Punkt-, Linien- und Flächenmaßstäbe berechnet werden, wofür ebenfalls Formeln angegeben sind.

Bei der Auswertung geodätischer Messungen müssen mögliche Messabweichungen in Betracht gezogen werden. Diese werden in der Geodäsie als Realisierungen von Zufallsvariablen aufgefasst, so dass einige Werkzeuge der mathematische Statistik benötigt werden. Grobe, systematische und zufällige Messabweichungen sowie Driften werden unterschieden und ihre Eigenschaften untersucht. Zu deren zahlenmäßiger Beschreibung werden Genauigkeitskenngrößen eingeführt, im Wesentlichen sind das Standardabweichungen, Varianzen, Gewichte und Messunsicherheiten. In diesem Zusammmenhang werden Konfidenzintervalle und Maßtoleranzen erklärt. Bei der Auswertung geodätischer Messungen muss berücksichtigt werden, ob Zufallsvariablen korreliert sind. Deshalb werden physikalisch-technische und mathematische Korrelationen betrachtet und durch Kovarianzen und Korrelationskoeffizienten von Zufallsvariablen sowie durch Kovarianz- und Kofaktormatrizen von Zufallsvektoren erfasst. Zur Beschreibung von Punktgenauigkeiten in der Ebene und im Raum werden Standard- und Konfidenzellipsen bzw. -ellipsoide verwendet. Die Berechnungsformeln hierzu werden angegeben.

Bei der Auswertung geodätischer Messungen übertragen sich die Messabweichungen auf die Ergebnisgrößen. Dabei kann es zur Verstärkung oder zur Abschwächung der Wirkung solcher Messabweichungen kommen, und es können mathematische Korrelationen zwischen diesen Größen entstehen. Zur Berechnung dieser Effekte werden Fortpflanzungsgesetze eingeführt, nämlich für wahre, maximale, systematische und zufällige Messabweichungen. Die größte Bedeutung erfährt das Kovarianzfortpflanzungsgesetz, besonders in seiner Spezialisierung als Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz und in seiner Abwandlung als Gewichtsfortpflanzungsgesetz. Zur Anwendung dieser Gesetze wird die analytische und die numerische Methode der Fehler-, Gewichts- und Kovarianzfortpflanzung eingeführt. Diese Methoden werden anhand zahlreicher praktischer Beispiele erläutert. Hiermit können die erwartbaren Genauigkeiten von Ergebnisgrößen und die erforderlichen Messgenauigkeiten berechnet werden. Schließlich wird gezeigt, wie man damit Messungsanordnungen optimieren und Korrelationen von Zufallsvariablen bestimmen kann.

In der Geodäsie werden oft Wiederholungs- und Doppelbeobachtungen ausgeführt. In der Auswertung geht es zum einen darum, optimale Schätzwerte für die Messgrößen zu finden. Diese ergeben sich meist als einfache oder gewichtete arithmetische Mittel der Beobachtungen. Zum anderen sucht man Schätzwert für die Standardabweichungen der Beobachtungen und der Mittelwerte. Bei Doppelbeobachtungen wird danach unterschieden, ob zwischen der ersten und zweiten Messung

eine systematische Differenz auftritt, die ebenfalls zu schätzen sein kann. Schließlich muss in Betracht gezogen werden, dass in Wiederholungs- und Doppelbeobachtungen Ausreißer auftreten können, das sind Beobachtungswerte, die schlecht zu den anderen Werten passen. Es wird gezeigt, wie die statistische Hypothese getestet wird, dass diese Ausreißer durch eine grobe Messabweichung verursacht sind. Daraus ergeben sich zulässige Abweichungen zwischen Beobachtungswert und Mittelwert oder zulässige Differenzen zwischen Doppelbeobachtungen.

In den vorangegangenen Kapiteln ist mehrfach die Notwendigkeit entstanden, geodätische Probleme auf der Basis überschüssiger Messwerte zu lösen. Dazu dient die geodätische Ausgleichungsrechnung, die eine Anwendung statistischer Schätzverfahren auf geodätische Modellsituationen ist. In diesem Kapitel wird die allgemeine Methode der Ausgleichung nach kleinsten Quadraten dargelegt. Zunächst wird das funktionale Ausgleichungsmodell bestehend aus Beobachtungen und Parametern sowie deren funktionaler Beziehungen formuliert. Danach werden die stochastischen Eigenschaften von Messabweichungen in einem stochastischen Ausgleichungsmodell beschrieben. Nach einer meist notwendigen Linearisierung werden optimale Schätzwerte für die Beobachtungen und Parameter sowie für Funktionen dieser Größen berechnet. Anschließend können auch Schätzwerte für Standardabweichungen und weiterer Genauigkeitskenngrößen aller beteiligten Größen abgeleitet werden. Zur Beurteilung der Zuverlässigkeit eines Ausgleichungsmodells werden die Redundanzanteile der Beobachtungen berechnet. Es wird gezeigt, wie die statistische Hypothese getestet wird, dass einzelne Ausreißer in den Beobachtungen durch eine grobe Messabweichung verursacht sind. Die gesamte Prozedur wird anhand geodätischer Höhennetze und ausgleichender Funktionen illustriert. Schließlich werden noch Lösungen für weitere häufig auftretende Ausgleichungsmodelle angegeben, z.B. für Richtungs-Strecken-Netze und Koordinatentransformationen.