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2022 | Buch

Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie

Eine Einführung aus differentialgeometrischer Perspektive

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Über dieses Buch

Zu Recht wird Albert Einsteins Entdeckung der Allgemeinen Relativitätstheorie bewundert, denn ihre Erkenntnisse haben unseren Blick auf das Universum grundlegend verändert. Aus mathematischer Perspektive basiert die Theorie auf zentralen Aussagen der Riemann’schen Geometrie. Dieses Buch liefert eine didaktisch aufbereitete und interdisziplinäre Einführung in die Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ausgehend von Einsteins typischen Überlegungen und Gedankenexperimenten werden die Prinzipien der Relativitätstheorie erarbeitet und mit den zugrundeliegenden mathematischen Konzepten der Differentialgeometrie verknüpft.
Der Autor bietet durch die Verbindung beider Fachdisziplinen sowohl für Studierende der Physik als auch der Mathematik die Möglichkeit, in eine der faszinierendsten Theorien der Physik einzutauchen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Zu Recht wird Albert Einsteins Entdeckung der Allgemeinen Relativitätstheorie bewundert, denn ihre Erkenntnisse haben unseren Blick auf das Universum grundlegend verändert. Dem Zauber seiner in sich geschlossenen Theorie kann sich kaum einer entziehen, der sich näher mit ihr beschäftigt hat. Im einleitenden Kapitel wird außerdem deutlich, warum sich auch eine tiefere Auseinandersetzung mit den mathematischen Inhalten der Differentialgeometrie lohnt.
Lukas Scharfe
Kapitel 2. Der Weg zur Relativitätstheorie
Zusammenfassung
Isaac Newton stellte im Jahr 1687 in seinem Lehrbuch „Philosophiae naturalis principia mathematica“ die erste vereinheitlichende Theorie zur Gravitation vor. Im Rahmen der von ihm begründeten klassischen Mechanik kombinierte er die Forschungsarbeiten Galileis zu den Fallgesetzen auf der Erde mit den Kepler-Gesetzen der Planetenbewegung zu einem umfassenden Gravitationsgesetz. Newtons Theorie stellte damit einen Meilenstein zur Vereinheitlichung der Physik dar und es sollte über 200 Jahre dauern, bis Albert Einstein mit der ART den nächsten Durchbruch zu einer umfassenden relativistischen Gravitationstheorie erzielte. Da Newtons Gravitationstheorie die Grundlage weiterer Überlegungen war, die Einstein Anfang des 20. Jahrhunderts anstellte, wollen wir in diesem Kapitel einige zentrale Erkenntnisse Newtons zusammenfassen. Dabei leiten wir die Feldgleichung für das Gravitationspotential aus Newtons Gravitationsgesetz her und diskutieren anschließend den Begriff des Inertialsystems. Die Galilei-Transformation, die mathematisch zwischen zwei Inertialsystemen vermittelt, bildet den Abschluss dieses Kapitels.
Lukas Scharfe
Kapitel 3. Spezielle Relativitätstheorie
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir die grundlegenden Konzepte der Speziellen Relativitätstheorie behandeln, welche für die Entwicklung der ART von großer Bedeutung sind. Die Grenzen der Galilei-Transformationen veranlassten Einstein zu zwei Postulaten, auf deren Grundlage er die SRT aufbaute. Die grundlegende Idee, Raum und Zeit zu vereinigen, führt uns zum Minkowski-Raum und zu den Lorentz-Transformationen. Wir werden feststellen, dass die neue Struktur der Raumzeit keinen absoluten Gleichzeitigkeitsbegriff zulässt. Es folgt daraufhin eine Abhandlung von Vektoren und Kovektoren im Minkowski-Raum. Im Zuge dessen werden wir auch den Tensorbegriff aufgreifen und mathematisch diskutieren. Am Ende des Kapitels werden einige zentrale Ergebnisse der SRT dargestellt.
Lukas Scharfe
Kapitel 4. Grundideen der Allgemeinen Relativitätstheorie
Zusammenfassung
Nachdem wir die Grundzüge der Newton’schen Gravitationstheorie und der Speziellen Relativitätstheorie wiederholt haben, steht uns die Tür zur Allgemeinen Relativitätstheorie offen. Wir werden in diesem Kapitel die physikalischen Grundideen formulieren, die Einstein zu einer Verallgemeinerung der SRT führten. In einem ersten Schritt machen wir uns noch einmal die Analogie zur Elektrodynamik deutlich und erhalten damit eine erste Idee für die Form eines relativistischen Gravitationsgesetzes. Mit dem Äquivalenzprinzip gelang Einstein der Durchbruch zur ART. Für die Raumzeit ergeben sich daraus einige grundlegende Veränderungen, die wir heuristisch diskutieren. Am Ende des Kapitels wird außerdem deutlich, warum wir uns in den folgenden beiden Kapiteln der Differentialgeometrie und insbesondere der Riemann’schen Geometrie widmen.
Lukas Scharfe
Kapitel 5. Differentialgeometrie: Mannigfaltigkeiten und Tensoren
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden systematisch erste differentialgeometrische Grundlagen für die Behandlung der ART geschaffen. Den Grundstein legt dabei das Kalkül der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Auf die Frage, wie wir Vektoren auf Mannigfaltigkeiten einführen können, wird uns der Tangentialraum eine Antwort liefern. Dort haben wir auch die Möglichkeit, Kovektoren und allgemein Tensoren zu betrachten, wie wir sie schon in der SRT kennengelernt haben. Wir haben bereits gesehen, dass das Konzept der Metrik in der ART verallgemeinert werden muss. Das führt uns zu pseudo-Riemann’schen Mannigfaltigkeiten.
Lukas Scharfe
Kapitel 6. Differentialgeometrie: Krümmung und Geodäten
Zusammenfassung
Die ersten geometrischen Grundlagen sind geschaffen. Wir wissen jetzt, was wir unter einer Mannigfaltigkeit verstehen und wie wir auf dieser mittels der Tangentialräume Vektoren und Tensoren einführen können. Statten wir die Mannigfaltigkeit mit einer nicht-entarteten Metrik aus, die im Allgemeinen koordinatenabhängig ist, erhalten wir eine pseudo-Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Im nächsten Schritt werden wir sehen, wie sich Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten ableiten lassen. Das führt uns zu dem Begriff des linearen Zusammenhangs und der kovarianten Ableitung, welche die partielle Ableitung verallgemeinern wird. Geometrisch werden wir die kovariante Ableitung als Paralleltransport von Vektoren diskutieren. Anschließend behandeln wir mit den Geodäten eine spezielle Klasse von Kurven, die in der ART die Bahnkurven kräftefreier Teilchen beschreiben. In diesem Zusammenhang werden wir mit der Exponentialabbildung ein besonderes Koordinatensystem kennenlernen, welches mit dem Lokalen Inertialsystem identifiziert werden kann. Im letzten Abschnitt wird der Krümmungstensor, der für die Einstein’schen Feldgleichungen der ART von großer Bedeutung ist, diskutiert.
Lukas Scharfe
Kapitel 7. Allgemeine Relativitätstheorie
Zusammenfassung
Nach einem Ausflug in die Riemann’sche Geometrie widmen wir uns in diesem Kapitel der ART sowie den Einstein’schen Feldgleichungen, die Einstein nach fast zehnjähriger harter Arbeit entwickelt hatte. Wir untersuchen die Struktur der neu gefundenen Feldgleichungen und werden sie für den einfachen Fall einer kugelsymmetrischen Masseverteilung lösen. Im letzten Abschnitt diskutieren wir Effekte der ART, durch welche die Theorie noch zu Einsteins Lebzeiten experimentell bestätigt werden konnte.
Lukas Scharfe
Kapitel 8. Fazit und Ausblick
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die wesentlichen Erkenntnisse der vorangegangenen Kapitel zusammengefasst und ein Ausblick auf aktuellere Themen wie der Entdeckung der Gravitationswellen gegeben. Außerdem diskutieren wir, in welchen anderen Themengebieten die vorgestellten Methoden der Differentialgeometrie ihre Anwendung finden.
Lukas Scharfe
Backmatter
Metadaten
Titel
Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie
verfasst von
Lukas Scharfe
Copyright-Jahr
2022
Electronic ISBN
978-3-658-40361-4
Print ISBN
978-3-658-40360-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-40361-4

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