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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einführung

Zusammenfassung
Im Rahmen der in den sechziger Jahren des vorigen Jahrhunderts vollendeten Maxwellschen Elektrodynamik wird das Licht als elektromagnetische Welle aufgefaßt. Da sich Schwingungsvorgänge sonst immer auf ein bestimmtes Medium beziehen, wurde damals ein fiktiver Äther als Träger der Feldstärken angesehen. In einem relativ zu diesem Äther ruhenden Bezugssystem müßte sich das Licht in alle Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten. In einem zweiten Bezugssystem, das sich relativ zu dem ersten bewegt, würde dann aber auch das Medium Äther mit der entsprechenden Geschwindigkeit strömen und dadurch die Lichtgeschwindigkeit so beeinflussen, daß in diesem bewegten Bezugssystem die Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Richtungen unterschiedliche Beträge hätte. Dieser Effekt konnte aber experimentell nicht bestätigt werden. In Versuchen, die seit 1881 wiederholt und mit wachsender Meßgenauigkeit durchgeführt wurden, hat sich der Betrag der Lichtgeschwindigkeit als unabhängig von der Richtung und dem Betrag der Eigengeschwindigkeit des Bezugssystems erwiesen.
Rainer Oloff

1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung
Flächen im dreidimensionalen Raum beschreibt man häufig durch eine Parameterdarstellung. Jedem Punkt P der Fläche M wird dabei durch eine Abbildung ϕ ein Paar von Parameterwerten u und υ zugeordnet. Die Abbildung ϕ von M zur Parametermenge Г ⊆ ℝ2 soll bijektiv, also umkehrbar sein. Eine Parameterdarstellung wird im allgemeinen durch Angabe der die Umkehrabbildung ϕ−1 beinhaltenden drei reellwertigen Funktionen formuliert, d.h. die drei kartesischen Koordinaten x,y,z sind als Funktionen von u und υ gegeben. Es sei hier an die üblichen Darstellungen einer Zylinderfläche durch die drei Gleichungen x = r cos u, y = r sin u, z = υ für (u,υ) ∈ Г = (0,2π) × ℝ und einer Kugeloberfläche durch x = r sin u cos υ, y = r sin u sin υ, z = r cos u für (u,υ) ∈ Г = (0,π) × (0,2π) mit den geometrischen Interpretationen entsprechend Bild 1.1 erinnert.
Rainer Oloff

2. Tangentenvektoren

Zusammenfassung
In diesem Kapitel sei M eine n-dimensionale C-Mannigfaltigkeit im Sinne von Def.1.7. Der Funktionenraum F(M) sei hier wie in Def.1.11 eingeführt. Im Abschnitt 1.3 haben wir für n-dimensionale Untermannigfaltigkeiten von ℝ m im Sinne von Def.1.8 den Begriff des Tangentenvektors eingeführt.
Rainer Oloff

3. Tensoren

Zusammenfassung
Die Darstellung von Elementen eines endlichdimensionalen Raumes E, Linearformen auf E und linearen Abbildungen in E als n-Tupel bzw. Matrizen hängt wesentlich von der Auswahl der Basis in E ab. Der im nächsten Abschnitt eingeführte Tensorbegriff verallgemeinert diese Objekte und ermöglicht so unter anderem eine einheitliche Theorie der Koordinatentransformationen. Daß der zugrunde liegende Raum E in den späteren Anwendungen immer ein Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit sein wird, spielt in diesem Kapitel noch keine Rolle. Insofern ist dieses Kapitel völlig unabhängig von den Überlegungen der ersten beiden Kapitel.
Rainer Oloff

4. Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung
Jeder Tangentialraum M P einer n-dimensionalen C-Mannigfaltigkeit M ist ein n-dimensionaler linearer Raum. Damit sind für nichtnegative ganze Zahlen p und q die Tensorräume
$$(Mp)_q^p$$
erklärt. Insbesondere lassen sich die Dualräume
$$M_p^* = (Mp)_1^o$$
bilden.
Rainer Oloff

5. Spezielle Relativitätstheorie

Zusammenfassung
In der Mechanik wird zunächst die Bewegung von Teilchen untersucht. Eine Bahngleichung ist in der klassischen Newtonschen Mechanik eine Abbildung von ℝ nach ℝ3, damit wird zu jedem Zeitpunkt t die Position
$$\bar r(t)$$
des Teilchens angegeben. Somit ist die Bahngleichung eine Parameterdarstellung einer Kurve in ℝ3. In Bild 5.1 ist die Situation dargestellt, wobei aber eine Dimension unterdrückt ist. Um diesen Newtonschen Standpunkt mit dem relativistischen vergleichen zu können, modifizieren wir jetzt die Formulierung.
Rainer Oloff

6. Differentialformen

Zusammenfassung
Die Überlegungen in den Abschnitten 1 bis 3 dieses Kapitels beziehen sich auf einen endlichdimensionalen reellen linearen Raum E, dessen Part dann später die Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit spielen werden.
Rainer Oloff

7. Die kovariante Ableitung von Vektorfeldern

Zusammenfassung
Gegenstand dieses Kapitels ist die Beschreibung der Änderung eines Vektorfeldes Y bei einer kleinen Verschiebung des Punktes P. Im Punkt P möchten wir aus einem Vektorfeld und einem Vektor xM P bei der Richtungsableitung wieder einen Vektor aus M P erhalten.
Rainer Oloff

8. Krümmung

Zusammenfassung
Wir wählen hier einen abstrakten Zugang, bei dem zunächst nichts von dem zu erkennen ist, was man sich bei einer Fläche in ℝ3 unter Krümmung vorstellt. Weil der Begriff der kovarianten Ableitung verwendet wird, ist eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit [M,g] zugrunde zu legen.
Rainer Oloff

9. Materie

Zusammenfassung
Wir klären jetzt, wie die Masseverteilung in einer Raumzeit zu beschreiben ist. Ob Masse ruht oder strömt, hängt vom Beobachter ab. Dieser registriert eine Strömungsgeschwindigkeit, der entsprechend dem im Abschnitt 5.1. formulierten Standpunkt ein zukunftsweisend zeitartiger Tangentenvektor z mit g(z,z) = 1 zugrunde liegen muß. In jedem Punkt liegt ein solcher Vektor vor, es handelt sich also um ein Vektorfeld Z mit g(Z,Z) = 1 und zukunftsweisenden Vektoren Z(P). Zu berücksichtigen sind ferner eine Intensität im Sinne von Dichte und ein isotroper Druck, beschrieben durch skalare Felder ϱ und p. Weil insbesondere die Masse vom Beobachter abhängt, ist das auch von der Dichte zu erwarten. Die Zahl ϱ(P) soll die Dichte sein, die der in der Strömung Z treibende Beobachter z = Z(P) registriert. Andere Wechselwirkungen wie Viskosität und Temperaturaustausch sollen dagegen keine Rolle spielen. Insgesamt ist durch diese Überlegungen begründet, warum man unter einer idealen Strömung ein solches Tripel [Z,ϱ,p] versteht. Es ist zu erwarten, daß zwischen X, ϱ und p noch irgendwelche Beziehungen bestehen, ähnlich den Grundgleichungen der Hydrodynamik in der Newtonschen Mechanik. Solche Gesetze können wir aber erst im Abschnitt 11.5 komfortabel formulieren.
Rainer Oloff

10. Geodäten

Zusammenfassung
Es ist eine Grundaussage der Relativitätstheorie, daß die Zeitrechnung vom jeweiligen Beobachter abhängt. Nach Def.5.1 ist ein Beobachter in der Raumzeit M eine M-wertige Funktion γ der reellen Variablen t mit g(γ′(t),γ′(t)) = 1 und γ′(t) zukunftsweisend. Die Variable t ist die Zeit, die eine vom Beobachter γ mitgeführte Uhr angibt, natürlich nur bis auf eine additive Konstante. Der Beobachter γ empfindet das Verrinnen der Zeit als Veränderung des von ihm beobachteten Geschehens. Skalare Felder, Vektorfelder und, allgemeiner, Tensorfelder verändern ihren Funktionswert.
Rainer Oloff

11. Kovariante Differentiation von Tensorfeldern

Zusammenfassung
Für eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit ermöglicht der Begriff der kovarianten Ableitung von Vektorfeldern über Paralleltransport die Konstruktion von Isomorphismen zwischen den Tangentialräumen. Dadurch ergibt sich dann eine Charakterisierung der kovarianten Ableitungen von Vektorfeldern, die sich zu einer Definition der kovarianten Ableitung von Tensorfeldern verallgemeinern läßt.
Rainer Oloff

12. Die Lie-Ableitung

Zusammenfassung
Wie schon im Abschnitt 2.3 erwähnt, ist ein Vektorfeld als Strömung zu deuten. Es liegt nun nahe zu untersuchen, wohin diese Strömung ein Teilchen im Verlaufe einer bestimmten Zeitspanne transportiert (Bild 12.1).
Rainer Oloff

13. Integration auf Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung
Der Begriff der Mannigfaltigkeit umfaßt gekrümmte Kurven und Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum. Ein Integralbegriff auf Mannigfaltigkeiten sollte deshalb Kurvenintegrale und Oberflächenintegrale verallgemeinern.
Rainer Oloff

14. Nichtrotierende Schwarze Löcher

Zusammenfassung
Schon im zehnten Kapitel haben wir Geodäten in der Schwarzschild-Raumzeit untersucht. In diesem Kapitel stellen wir uns auf den Standpunkt, daß die gesamte Masse des diese Raumzeit erzeugenden nichtrotierenden Fixsterns bei r = 0 konzentriert ist. Damit rückt der Bereich mit dem Schwarzschild-Radius r nahe dem kritischen Wert 2μ und darunter in das Zentrum des Interesses. Diese Zahl 2μ wird oft Schwarzschild-Radius (des Fixsterns) genannt. Da wir hier diesen Namen aber schon für die radiale Koordinate reserviert haben, nennen wir diese Zahl Schwarzschild-Horizont.
Rainer Oloff

15. Kosmologie

Zusammenfassung
Die Gaußsche Krümmung einer Fläche läßt sich zu den sogenannten Schnittkrümmungen für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Wenn diese Schnittkrümmungen konstant sind, hat der Krümmungstensor eine recht einfache Form. Wir beschränken uns hier auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten, die Begriffe benötigen wir dann für die Mannigfaltigkeit ℝ3, ausgestattet mit einer geeigneten Metrik.
Rainer Oloff

16. Rotierende Schwarze Löcher

Zusammenfassung
Das von einem nichtrotierenden Fixstern mit der Masse μ und dem Radius R im Äußeren r > R erzeugte Gravitationsfeld wird mit der (äußeren) Schwarzschild-Metrik mit dem Parameter μ beschrieben. Wenn dieser Fixstern zu einem Schwarzen Loch kollabiert, ändert sich an den Formeln dieser Metrik nichts, aber die Einschränkung r > R schwächt sich ab zu r > 0, einmal abgesehen von den Schwierigkeiten bei r = 2μ. Eine (relativistische) Charakterisierung des Gravitationsfeldes eines rotierenden Fixsterns ist bisher nicht bekannt. Bekannt ist aber die Metrik, die ein Schwarzes Loch beschreibt, das durch den Kollaps eines rotierenden Fixsterns mit Masse μ und Drehimpuls J entstanden ist. Das ist die Kerr-Metrik (R. Kerr 1963) mit den Parametern μ und a = J/μ, die im Mittelpunkt dieses Kapitels steht. Die Begründung dieser Metrik ist langwierig und überschreitet den Rahmen dieses Buches, wir verweisen auf [Ch] §§52–55.
Rainer Oloff

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