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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch entwickelt systematisch die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie und verbindet diese mit den physikalischen Beziehungen. Dafür wird zuerst die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten eingeführt, einschließlich der Differentiation und Integration, und die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Mit den Einstein'schen Feldgleichungen, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzen, werden ausführlich die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. In der vorliegenden sechsten Auflage wurde ein Ausblick auf die Stringtheorie ergänzt, der die in der Stringtheorie benötigten Modifikationen von Rechnungen der Relativitätstheorie vorstellt.

Der Text richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

In der klassischen Integralrechnung verwendet man zur Beschreibung und Verarbeitung einer gekrümmten glatten Fläche im dreidimensionalen Raum häufig eine Parameterdarstellung. Das ist eine bijektive Abbildung von einer Menge von Zahlenpaaren auf diese Fläche. Mitunter funktioniert eine solche Abbildung nicht überall, dann muss man für verschiedene Regionen der Fläche verschiedene Darstellungen (Karten) verwenden. Beispielsweise bietet sich für die Darstellung der Erdoberfläche ein Atlas mit vier Karten an: Arktis, Antarktis und zwei Karten für die Tropen und die gemäßigte Zone. Da jede dieser Parametermengen offen sein sollte und die Karten die gesamte Fläche überdecken müssen, überlagern sich die Karten. Dort entstehen Umrechnungen zwischen den Parameterpaaren, die bestimmte Glattheitsforderungen erfüllen sollen. Damit ist die Kugeloberfläche zu einem typischen Beispiel einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit geworden. Die Bijektionen übertragen den Begriff der Offenheit einer Menge von Zahlenpaaren auf die Teilmengen der dargestellten Fläche. Damit ist die gekrümmte Fläche als zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen Raumes interpretiert. Allgemeiner werden auch n-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des m-dimensionalen Raumes (m>n) untersucht.
Rainer Oloff

2. Tangentenvektoren

Was ein Tangentenvektor in einem Punkt einer glatten Fläche im dreidimensionalen Raum ist, ist anschaulich klar. Die Menge aller Tangentenvektoren in diesem Punkt bilden einen zweidimensionalen Raum, den Tangentialraum. Jeder Tangentenvektor erzeugt eine Richtungsableitung. Das ist eine lineare Abbildung auf der Menge aller differenzierbaren reellwertigen Funktionen, für die außerdem eine Produktregel gilt. Jeder Tangentenvektor lässt sich durch die Wirkung, die er als Richtungsableitung auf die differenzierbaren Funktionen hat, identifizieren. Das ermöglicht die Übertragung des Begriffs des Tangentenvektors auf Mannigfaltigkeiten. Ein Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit ordnet jedem Punkt einen Tangentenvektor in diesem Punkt zu. Eine besondere Rolle spielen die Koordinatenvektorfelder. Die Lie-Klammer ist eine bilineare Operation in der Menge der Vektorfelder. Sie erfüllt die sogenannte Jacobi-Identität.
Rainer Oloff

3. Tensoren

Zu einem linearen Raum E ist ein p-fach kontravarianter und q-fach kovarianter Tensor (kürzer (p,q)-Tensor) eine Abbildung, die p Linearformen auf E und q Vektoren aus E multilinear eine reelle Zahl zuordnet. Die Menge Epq aller (p,q)-Tensoren zu E ist ein linearer Raum der Dimension np+q, wobei n die Dimension von E ist. Das Tensorprodukt von zwei Tensoren zum gleichen Raum E ist das punktweise Produkt dieser beiden Abbildungen. Weitere Manipulationen sind das Kontrahieren und Überschieben. Wenn in E eine Basis ausgewählt wird, ergibt sich daraus in naheliegender Weise eine Basis in Epq. Ein Basiswechsel in E erzeugt einen Basiswechsel in Epq und damit eine Umrechnungsvorschrift für die Komponenten der Tensoren. Diese Formeln werden in der Physik häufig zur Einführung des Tensorbegriffs benutzt. Wenn E ein euklidischer Raum ist, gibt es dort das Skalarprodukt g. Das ist ein (0,2)-Tensor, der dann das Indexziehen ermöglicht.
Rainer Oloff

4. Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ausgestattet mit einem (0,2)-Tensorfeld g, genannt Fundamentaltensor oder Metrik, für das in jedem Punkt P die Bilinearform g(P) ein Skalarprodukt ist. Wenn nur gefordert wird, dass die g(P) beschreibenden Matrizen symmetrisch und regulär sind, handelt es sich um eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Insbesondere ist es eine Lorentz-Mannigfaltigkeit, wenn diese Matrizen durch Hauptachsentransformation in Diagonalform mit einer 1 und sonst -1 in der Hauptdiagonalen gebracht werden können. Eine glatte Fläche ist orientiert, wenn eine Seite gegenüber der anderen ausgezeichnet ist. Die Kleinsche Flasche und das Möbius-Band sind nicht orientierbar. Entsprechend lässt sich, wenn möglich, eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit orientieren. Für Lorentz-Mannigfaltigkeiten gibt es auch noch den Begriff der Zeitorientierung. Die Raumzeit ist eine vierdimensionale orientierte und zeitorientierte Lorentz-Mannigfaltigkeit. Ihre Tangentenvektoren x lassen sich je nach dem Vorzeichenverhalten von g(P)(x,x) in zeitartig, raumartig und lichtartig einteilen. Als Beispiele werden die Schwartzschild-Raumzeit und die Einstein-deSitter-Raumzeit behandelt.
Rainer Oloff

5. Spezielle Relativitätstheorie

Ein Beobachter ist ein Tangentenvektor x der Raumzeit mit g(x,x)=1. Auch ein Teilchen ist ein Tangentenvektor z mit g(z,z)=1, zusätzlich ausgestattet mit einer nichtnegativen Zahl m, die als Ruhmasse aufgefasst wird. Der Beobachter misst eine Relativgeschwindigkeit v des Teilchens z, die sich geringfügig von z-x unterscheidet. Umgekehrt ist das Teilchen z, das der Beobachter x mit der Relativgeschwindigkeit v wahrnimmt, nicht genau x+v. Dieses Teilchen hat für den Beobachter x nicht genau die Masse m. Die elektrische Feldstärke und die magnetische Feldstärke sind im Feldstärketensor (oder Faraday-Tensor) zusammengefasst. Das ist ein (0,2)-Tensorfeld F. Es werden Umrechnungsformeln für die Feldstärken für die Umrechnung auf einen anderen Beobachter angegeben.
Rainer Oloff

6. Differentialformen

Eine p-Form auf dem n-dimensionalen linearen Raum E ist ein schiefsymmetrischer (man sagt auch alternierender) (0,p)-Tensor auf E, d.h. die Vertauschung von zwei Vektorvariablen ändert das Vorzeichen des Funktionswertes. Eine Basis in E erzeugt über die dazu duale Basis eine Basis im linearen Raum aller p-Formen. Damit erweist sich der Binomialkoeffizient n über p als die Dimension dieses Raumes. Das Keilprodukt einer p-Form mit einer q-Form ist eine Kombination aus Tensorprodukt und Alternation. Der Hodge-Stern-Operator ordnet jeder p-Form eine (n-p)-Form zu, aus dem Faraday-Tensor macht er den Maxwell-Tensor. Eine Differentialform p-ter Stufe ist ein glattes schiefsymmetrisches (0,p)-Tensorfeld. Durch äußere Differentiation wird daraus eine Differentialform der Stufe p+1. Das erste Poincare-Lemma besagt, dass zweimalige äußere Differentiation jede Differentialform zu Null macht. Das zweite Poincare-Lemma besagt, dass eine Differentialform, deren äußere Ableitung Null ist, die äußere Ableitung einer Differentialform ist. Die Maxwell-Gleichungen der klassischen Elektrodynamik sind äquivalent zu der Aussage, dass die äußeren Ableitungen von Faraday-Tensor und Maxwell-Tensor Null sind.
Rainer Oloff

7. Die kovariante Ableitung von Vektorfeldern

Im euklidischen Raum ist festgelegt, wie man mit einem Vektorfeld X ein Vektorfeld Y im Sinne der Richtungsableitung differenzieren kann. Grundlegende Eigenschaften dieser Operation werden als Forderungen an einen auch auf einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit zu definierenden Ableitungsbegriff erhoben. Der sogenannte Fundamentalsatz der Riemannschen Geometrie besagt, dass dadurch die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes mit einem Vektorfeld bestimmt ist. Diese Operation heißt Levi-Civita-Zusammenhang, im Spezialfall einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Riemannscher Zusammenhang. Die Koszul-Formel gibt eine im Wesentlichen explizite Darstellung dieser kovarianten Ableitung. Das Ergebnis dieser Operation lässt sich auch mit den Christoffel-Symbolen darstellen. Für diese werden explizite Formeln entwickelt. Als Beispiele werden die kovariante Ableitung auf gekrümmten Flächen und die Christoffel-Symbole für die Schwarzschild-Raumzeit berechnet.
Rainer Oloff

8. Krümmung

Der Krümmungsoperator wird als eine Kombination von kovarianten Ableitungen von Vektorfeldern eingeführt und impliziert den Krümmungstensor, der dann auch mit den Christoffel-Symbolen dargestellt werden kann. Die Jacobi-Identität impliziert eine Eigenschaft des Krümmungsoperators, die erste Bianchi-Identität genannt wird. Der Krümmungstensor wird auf den kovarianten Krümmungstensor umgerechnet, dessen Eigenschaften aufgelistet werden. Auf einer gekrümmten Fläche wird die Krümmung (Schnittkrümmungen, mittlere Krümmung,Gauß-Krümmung) mit der Weingarten-Abbildung beschrieben. Der Krümmungsskalar und damit auch die Gauß-Krümmung erweisen sich als biegeinvariant (theorema egregium von Gauß). Die Komponenten des Krümmungstensors werden für die Schwarzschild-Raumzeit berechnet. Effektiver ist die Berechnung des Krümmungstensors mit den Zusammenhangsformen und den Krümmungsformen.
Rainer Oloff

9. Materie

Eine Strömung in einer Raumzeit besteht aus einem Vektorfeld Z und zwei skalaren Feldern ρ und σ. Die Zahlen ρ(P) und σ(P) sollen die Dichte und der Druck sein, die der in der Strömung treibende Beobachter z=Z(P) misst. Ein anderer Beobachter x im Punkt P, für den z die Relativgeschwindigkeit v hat, registriert eine durch v geprägte leicht veränderte Dichte. Mit Hilfe der Eulerschen Gleichung werden Formulierungen für die Newtonschen Begriffe Energiedichte, Energiestromdichte, Impulsdichte und Impulsstromdichte abgeleitet und im Energie-Impuls-Tensor zusammengefasst. Auch die Ladung liefert über den Faraday-Tensor einen Beitrag zum Energie-Impuls-Tensor. Ausgerechnet werden kugelsymmetrische Lösungen, insbesondere die Schwarzschild-Metrik.
Rainer Oloff

10. Geodäten

Schon aus der Speziellen Relativitätstheorie ist die Zeitdilatation in einem durch v festgelegten Verhältnis bekannt. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird postuliert, dass sich ein Teilchen kräftefrei entlang Geodäten durch die Raumzeit bewegt, d.h. die Bogenlänge ist so klein wie möglich. Das Fundamentallemma der Variationsrechnung liefert für allgemeine Extremalprobleme die Euler-Lagrange-Gleichungen. Im Spezialfall des Geodätenproblems sind das die Geodätengleichungen, in denen die Christoffel-Symbole als Koeffizienten auftreten. Die geodätische Abweichung lässt sich mit dem Krümmungsoperator quantifizieren, und die Periheldrehung erfüllt die Binetsche Differentialgleichung. Weitere Folgerungen aus dem Prinzip der Geodäten sind die Lichtablenkung und die geodätische Rotverschiebung.
Rainer Oloff

11. Kovariante Differentiation von Tensorfeldern

Der Paralleltransport von Vektoren wird durch den Integralsatz von Gauß-Bonnet illustriert: Der Winkel, mit dem ein Tangentialvektor bei Parallelverschiebung längs einer einfach geschlossenen Kurve gedreht wird, ist gleich dem über die eingeschlossene Fläche gebildeten Integral über die Gauß-Krümmung. Die kovariante Ableitung von Vektorfeldern lässt sich auch über Paralleltransport von Vektorfeldern formulieren. Das ermöglicht auch die Einführung der kovarianten Ableitung von Tensorfeldern. Die kovariante Ableitung der Metrik ist Null. Die Divergenz eines symmetrischen (o,p)-Tensorfeldes wird als Kombination von kovarianter Ableitung, Indexziehen und Kontraktion eingeführt. Die Divergenz des Ricci-Tensors erweist sich bis auf den Faktor ½ als die Ableitung des Krümmungsskalars. Die Aussage, dass die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors Null ist, beinhaltet eine Energiegleichung und eine Kräftegleichung.
Rainer Oloff

12. Die Lie-Ableitung

Ein Vektorfeld X auf der Raumzeit kann als eine Strömung aufgefasst werden. Ein irgendwo gestartetes Teilchen ist nach der Zeit t zu einem anderen Punkt gespült worden. Dadurch ist eine Abbildung in der Raumzeit definiert. Die Familie dieser Abbildungen ist der Fluss von X. Jede Abbildung in der Raumzeit erzeugt auch eine Abbildung zwischen den Tangentialräumen, genannt Tangente dieser Abbildung. Dadurch entstehen zu einer Abbildung in einer Mannigfaltigkeit spezielle Abbildungen von Tensorfeldern, genannt Pull-back und Push-forward. Die Lie-Ableitung eines skalaren Feldes f mit einem Vektorfeld X ist die Anwendung von X auf f. Die Lie-Ableitung von Vektorfeldern und Tensorfeldern wird so definiert, dass gewünschte Produktregeln gelten. Die Lie-Ableitung mit X lässt sich auch als ein mit dem Fluss von X gebildeter Differentialquotient interpretieren. X ist ein Killing-Vektorfeld, wenn die Lie-Ableitung der Metrik mit X Null ergibt. Es werden Charakterisierungen der Killing-Vektorfelder angegeben.
Rainer Oloff

13. Integration auf Mannigfaltigkeiten

Integrale auf einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit verallgemeinern die klassischen Begriffe der Kurvenintegrale und Oberflächenintegrale erster und zweiter Art. Der Verwendung einer Parameterdarstellung entspricht die Umrechnung auf eine Karte. Wenn es keine Karte gibt, deren Definitionsbereich den Träger des Integranden umfasst, muss die Funktion konstant 1 in Summanden zerlegt werden, deren Träger in Definitionsbereichen von Karten liegen. Dann lässt sich das Integral als Summe von Integralen darstellen, für deren Berechnung die entsprechende Karte verwendet werden kann. Für berandete Mannigfaltigkeiten lässt sich ein sehr eleganter Integralsatz beweisen, der als Spezialfälle die klassischen Integralsätze von Gauß und Stokes umfasst. Mit dem allgemeinen Integralbegriff lässt sich ein Extremalproblem formulieren, dessen Lösung die Einsteinsche Feldgleichung ist.
Rainer Oloff

14. Nichtrotierende Schwarze Löcher

Für die Beschreibung von Teilchen, die sich radial in der vierdimensionalen Schwarzschild-Raumzeit bewegen, ist die zweidimensionale Schwarzschild-Halbebene handlicher und anschaulicher. Der Schwarzschild-Horizont ist keine Singularität, aber die Schwarzschild-Koordinaten versagen dort. Deshalb ist es besser, statt der Schwarzschild-Halbebene die Kruskal-Ebene zu verwenden. Als Nebeneffekt erscheint dort außer dem Schwarzen Loch auch noch das Weiße Loch, aus dem jede Materie entweichen muss.
Rainer Oloff

15. Kosmologie

Zu jedem zweidimensionalen Unterraum eines Tangentialraumes einer Riemannschen Mannigfaltigkeit gehört eine Zahl, genannt Schnittkrümmung, die sich aus der Metrik und dem kovarianten Krümmungstensor ergibt. Im Spezialfall einer gekrümmten Fläche ist das die Gauß-Krümmung. Wenn in einem Punkt der Mannigfaltigkeit alle Schnittkrümmungen gleich sind, lässt sich mit dieser Zahl der kovariante Krümmungstensor in diesem Punkt rekonstruieren. Wenn für eine mindestens dreidimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit in jedem Punkt die Schnittkrümmungen unabhängig von der Auswahl des zweidimensionalen Unterraumes ist, ist das dadurch entstandene skalare Feld auf dieser Mannigfaltigkeit konstant. Solche Mannigfaltigkeiten haben dann eine sogenannte konstante Krümmung. Das kosmologische Prinzip besagt, dass das Weltall, in einem riesigen Maßstab aufgefasst, homogen und isotrop ist. Eine solche Raumzeit wird mit der Robertson-Walker-Metrik beschrieben. Für den zunächst noch unbestimmten Skalenfaktor werden Differentialgleichungen (Energiegleichung, Bewegungsgleichung, Friedmannsche Differentialgleichung) entwickelt. Als Interpretationen ergeben sich die Hubble-Konstante, das Hubble-Gesetz und die kosmologische Rotverschiebung.
Rainer Oloff

16. Rotierende Schwarze Löcher

Ein rotierendes Schwarzes Loch entsteht durch den Kollaps eines rotierenden Fixsterns. Diese Raumzeit wird mit der Kerr-Metrik beschrieben. Angegeben werden deren Koeffizienten bzgl. der Boyer-Lindquist-Koordinaten. Zu diesen werden die Christoffel-Symbole berechnet. Zwei positive Werte der radialen Koordinate teilen diese Raumzeit in drei Boyer-Lindquist-Blöcke. Weil die Boyer-Lindquist-Koordinaten nicht überall funktionieren, werden auch Kerr-Stern-Koordinaten verwendet. Nützlich sind auch zwei sogenannte kaninische Vektorfelder, die vier weitere Vektorfelder bestimmen, zu denen die kovarianten Ableitungen berechnet werden. Bereits aus der Einsteinschen Feldgleichung folgt, dass der Ricci-Tensor Null ist. Das wird auch mit den Zusammenhangsformen rechnerisch bestätigt.
Rainer Oloff

17. Ausblick auf die Stringtheorie

Die Heisenbergsche Unschärferelation der Quantentheorie ordnet sich nicht der Relativitätstheorie unter. Das ist das Motiv, um die Relativitätstheorie in Richtung Stringtheorie zu modifizieren. Ein Teilchen ist dann nicht mehr ein Punkt in der Raumzeit, sondern ein (extrem kurzes) Fädchen. Dazu muss die Dimension der Raumzeit deutlich vergrößert werden. Ein Extremalprinzip, ähnlich wie in der Relativitätstheorie, bestimmt die kräftefreie Bewegung eines Teilchens. Dieses Extremalproblem wird mit der in der Variationsrechnung üblichen Methode gelöst und liefert eine Gleichung, die die Bewegung des Teilchens beschreibt.
Rainer Oloff

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