Géometrie Globale des Systèmes Hamiltoniens Complètement Intégrables et Variables Action-Angle avec Singularités

Toutes les structures considérées dans ce travail sont de classe C∞. Précisons tout d’abord la notion de complète intégrabilité utilisée ici. Rappelons qu’un système hamiltonien (M2n, ω, H) est dit complètement intégrable au sens d’Arnold-Liouville s’il existe un n-uple F = (f1,..., fn)d’intégrales premières en involution dont les différentielles sont générique-ment indépendantes. Le théorème d’Arnold-Liouville affirme alors que les fibres régulières, compactes et connexes, de F, sont des tores Lagrangiens, et qu’au voisinage de chacun d’eux il existe un système de coordonnées canoniques (q1,...,qn, θ1,..., θn),dites coordonnées action-angle, où les coordonnées action (q1,..., qn) sont à valeurs dans un ouvert de ℝn et les coordonnées angle (θ1,..., θn) à valeurs dans le tore Tn,de manière que f1,..., fn ne sont fonctions que des variables action. Il en résulte en particulier que le flot du champ hamiltonien X _H est quasi-périodique sur ces tores Lagrangiens.