Geometrie in euklidischen Vektorräumen

Es seien V ein ℝ -Vektorraum und A ein affiner Raum bezüglich V. Zu jedem Untervektorraum U von V und jedem p ∈ A heißt (nach Satz und Definition 3.4.3) die Punktmenge $$ [p \oplus U: = \left\{ {p \oplus v|v \in U} \right\}] $$ affiner Unterraum von A. Da wir insbesondere den Abstand zwischen affinen Unterräumen mit Hilfe eines in V bereitzustellenden Skalarproduktes untersuchen wollen, wird in diesem Kapitel der affine Raum A mit V identifiziert und als Operation ⊕: A × V → A die im Vektorraum V gegebene Addition +: V × V → V verwendet (vgl. auch Satz 3.4.1). Damit verstehen wir unter einem affinen Unterraum des VektorraumesV nunmehr jede Menge, die durch $$ A: = a + U: = \left\{ {a + v|v \in U} \right\} $$ mit einem a ∈ V und einem Untervektorraum U von V beschrieben werden kann. U heißt auch Richtungsraum von A. Ist k := U dim < ∞ und v₁..., v _k eine Basis von U, so gilt offenbar $$ [A = a + U = \left\{ {a + {\lambda _{1}}{v_{1}} + \cdots + {\lambda _{k}}{v_{k}}|{\lambda _{1}}, \cdots ,{\lambda _{k}} \in R} \right\} $$