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2023 | Buch

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Geometrie, Physik und Biologie erleben

Mit 300 Animations-Videos via QR-Code

verfasst von: Georg Glaeser, Franz Gruber

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses reich bebilderte Sachbuch zeigt anhand von zahlreichen Beispielen Gemeinsamkeiten von Geometrie, Physik und Biologie auf. Dazu gibt es etwa 300 Links zu entsprechenden Animationen bzw. Video-Sequenzen, die über QR-Code bequem betrachtet werden können. Zusätzlich steht unterstützend eine frei zugängliche interaktive Software zur Verfügung, mit der die Inhalte noch besser vertieft werden können. So kann man – Doppelseite für Doppelseite – in beliebiger Reihenfolge spezielle Themen erleben.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kinematik: Bewegung in Natur und Technik

Zusammenfassung

Eine Zange ist ein Handwerkzeug, mit dem man Gegenstände festhalten kann. Feststellzangen können in ihrer Position arretiert werden. Zum Lösen aus der verriegelten Position wird ein Hebel verwendet.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Zahnräder: Präzise und robust

Zusammenfassung

Seien \(a_{1}\) und \(a_{2}\) zwei Achsen, die sich unter dem Winkel \(\beta\) schneiden und die mit den Winkelgeschwindigkeiten \(\omega_{1}\) und \(\omega_{2}\) rotieren (Bild oben rechts). Wie kann man – außer mit kombinierten Kardanwellen – die Bedingung \(\omega_{1} = \omega_{2} \left( { \Rightarrow \varphi_{1} = \varphi_{2} } \right)\) erreichen? Betrachten wir zwei gleich dicke Drehzylinder um die Achsen. Zwei entsprechende Erzeugenden e₁ und e₂ schneiden einander in einem Punkt \(S\). Dieser Punkt liegt aus Symmetriegründen in der Symmetrieebene \(\sigma\) von \(a_{1}\) und \(a_{2}\), der Gleichlaufebene, und er wandert folglich auf einer Ellipse.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Muster und Fraktale: Simulation der Natur

Zusammenfassung

Die Ebene kann nahtlos mit regelmäßigen Sechsecken „verfliest“ werden. Dabei kann man jede Fliese um ein beliebiges Vielfaches von 60° drehen.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Seltsame Winkel: Spiralen?

Zusammenfassung

Wer lange genug eine Sonnenblume (Bild oben) oder ein Gänseblümchen von oben ansieht (Bild links), entdeckt unweigerlich Spiralen im Muster. Es sind sogar zwei gegensinnige Scharen von Spiralen zu erkennen. Durch Abzählen findet man heraus, dass die Anzahl der Spiralen einer Schar immer sogenannte Fibonacci-Zahlen sind (mehr darüber auf der nächsten Seite).

Georg Glaeser, Franz Gruber

Projektionen: Notwendig und praktisch

Zusammenfassung

In sehr vielen Fällen wird die Oberfläche der Erde als Rechteck in einem kartesischen \(\left( {\lambda ,\,\varphi } \right)\)-Koordinatensystem dargestellt (\(\lambda\) ist dabei die geografische Länge, \(\varphi\) die geografische Breite). Die Längenkreise bzw. Breitenkreise erscheinen dann geradlinig. Der Nullmeridian geht aus historischen Gründen durch Greenwich bei London. Das erscheint zunächst sinnvoll, kann man doch Punkte auf der Erdoberfläche ganz leicht einzeichnen bzw. Auch finden.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Polyeder: Bausteine!

Zusammenfassung

Polyeder haben Eckpunkte, Kanten und Seitenflächen. Spezielle Polyeder sind oft mit konzentrischen Kugeln verknüpft (Inkugeln oder Umkugeln). Es liegt daher nahe, eine spezielle geometrische Transformation auf sie anzuwenden: sie an so einer Kugel zu „polarisieren“. Das Ergebnis ist, wie wir gleich sehen werden, ein „duales Polyeder“, das leicht zu bestimmen ist.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Einfach gekrümmt: Abwickelbar!

Zusammenfassung

Auf Seite 18 hatten wir bereits mit dem Oloid ein klassisches Beispiel, wo ein Körper auf einer Ebene gerollt werden konnte, wobei immer eine Berührung längs einer Geraden stattfand (erstes Video). Die Abdruckspur ergab die Abwicklung der Oberfläche. Umgekehrt kann man nun die Abwicklung aus Papier ausschneiden und wieder zusammenrollen. Damit erhält man ganz einfach ein Papiermodell des Oloids.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Doppelt gekrümmt: Der Normalfall

Zusammenfassung

Laut internationalen Regeln gilt: Ein Fußball muss kugelförmig sein, aus Leder oder einem anderen geeigneten Material gefertigt sein, einen Umfang von 68-70 cm, eine Masse von 410-450 g und einen Innendruck von 600–1100 g/cm² haben. Soweit die Fakten.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Minimalflächen: Elegant und nützlich

Zusammenfassung

Die Kugel ist eine wahrlich bemerkenswerte Fläche. Jede nur mögliche sie treffende Ebene schneidet aus ihr einen Kreis aus, insbesondere schneiden alle Ebenen, die durch den Kugelmittelpunkt gehen, einen Großkreis aus, wobei die Ebene Symmetrieebene der Kugel ist – somit besitzt die Kugel eine zweiparametrige Schar von Symmetrieebenen und kann auch auf ebensoviele Arten als Drehfläche angesprochen werden. Alle Großkeise sind gleichzeitig geodätische Linien (s. S. 100f.).

Georg Glaeser, Franz Gruber

Wellenmodelle: Seltsame Phänomene

Zusammenfassung

Eine punktförmige Erregerquelle erzeugt eine sich kreisförmig ausbreitende Welle (oben links). Sobald die Welle auf eine Wand trifft, ist es geometrisch sinnvoll, die virtuelle reflektierte Welle zu berücksichtigen, um Interferenzen zu berechnen (oben rechts). Sobald die Welle auf eine zweite Wand trifft, die senkrecht zur ersten steht, wird es komplizierter.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Fotografie: Überraschungen?

Zusammenfassung

Sehen in seiner einfachsten Form ist eigentlich weniger kompliziert als man meinen möchte. Schon die ersten Versuche in der Fotografie zeigten, dass eigentlich eine lichtdichte Schachtel (Bilderserie links) genügt, in der sich auf der einen Seite ein kleines Loch, auf der gegenüberliegenden Fläche eine lichtempfindliche Schicht befindet, um die Außenwelt abzubilden. Es muss allerdings sehr hell sein, damit die Schicht auch ausreichend belichtet wird.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Luft und Wasser: Fluide!

Zusammenfassung

Eine Skizze Leonardo da Vincis war die Motivation, einen Windmesser zu simulieren.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Verteilungen: Anziehung und Abstoßung

Zusammenfassung

Die absolut gleichmäßige Verteilung einer vorgegebenen Anzahl von Punkten auf Flächen ist zumindest theoretisch im allgemeinen Fall nicht möglich. Selbst im einfachsten Fall des abwickelbaren Drehzylinders ist das Problem eine Herausforderung. Auf einer Kugel funktioniert die Sache nur für ganz wenige spezielle Punkteanzahlen, etwa für sechs, acht, zwölf oder zwanzig Punkte, weil die Punkte dann als Eckpunkte von platonischen Körpern gesehen werden können.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Unser Sonnensystem: Freies Spiel der Kräfte

Zusammenfassung

Kreiselbewegungen spielen im Weltall eine große Rolle (s. S. 200f.). Wir wollen uns mit den Parametern beschäftigen, die für die Bewegung relevant sind.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Illusionen: Fake oder Echt?

Zusammenfassung

Sehen sie zwei Originalfotos, die Sie wahrscheinlich ein bisschen zum Grübeln anregen. Was stellt das Foto links dar? Ist das Elefantenfoto eine Fotomontage? In Zeiten von Künstlicher Intelligenz sollte man sehr skeptisch sein. Allerdings findet sich für beide Bilder eine natürliche Erklärung.

Georg Glaeser, Franz Gruber

Simulationen: Realitätsnähe?

Zusammenfassung

Die obigen Animationen zeigen, wie eine Kugel in verschiedenen Schüsselformen rollt. Die geringste Änderung in den Parametern wirkt sich dabei sofort auf das Ergebnis aus (Anfangsgeschwindigkeit, Startwinkel).

Georg Glaeser, Franz Gruber

Backmatter

Titel: Geometrie, Physik und Biologie erleben
verfasst von: Georg Glaeser
Franz Gruber
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-67724-7
Print ISBN: 978-3-662-67723-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67724-7