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2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Geometrie

verfasst von : Jörg Neunhäuserer

Erschienen in: Schöne Sätze der Mathematik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Seit den Werken von Thales (etwa 624–546 v. Chr.), Pythagoras (570–500 v. Chr.), Euklid (etwa 365–300 v. Chr.) und Archimedes (287–212 v. Chr.) in der Antike ist die Geometrie eine der Kerndisziplinen der Mathematik. Dabei ist die klassische Geometrie an unserer räumlichen Anschauung der flachen Ebene und des ungekrümmten dreidimensionalen Raumes orientiert. Euklids Axiome formalisieren diese Anschauung, siehe . Wir sprechen daher bis heute von der euklidischen Ebene und dem euklidischen Raum.
In den Abschn. 3.2 bis 3.4 stellen wir einige schöne Ergebnisse über Dreiecke, Vierecke sowie den Goldenen Schnitt und das regelmäßige Fünfeck in der euklidischen Ebene zusammen. Danach, in Abschn. 3.5, beantworten wir die klassische Frage, welche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind, und sehen insbesondere, welche Konstruktionen nicht möglich sind. Der Abschn. 3.6 ist den Konfigurationen von Linien in der Ebene, einem zeitgenössischen Thema der kombinatorischen Geometrie, gewidmet.
Dann wenden wir uns dem dreidimensionalen euklidischen Raum zu. Wir definieren regelmäßige Polyeder in diesem Raum und beweisen die Polyederformel von Euler (1707–1783). Als Folgerung aus ihr ergibt sich, dass nur fünf platonische Körper existieren, die wir auch beschreiben.

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Fußnoten
1
Dieser Satz wird dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (etwa 624–546 v. Chr.) zugeschrieben.
 
2
Dieser Satz findet sich in den „Elementen“ von Euklid (etwa 365–300 v. Chr.).
 
3
Dies ist der Satz des Pythagoras (570–500 v. Chr.).
 
4
Der Satz wird zumeist dem persischen Mathematiker und Astronomen al-Bantani (etwa 860–929) zugeschrieben.
 
5
Dieser Satz war Heron von Alexandria (10–70) bekannt.
 
6
Dieser Satz wird dem griechischen Astronomen und Mathematiker Ptolemäus (etwa 100–160) zugeschrieben.
 
7
Dies ist die Formel des indischen Mathematikers Brahmagupta (598–etwa 660).
 
8
Den Mathematikern der Antike, wie Pythagoras (570–500 v. Chr.) oder Euklid (etwa 365–300 v. Chr.), war der Goldene Schnitt bekannt.
 
9
Dieser Satz wurde von dem englischen Mathematiker James Joseph Sylvester (1814–1897) vermutet und von dem ungarischen Mathematiker Tibor Gallai (1912–1992) bewiesen.
 
10
Dies hat der ungarische Mathematiker Paul Erdös (1913–1996)festgestellt.
 
11
Dies ist ein Satz von Leonhard Euler (1707–1783).
 
12
Für eine Präzisierung des Begriffs der Einbettung eines Graphen verweisen wir auf Diestel ; 2010.
 
13
Benannt nach dem griechischen Philosophen Platon (428–348 v. Chr.).
 
14
Das hier beschriebene Modell der hyperbolischen Geometrie geht auf den französischen Mathematiker Jules Henri Poincaré (1854–1912) zurück.
 
Metadaten
Titel
Geometrie
verfasst von
Jörg Neunhäuserer
Copyright-Jahr
2017
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-53967-5_3