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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Spezielle Gleichungen

Zusammenfassung
Zur Untersuchung von Differentialgleichungen verwendet man Methoden aller Gebiete der Mathematik. In diesem Kapitel werden spezielle Gleichungen und Typen von Gleichungen behandelt. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei einerseits auf die Bedeutung der zu untersuchenden Gleichungen für Anwendungen und andererseits auf den Zusammenhang mit verschiedenen allgemein-mathematischen Fragen gelenkt (Auflösung von Singularitäten, Newton-Diagramme, Liesche Symmetriegruppen usw.). Das Kapitel endet mit der elementaren Theorie der zeitfreien Schrödinger-Gleichung und der geometrischen Theorie der Gleichungen zweiter Ordnung.
Vladimir I. Arnol’d

2. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung
Partielle Differentialgleichungen sind weit weniger untersucht als gewöhnliche Differentialgleichungen. Eines der Resultate der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ist, daß es gelingt, ihre Untersuchung auf das Studium spezieller gewöhnlicher Differentialgleichungen, der sogenannten Gleichungen der Charakteristiken, zurückzuführen. Das Wesen dieses Zusammenhangs besteht in folgendem: ein dichtes Medium aus Teilchen ohne Wechselwirkung kann mathematisch sowohl durch eine partielle Differentialgleichung (für das Feld) als auch durch eine gewöhnliche Differentialgleichung (für die Teilchen) beschrieben werden.
Vladimir I. Arnol’d

3. Strukturstabilität

Zusammenfassung
Bei der Verwendung eines beliebigen mathematischen Modells stellt sich die Frage, ob es legitim ist, die mathematischen Aussagen über das Verhalten des Modells auf die Realität anzuwenden. Setzt man nämlich einmal voraus, daß eine Aussage sehr empfindlich auf kleinste Änderungen im Modell reagiert, so führt in diesem Fall eine beliebig kleine Änderung (beispielsweise eine kleine Änderung des Vektorfeldes, durch das eine Differentialgleichung bestimmt wird) zu einem Modell mit völlig anderen Eigenschaften. Es ist gefährlich, Aussagen dieser Art auf den untersuchten realen Prozeß auszudehnen, da bei der Konstruktion des Modells immer eine gewisse Idealisierung vorgenommen wird, die Parameter nur näherungsweise bestimmt werden usw. So entsteht das Problem der Auswahl solcher Eigenschaften des Modells des Prozesses, die gegenüber geringen Änderungen des Modells nicht empfindlich sind und die folglich als Eigenschaften des realen Prozesses aufgefaßt werden können.
Vladimir I. Arnol’d

4. Störungstheorie

Zusammenfassung
Die Mehrzahl der Differentialgleichungen gestattet weder eine exakte analytische Lösung noch eine vollständige quantitative Untersuchung. Die Störungstheorie stellt eine Sammlung von Methoden zur Untersuchung von Differentialgleichungen dar, die nahe bei speziellen Differentialgleichungen liegen. Diese speziellen Differentialgleichungen heißen ungestörte Differentialgleichungen, und ihre Lösungen werden als bekannt vorausgesetzt. Die Störungstheorie untersucht den Einfluß einer kleinen Änderung der Differentialgleichung auf das Verhalten der Lösung.
Vladimir I. Arnol’d

5. Normalformen

Zusammenfassung
Eine sehr fruchtbare Methode bei der Arbeit mit Differentialgleichungen besteht darin, die Differentialgleichungen nicht zu lösen, sondern in eine möglichst einfache Form zu transformieren. Die Poincarésche Theorie der Normalformen behandelt einfache Formen, in die Differentialgleichungen in einer Umgebung von Gleichgewichtslagen oder periodischen Bewegungen übergeführt werden können.
Vladimir I. Arnol’d

6. Lokale Bifurkationstheorie

Zusammenfassung
Das Wort Bifurkation heißt Gabelung und ist im weitesten Sinne für die Bezeichnung jeder qualitativen, topologischen Veränderung eines Bildes durch die Veränderung der Parameter, von denen das zu untersuchende Objekt abhängt, gebräuchlich. Die Objekte selbst können verschieden sein, z. B. reelle oder komplexe Kurven oder Ebenen, Funktionen oder Abbildungen, Mannigfaltigkeiten oder Faserbündel, Vektorfelder, Differential- oder Integralgleichungen.
Vladimir I. Arnol’d

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