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Über dieses Buch

Dieses Buch liefert anschauliche und teilweise detaillierte Einblicke in die Strukturen der Euklidischen und Riemannschen Geometrie sowie deren Verschmelzung mit den Gegenständen der Physik. Entwickelt wird eine Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Im Mittelpunkt stehen dabei die sorgfältige Herausarbeitung von Ableitungsbegriffen (kovariante Ableitung, Lie-Ableitung, äußere Ableitung) und des Integralbegriffes auf der Basis von Differentialformen.

Anhand der Raumzeit-Problematik und mit Exkursionen in die Elektrodynamik, die relativistische Gravitation und die Kontinuumsmechanik werden Verbindungen zwischen Geometrie und Physik hergestellt sowie physikalische Konzepte aus geometrischer Sicht interpretiert.

Im gesamten Buch flankieren möglichst einfache Beschreibungen und Erläuterungen die präzisen Ausdrücke der Formelsprache. Darüber hinaus tragen zahlreiche Beispiele und Skizzen zum Verständnis bei. Auch Hinweise, die dem versierten Leser überflüssig erscheinen mögen, werden zugunsten der im Lernprozess stehenden Leser nicht ausgelassen. Klassische – teils sehr technische – Beweise werden mitunter nur angedeutet oder durch Plausibilitätserklärungen ersetzt.

Vorausgesetzt werden Grundlagen der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Algebra – insbesondere der Umgang mit Matrizen, Determinanten und die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Im ersten Kapitel findet sich ein behutsam hinführender Überblick zu den nötigen algebraischen Grundlagen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Zusammenfassung
Es gibt viele Möglichkeiten die Welt, unseren Lebensraum und die darin ablaufenden Vorgänge zu beschreiben, unsere Wahrnehmungen, Eindrücke und Gefühle wiederzugeben. Die größten Freiheiten, seiner Kreativität und Phantasie freien Lauf zu lassen, hat man wohl in der Kunst. Kunst in Form von Objekten, Installationen oder Bildern beeindrucken durch die Tiefe ihres Eindrucks oder zeugen von unserem inneren Zustand.
Heinz Gründemann

Kapitel 2. Algebraische Grundlagen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel tragen wir die grundlegenden Begrife, Definitionen und Aussagen der Algebra zusammen, die uns auf dem Weg durch die Geometrie häufig begegnen. Die Darstellungen sind auf das Wesentliche beschränkt und werden durch einfache Beispiele ergänzt oder entsprechende Vergleiche motiviert. Wer sich damit ausführlicher beschäftigen möchte oder noch tiefer in die Algebra eindringen will, dem wird die „Lineare Algebra‟ von Fischer (siehe [Fisch]) empfohlen.
Heinz Gründemann

Kapitel 3. Euklidische Geometrie

Zusammenfassung
Unseren alltäglichen EmpĄndungen entspringt die Vorstellung vom Raum als einer Unendlichkeit, die in alle Blickrichtungen ausgedehnt ist. Um Gegenstände und deren Veränderungen im Raum lokalisieren zu können, führt man den Raumpunkt ein und füllt gedanklich diese Unendlichkeit kontinuierlich, d.h. lückenlos mit diesen Punkten aus. Ein in diesem Sinne unendlich ausgedehntes räumliches Punktkontinuum bildet das Ausgangsobjekt der Euklidischen Geometrie.
Heinz Gründemann

Kapitel 4. Raumzeit

Zusammenfassung
Das Studium der Beziehungen von Raum und Zeit bildet die Grundlage für jede ernsthafte Beschäftigung mit Physik. Klammert man zunächst räumlich ausgedehnte Materiefelder und damit gravitative Einflüsse aus, so lassen sich raum-zeitliche Vorgänge vollständig mit Mitteln der affinen und (pseudo-)Euklidischen Geometrie beschreiben. Der erste Abschnitt befasst sich mit den allgemeinen Begriffen, Definitionen und Aussagen zu Raumzeit-Modellen.
Heinz Gründemann

Kapitel 5. Tensoren

Zusammenfassung
Die Bildung von Produkten ist in Geometrie und Physik eine in mannigfaltiger Form auftretende Rechenoperation. Zu nennen sind das Skalarprodukt (inneres Produkt), duales Produkt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Produkte von Matrizen und auch die Komposition von Abbildungen kann als Produktbildung angesehen werden. Auf unserem weiteren Weg durch die Geometrie interessieren uns besonders Produkte von Vektorräumen, die in Beziehungen zwischen physikalischen Größen auftreten. Z.B. Zusammenhänge zwischen Kräften und Verformungen deformierbarer Körper (Kap. 16), die Beschreibung elektro-magnetischer Erscheinungen (Kap. 14) oder der Einfluß von Materie- und Energieverteilungen auf die Raumstruktur (Kap. 15). Alle diese Produkte lassen sich auf ein einheitliches mathematisches Objekt, das Tensorprodukt, zurückführen. Darunter versteht man allgemein einen Vektorraum oder Modul zusammen mit einer bi- bzw. multilinearen Abbildung, die eine sogenannte universelle Eigenschaft auszeichnet.
Heinz Gründemann

Kapitel 6. Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung
Auf einer gekrümmtem Fläche, wie z.B. der Erdoberfläche, muss ein Beobachter beim Wechsel seines Standpunktes stets einen neuen affinen Raum errichten. Sein Blick reicht nur zu Punkten, die mit Sehstrahlen vom augenblicklichen Standpunkt aus erreichbar sind. Er wird deshalb zu einem anderen Beobachter, der sich jenseits des Horizontes aufhält, keinen Kontakt haben. In einem ainen Raum ist folglich eine gekrümmte Welt nur lokal zu erkunden.
Heinz Gründemann

Kapitel 7. Lokalisierungen und Felder

Zusammenfassung
Jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ordnet man einen Vektorraum - seinen Tangentialraum - zu. Die Konstruktion dieser Tangentialräume kann als lokale Linearisierung des Raumes oder mehr anschaulich als Approximation des “gekrümmten Raumes” durch eine lineare Struktur in der Umgebung der Raumpunkte interpretiert werden. Im einfachsten Fall entspricht das dem Ersetzen einer reellen Funktion f : Df\({\mathbb{R}}\)\({\mathbb{R}}\) in der Umgebung von x0Df durch eine Gerade, die den Graphen von f im Punkt (x0, f (x0)) tangiert.
Heinz Gründemann

Kapitel 8. Differentialformen

Zusammenfassung
Im Mittelpunkt der klassischen Analysis steht die Entwicklung der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer oder mehrerer reeller Variabler. Die tragenden Säulen sind durch die Begrife Differential, Stammfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung geprägt. Das Differential df = f′ (x) dx einer Funktion f (x) gibt den linearen Anteil des Zuwachses df dieser Funktion bei einer Änderung dx des Argumentes x an.
Heinz Gründemann

Kapitel 9. Fluss und Lie-Ableitung

Zusammenfassung
Für die Beantwortung von Fragen über kontinuierlich verteilte Größen, die durch tensorielle Felder beschrieben werden, sind Aussagen zu deren räumlichen und zeitlichen Änderung unerlässlich. Unter Änderungen in diesem Sinne sind in der Regel Grenzprozesse über Differenzenquotienten, also Ableitungen der Felder hinsichtlich ihrer raumzeitlichen Abhängigkeit zu verstehen
Heinz Gründemann

Kapitel 10. Zusammenhang

Zusammenfassung
Auf dem Wege zu einer Geometrie in “gekrümmten Räumen” haben wir bisher Folgendes erreicht: Mit einer Topologie versehene Punktmengen \(\mathfrak{W}\) können lokal (also bezogen auf Umgebungen der Punkte P\(\mathfrak{M}\)) über Karten homöomorph auf Umgebungen im \({\mathbb{R}}\) m abgebildet werden. Darauf aufbauend ist es möglich, jedem Punkt einen Vektorraum, den Tangentialraum TP (\(\mathfrak{W}\)), zuzuordnen. Damit kann man vektorielle und tensorielle Größen punktweise deĄnieren und diese schließlich zu Feldern über der nun als Mannigfaltigkeit \(\mathfrak{W}\) anzusehenden Menge zusammenfassen. Die Gesamtheit, bestehend aus Mannigfaltigkeit, Tangentialräumen und Tensorfeldern, bildet die algebraische und analytische Grundstruktur zur Untersuchung allgemeiner geometrischer Sachverhalte und physikalischer Vorgänge.
Heinz Gründemann

Kapitel 11. Riemannsche Geometrie

Zusammenfassung
Um Geometrie umfassend zu betreiben, ist ein Maß erforderlich, mit dem Längen, Winkel, Inhalte usw. geometrischer Objekte berechenbar sind. Gehen wir den beschrittenen Weg über die Beschreibung geometrischer Gegenstände durch differenzierbare Mannigfaltigkeiten \(\mathfrak{M}\) weiter, so ist in diesen eine zusätzliche metrische Struktur zu installieren.
Heinz Gründemann

Kapitel 12. Integrale und Variationen

Zusammenfassung
In Mannigfaltigkeiten bildet man Integrale nur über Diferentialformen. Die Gründe dafür liegen im Transformationsverhalten der Differentialformen bei Kartenwechsel. Lokal, in der Umgebung von Karten, lassen sich diese Integrale im \({\mathbb{R}}\) m durch gewöhnliche Integrale vom Riemannschen Typ darstellen. Allgemeiner strebt man die Darstellung als Lebesgue-Integrale an. Dieser Zugang erfordert jedoch einen höheren technischen Aufwand und setzt zudem tiefere Einblicke in die Maßtheorie voraus.
Heinz Gründemann

Kapitel 13. Differentialoperatoren

Zusammenfassung
Ableitungen vektorieller und allgemein tensorieller Größen treten in physikalischen Zusammenhängen meist in bestimmten Kombinationen auf, die als Differentialausdrücke oder Operatoren bezeichnet werden. Zu den am häufigsten vorkommenden Operatoren gehören neben dem Gradienten und der Rotation die Divergenz und der Laplacesche Differentialausdruck. Die genannten Operatoren sind Abbildungen, die Differentialformen wieder Differentialformen zuordnen.
Heinz Gründemann

Kapitel 14. Elektro-magnetische Felder

Zusammenfassung
Die Ursachen für die Erscheinungen des Elektromagnetismus sind letztlich auf die Verteilung von Ladungen im Raum und deren Bewegungen in Form von Ladungsströmen zurückzuführen. Auf mikroskopischer Ebene sind Ladungen mit den Grundbausteinen der Materie, den Elementarteilchen (Atomen) verbunden und treten als ganzzahlige Vielfache einer Elementarladung auf. In der für die Kontinuumsphysik typischen Betrachtungsweise werden Ladungsverteilungen im Raum, auf Flächen oder längs Drähten durch Dichtefunktionen beschrieben.
Heinz Gründemann

Kapitel 15. Gravitation

Zusammenfassung
Die Gravitation ist auf der Erde durch ihre Wirkung als Schwere allgegenwärtig. Isaac Newton stellte in einem genialen Akt der Verallgemeinerung fest, dass dieselbe Kraft, die uns an die Erde bindet, auch die Bewegung der Gestirne in Gang setzt. Massive “punktförmige” Körper ziehen sich mit einer Kraft an, die direkt proportional den Massen dieser Körper und indirekt proportional zum Quadrat ihres Abstandes ist. Dieses einfache Gesetz bildet die Grundlage zur Beschreibung fast aller Bewegungsvorgänge im Sonnensystem und darüber hinaus in Sternansammlungen unserer Galaxie (Gestirnpositionen, allgemeine Bahnparameter, Bedeckungen, ...).
Heinz Gründemann

Kapitel 16. Kontinuumsmechanik

Zusammenfassung
In der Kontinuumsmechanik wird die Bewegung deformierbarer Körper unter äußeren Einwirkungen untersucht. Dabei nimmt man an, dass Körper kontinuierliche Materieverteilungen in der Raumzeit sind, d.h., die mikrostrukturelle Beschafenheit der Natur wird abstrahiert durch ein “materielles Kontinuum”
Heinz Gründemann

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