Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen und dynamischer Systeme spielt eine zentrale Rolle in der Modellierung realer zeitabhängiger Prozesse. Damit gehört sie zur universitären Grundausbildung von Mathematikern, Physikern, Informatikern und Ingenieuren und sollte auch in den Life-Sciences und den Wirtschaftswissenschaften präsent sein. Das vorliegende Lehrbuch beinhaltet eine moderne Darstellung dieser Theorie, wobei der Schwerpunkt auf Dynamik gelegt ist. Neben den klassischen Inhalten werden diverse neue Resultate präsentiert, die bisher nicht in Lehrbüchern verfügbar sind. Eine besondere Stärke des Buches liegt in den Beispielen und Anwendungen in der Modellierung, denen viel Raum gewidmet ist, um die Leistungsfähigkeit der Theorie zu belegen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kapitel 1. Einführung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung – im Folgenden häufig kurz DGL genannt – hat die allgemeine Gestalt
$$ h(t,x,x,\ddot x,... ,{x^{(m)}}) = 0{,}\;\;\;t\in J, $$
(1.1)
wobei J ein Intervall ist, und die Funktion \( h: J\times \underbrace{{{\mathbb{R}}^{n}}\times \ldots \times {{\mathbb{R}}^{n}}}_{m+1-mal}\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) gegeben vorausgesetzt wird. (1.1) ist hier in impliziter Form gegeben.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 2. Existenz und Eindeutigkeit

Wir betrachten im Folgenden das Anfangswertproblem
Dabei seien \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n+1}}\) offen, \(f:\ G\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) stetig und (t 0, x 0) ∈ G. In diesem Kapitel werden die grundlegenden Resultate über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems (2.1) bewiesen. Dabei spielt die Lipschitz- Eigenschaft der rechten Seite f eine zentrale Rolle. Zur Untersuchung globaler Existenz sind Differential- und Integralungleichungen ein wichtiges Hilfsmittel, daher werden auch einige elementare Ergebnisse aus diesem Bereich diskutiert und angewandt.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 3. Lineare Systeme

In diesem Kapitel behandeln wir die Theorie linearer Differentialgleichungssysteme. Das Anfangswertproblem für ein allgemeines System 1. Ordnung lautet
$$\dot{x}=A(t)x+b(t),\quad x({{t}_{0}})={{x}_{0}},\quad t\in J:=[{{t}_{0}},\ {{t}_{1}}].$$
(3.1)
Dabei sind \(A\in C(J,{{\mathbb{R}}^{n\times n}})\ \text{und}\ \text{b}\in C(J,{{\mathbb{R}}^{n}})\) gegebene Funktionen. Das System heißt homogen falls b ≡ 0 ist, andernfalls nennt man es inhomogen
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 4. Stetige und differenzierbare Abhängigkeit

Es sei \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n+1}}\) offen, \(f:\ G\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) stetig und lokal Lipschitz in x. Wir betrachten das folgende Anfangswertproblem für ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung
In diesem Abschnitt untersuchen wir die Abhängigkeit der Lösungen von den Daten, also von t 0, x 0, und f, hinsichtlich Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 5. Elementare Stabilitätstheorie

Sei \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n}}\) offen, \(f:\ {{\mathbb{R}}}\times G\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) stetig und lokal Lipschitz in x. In diesem Kapitel betrachten wir das Anfangswertproblem
mit \(t_0\in {{\mathbb{R}}}\;\; {\text{und}}\;\; x_0 \in G.\) Einer der wichtigsten Begriffe in der Theorie der Differentialgleichungen ist der der Stabilität.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Dynamische Systeme

Frontmatter

Kapitel 6. Existenz und Eindeutigkeit II

Sei \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n+1}}\) offen, \(({{t}_{0}},{{x}_{0}})\in G,\; f:\ G\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) stetig, und betrachte das Anfangswertproblem
$$\dot{x}=f(t,x), \;x({{t}_{0}})={{x}_{0}}.$$
(6.1)
Wir wissen aus Teil I, dass (6.1) lokal eindeutig lösbar ist, und dass sich die Lösungen auf ein maximales Existenzintervall fortsetzen lassen, sofern f lokal Lipschitz in x ist. Auch sind uns aus Kapitel 2 bereits einige Kriterien für globale Existenz bekannt.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 7. Invarianz

Sei \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n}}\) offen, \(f:\ {{\mathbb{R}}}\times G\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) stetig. Wir betrachten das AWP
wobei \(fx_0 \in G \;\; {\text{und}}\;{{t}_{0}}\in {{\mathbb{R}}}\) sei. Im ganzen Kapitel nehmen wir Eindeutigkeit der Lösungen nach rechts an. Sei x(t; t 0, x 0) die Lösung von (7.1) auf dem maximalen Intervall J +(t 0, x 0) := [t 0, t +(t 0, x 0)).
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 8. Ljapunov-Funktionen und Stabilität

Es sei \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n}}\) offen, \(f:\ {{\mathbb{R}}_{+}}\times G\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) stetig. Wir betrachten das Anfangswertproblem
wobei t0 ≥ 0 und x0G sind.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 9. Ebene autonome Systeme

Wir betrachten in diesem Kapitel den speziellen, aber wichtigen zweidimensionalen autonomen Fall. Dazu seien \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n}}\) offen, \(f: G\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) stetig, und die Differentialgleichung
$$\dot{x}=f(x)$$
(9.1)
gegeben. Wir nehmen im ganzen Kapitel an, dass die Lösungen von (9.1) durch ihre Anfangswerte eindeutig bestimmt sind.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 10. Linearisierung und invariante Mannigfaltigkeiten

In diesem Kapitel untersuchen wir das Verhalten von Lösungen der autonomen Differentialgleichung
$$\dot{z}=f(z)$$
(10.1)
in der Nähe eines Equilibriums. Dazu sei \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n}}\) offen, \(f\in {{C}^{1}}(G;{{\mathbb{R}}^{n}})\ \text{und}\ {{z}_{*}}\in G\) mit f (z *) = 0.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 11. Periodische Lösungen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Existenz periodischer Lösungen der Differentialgleichung
$$\dot{x}=A(t)x+b(t),$$
mit τ-periodischen Funktionen \(A\in C(\mathbb{R};{{\mathbb{R}}^{n\times n}})\ \text{und}\ b\in C(\mathbb{R};{{\mathbb{R}}^{n}})\).
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 12. Verzweigungstheorie

Sei \(G\subset {{\mathbb{R}}^{n}}\) offen, \(\Lambda \subset {{\mathbb{R}}}\) ein offenes Intervall und \(f\in {{C}^{1}}(G\times \Lambda ;{{\mathbb{R}}^{n}})\). In diesem Kapitel betrachten wir die Differentialgleichung
$$\dot{x}=f(x,\lambda),$$
(12.1)
die einen zeitunabhängigen Parameter \(\lambda \in \Lambda \) enthält.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Kapitel 13. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Sei \(\Sigma\subset {{\mathbb{R}}^{n}}\) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit, \(m<n,\ \ T\Sigma \) ihr Tangentialbündel, und \(f:\Sigma \to T\Sigma\) ein tangentiales lokal Lipschitz Vektorfeld, also \(f(p)\in {{T}_{p}}\Sigma \) für alle \(p \in \Sigma\). In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem
$$\dot{x}=f(x),\quad t\ge 0,\quad x(0)=x(0)\in \Sigma .$$
(13.1)
Diese Situation tritt häufig auf. So definiert jedes erste Integral eine intrinsische invariante Mannigfaltigkeit einer Differentialgleichung, und auch die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten in Sattelpunkten sind invariant. Weitere Quellen für Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten sind Zwangsbedingungen, die in natürlicher Weise in der Physik auftreten, oder aus Problemen mit stark unterschiedlichen Zeitskalen herrühren.
Mathias Wilke, Jan W. Prüss

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

BranchenIndex Online

Die B2B-Firmensuche für Industrie und Wirtschaft: Kostenfrei in Firmenprofilen nach Lieferanten, Herstellern, Dienstleistern und Händlern recherchieren.

Whitepaper

- ANZEIGE -

Best Practices für die Mitarbeiter-Partizipation in der Produktentwicklung

Unternehmen haben das Innovationspotenzial der eigenen Mitarbeiter auch außerhalb der F&E-Abteilung erkannt. Viele Initiativen zur Partizipation scheitern in der Praxis jedoch häufig. Lesen Sie hier  - basierend auf einer qualitativ-explorativen Expertenstudie - mehr über die wesentlichen Problemfelder der mitarbeiterzentrierten Produktentwicklung und profitieren Sie von konkreten Handlungsempfehlungen aus der Praxis.
Jetzt gratis downloaden!

Bildnachweise