Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen

Nach der Aufstellung der nichtlinearen FE-Gleichungen sind die Unbekannten zu berechnen. In diesem Kapitel wird das statische, zeitunabhängige Problem betrachtet. Ist die Berechnungsaufgabe geometrisch oder materiell nichtlinear, resultieren auch nichtlineare Gleichungssysteme, die zu lösen sind. Bei diesen nichtlinearen Systemen wird die Steifigkeitsmatrix aus den vorangegangenen Kapiteln durch den Vektor der inneren Kräfte ersetzt, der eine nichtlineare Funktion der Deformation ist. Die Schwierigkeit bei der Lösung besteht darin, dass die nichtlineare Beziehung nicht explizit in einem Schritt nach den Unbekannten aufgelöst werden kann, wie im linearen Fall. Eine übliche Lösungsmöglichkeit ist, den Lastpfad in kleinen Schritten zu verfolgen. Das bekannteste Verfahren ist das Newton-Raphson-Verfahren, das zunächst für den eindimensionalen Fall vorgestellt und dann auf die FEM angewendet wird. Neben Konvergenzbetrachtungen werden auch alternative Verfahren kurz vorgestellt.