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01.08.2014 | Ausgabe 4/2014

Distributed Computing 4/2014

Greedy routing in small-world networks with power-law degrees

Zeitschrift:
Distributed Computing > Ausgabe 4/2014
Autoren:
Pierre Fraigniaud, George Giakkoupis
Wichtige Hinweise
This paper was originally invited to the special issue of Distributed Computing based on selected papers presented at PODC 2009. It appears separately due to publication delays.

Abstract

In this paper we study decentralized routing in small-world networks that combine a wide variation in node degrees with a notion of spatial embedding. Specifically, we consider a variant of J. Kleinberg’s grid-based small-world model in which (1) the number of long-range edges of each node is not fixed, but is drawn from a power-law probability distribution with exponent parameter \(\alpha \ge 0\) and constant mean, and (2) the long-range edges are considered to be bidirectional for the purposes of routing. This model is motivated by empirical observations indicating that several real networks have degrees that follow a power-law distribution. The measured power-law exponent \(\alpha \) for these networks is often in the range between 2 and 3. For the small-world model we consider, we show that when \(2 < \alpha < 3\) the standard greedy routing algorithm, in which a node forwards the message to its neighbor that is closest to the target in the grid, finishes in an expected number of \(O(\log ^{\alpha -1} n\cdot \log \log n)\) steps, for any source–target pair. This is asymptotically smaller than the \(O(\log ^2 n)\) steps needed in Kleinberg’s original model with the same average degree, and approaches \(O(\log n)\) as \(\alpha \) approaches 2. Further, we show that when \(0\le \alpha < 2\) or \(\alpha \ge 3\) the expected number of steps is \(O(\log ^2 n)\), while for \(\alpha = 2\) it is \(O(\log ^{4/3} n)\). We complement these results with lower bounds that match the upper bounds within at most a \(\log \log n\) factor.

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