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Über dieses Buch

In diesem Buch wird der Weg von den infinitesimalen Größen bei Leibniz über die Grenzwerte zu den infinitesimalen Zahlen der Nichtstandardanalysis skizziert. Die begrifflichen Probleme der Grenzwerte werden diskutiert und der Einstieg in die Analysis mit infinitesimalen und infiniten Zahlen vorgestellt. Ein Vergleich mit dem Grenzwerteinstieg zeigt die Möglichkeiten der infinitesimalen Zahlen. Der Grenzwertformalismus entfällt. Der Einstieg in die Analysis wird arithmetisch und zugleich anschaulich. Da die heutige Analysis in Grenzwerten geschrieben ist, geht es nicht um eine Entscheidung, sondern um Offenheit. Infinitesimale Zahlen erweitern das Repertoire, vertiefen und verändern das mathematische Denken und öffnen den Blick, nicht zuletzt auf die Grenzwerte.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Um einen ersten Eindruck zu erhalten, stellen wir infinitesimale Zahlen dxdy und die Grenzwertbildung \( \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\) in einem Beispiel aus dem Einstieg in die Analysis einander gegenüber. Wir vergleichen die Bildungen der Ableitung von \(y=f(x)=x^2\) in \(x_0\). Beide sind Mathematik. Warum bekriegt man die eine und beharrt auf der anderen? Interessant ist, Leibniz’ Kommentar dazu zu hören.
Thomas Bedürftig, Karl Kuhlemann

Kapitel 2. Aus der Geschichte

Zusammenfassung
Wir stellen Leibniz Auffassung und Anschauung zum Infinitesimalen vor, werfen einen Blick auf das alte infinitesimale Rechnen und entdecken die Grenzwertformulierung schon bei Leibniz. Wir beobachten, wie Cauchy und Weierstraß den Grenzwertbegriff erfassen – und dabei an infinitesimale Größen denken. Der Grenzwertbegriff eliminiert schließlich die Infinitesimalien und leitet eine fundamentale Wende im mathematischen Denken ein. Mathematik wird höhere Mathematik, deren Grundlage Mathematik ist: Logik und Mengenlehre.
Thomas Bedürftig, Karl Kuhlemann

Kapitel 3. Methodische Abwege

Zusammenfassung
Der epochalen mathematischen Erfolgsgeschichte, die der Wende in der Mathematik folgt, steht eine massive methodische Problemgeschichte gegenüber. Wir sehen, wie sie unmittelbar mit den Grenzwerten zusammenhängt und mit den reellen Zahlen, die erfunden wurden, damit Grenzprozesse konvergieren können. Die Zahlengerade, deren Punkte mit den reellen Zahlen identifiziert werden, wird in vielen Einführungen als \(\mathbb {R}\) gesetzt. Das ist illegitim. Weitere Kunstgriffe (Intervallschachtelungen, unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche) erben die Illegitimität und zeigen die methodische Problematik des Grenzwertbegriffs.
Thomas Bedürftig, Karl Kuhlemann

Kapitel 4. Zwischenhalt

Zusammenfassung
Hinter den vorgestellten methodischen Problemen mit dem Grenzwert steht die aktuale Unendlichkeit. Gravierend ist die Problematik für die unendlichen Folgen. Wir zitieren Hilbert, der Unendlichkeit als Grundlage im „verstandesmäßigen Denken“ für nicht „zulässig“ erklärt hat. Mit der aktualen Unendlichkeit wird Mathematik Theorie. Der Schritt in die Theorie muss im Unterricht bewusst getan werden.
Thomas Bedürftig, Karl Kuhlemann

Kapitel 5. Infinitesimale Zahlen

Zusammenfassung
Nach der Wende – aus den neuen mathematischen Grundlagen heraus – kommt die Wendung zurück zu den Infinitesimalien im Gewand infinitesimaler Zahlen. Wir deuten den mathematischen Hintergrund der Wendung an, in einer logischen und einer mengentheoretischen Variante, die zu den hyperreellen Zahlen \(^*\mathbb {R}\) führen. Wir formulieren Begriffe und Axiome für die Praxis des Rechnens mit den neuen Zahlen und beobachten die neue Infinitesimalrechnung am Beispiel des Integrals.
Thomas Bedürftig, Karl Kuhlemann

Kapitel 6. Gegenüberstellung und Vergleich

Zusammenfassung
Es geht um den Kern, um die Grundgedanken und Grundvorstellungen in beiden Einstiegen in die elementare Analysis. Wir vergleichen die Einstiege und bemerken die Vorteile des Nichtstandardeinstiegs. Sie liegen in der Anschaulichkeit und in der elementaren Arithmetik, die die Unendlichkeit in den infinitesimalen und infiniten Zahlen erfasst, Grenzprozesse erübrigt und den Grenzwertformalismus aufhebt. Die technischen Vorteile sind bedeutend.
Thomas Bedürftig, Karl Kuhlemann

Kapitel 7. Diskussion

Zusammenfassung
Nichtstandard ist keine Negation, sondern eine Erweiterung von Standard. Es ist mathematisch fragwürdig, eine Erweiterung mehr oder weniger ungeprüft zu ignorieren. Nichtstandard liefert neue Modelle, erweitert das mathematische Denken und hebt Festlegungen auf. Die Widerstände, die wir beobachten, scheinen uns Verweigerungen zu sein und aus Unsicherheit oder Unwissen zu kommen.
Thomas Bedürftig, Karl Kuhlemann

Kapitel 8. Schluss

Zusammenfassung
Wir blicken zurück und fassen zusammen. Der begriffliche Hintergrund für die Grenzwerte führte in die höhere, theoretische Mathematik. Wird sie wie eine Wirklichkeit gelehrt, entstehen notwendig methodische Probleme. Lehrerinnen und Didaktiker mühen sich an partiell unlösbaren Aufgaben und gehen selbst von mathematischen Denkgewohnheiten aus, die man aufgeben muss, einfach, weil es Nichtstandard gibt. Wir schließen mit einem Aufruf für die überfällige Erweiterung von Standard um Nichtstandard.
Thomas Bedürftig, Karl Kuhlemann

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