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Über dieses Buch

Dieses Buch vermittelt wesentliche Grundlagen der Mathematik, und zwar aus der Mengenlehre, der Algebra, der Theorie der reellen und komplexen Zahlen sowie der Topologie. Es ist damit die Basis für eine weiterführende Beschäftigung mit der Mathematik. Nicht nur die nötigen Begriffe werden eingeführt, sondern bereits wesentliche – auch tieferliegende – Aussagen darüber bewiesen. Der Stoff wird durch ungewöhnliche Beispiele und vielfältige Aufgaben illustriert und ergänzt. Das Buch ist zum Selbststudium geeignet, aber vor allem konzipiert als Begleitlektüre von Anfang an für ein Studium der Mathematik, Physik und Informatik. Die stringente Herangehensweise macht es gut lesbar und vergleichsweise leicht verständlich.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundlagen der Mengenlehre

Das vorliegende Kapitel führt die grundlegenden Sprechweisen über Mengen, Abbildungen und Relationen ein. Ausführlich werden die ordnungstheoretischen Begriffe diskutiert. Dazu gehört ein Abriss der Theorie der Kardinal- und Ordinalzahlen und ein Beweis des Zornschen Lemmas mit seinen Konsequenzen wie Wohlordnungssatz, Vergleichbarkeitssatz für Kardinal- und Ordinalzahlen und der Produktsatz für unendliche Kardinalzahlen. Ausgehend von den Peano-Axiomen wird darüber hinaus eine Einführung in die natürlichen Zahlen gegeben. Die Grundaufgaben der elementaren Kombinatorik werden detailliert dargestellt. Der Euklidische Algorithmus und der damit gewonnene Hauptsatz über die eindeutige Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen sind Ausgangspunkt einer Einführung in die elementare Zahlentheorie und bereiten das folgende Kapitel über die Grundlagen der Algebra vor.

Uwe Storch, Hartmut Wiebe

2. Algebraische Grundlagen

Als Grundbegriffe der Algebra werden Monoide und Gruppen, Ringe und Körper sowie Moduln und Algebren behandelt. Homomorphismen spielen früh als strukturverträgliche Abbildungen eine entscheidende Rolle und führen zu Standardkonstruktionen wie Quotientenbildungen, Summen und Produkten und zur Diskussion freier Objekte. Universelle Eigenschaften der konstruierten Objekte werden hervorgehoben und bereiten auf eine spätere mehr kategorientheoretische Betrachtungsweise vor. Natürliche Verträglichkeitsbedingungen für Operationen motivieren die eingeführten Begriffe. Ausgangspunkt sind Monoide und ihre Einheitengruppen. Die Theorie der Gruppen wird bis zu den Sylow-Sätzen ausgeführt und an endlichen Permutationsgruppen konkretisiert. Anwendungsbeispiele sind z.B. das quadratische Reziprozitätsgesetz und die Pólyasche Abzählformel. Ringe, Moduln und Algebren sind Strukturen mit mehreren kanonisch verbundenen Verknüpfungen. Die Restklassenringe von $$\mathbb{Z}$$ sind die minimalen Ringe und wesentliche Objekte der elementaren Zahlentheorie. Mit dem allgemeinen Chinesischen Restsatz wird ihre Struktur und die ihrer Einheitengruppen, der Primrestklassengruppen, geklärt. Moduln und Vektorräume werden einschließlich des Rang- und Dimensionsbegriffs behandelt. Der Abschnitt über Algebren diskutiert u. a. sehr ausführlich (auch nichtkommutative) Polynomalgebren bis hin zum Hilbertschen Basissatz und der Primfaktorzerlegung. Hauptidealbereiche und insbesondere euklidische Bereiche finden dabei ihren Platz. Anwendungsbeispiele sind etwa endliche Körper und der Zwei- sowie der Vier-Quadrate-Satz.

Uwe Storch, Hartmut Wiebe

3. Reelle und komplexe Zahlen

Die reellen Zahlen bilden einen angeordneten Körper. Dies und somit das Studium von Ungleichungen sind Ausgangspunkt dieses Kapitels. Zentraler Begriff ist die Konvergenz von Folgen. Dieser wiederum führt zum Vollständigkeitsbegriff und zur Definition von $$\mathbb{R}$$ als einem vollständigen angeordneten Körper. Die Vollständigkeit wird von verschiedensten Seiten beleuchtet, wobei sich auch natürliche Konstruktionen von $$\mathbb{R}$$ aus den rationalen Zahlen ergeben. Der Übergang zu den komplexen Zahlen ist dann ein kleiner Schritt. Für die Polarkoordinatendarstellung werden allerdings im Vorgriff auf Band 2 schon hier trigonometrische Funktionen benutzt. Bei der Behandlung von Reihen bietet der Summierbarkeitsbegriff erhebliche methodische Vorteile. Er wird deshalb konsequent benutzt. Die Stetigkeit von reellen und komplexen Funktionen auf Teilmengen von $$\mathbb{R}$$ oder $$\mathbb{C}$$ wird ausführlich behandelt, einschließlich der Besonderheiten bei kompakten Definitionsbereichen. Als eine Anwendung erhält man den klassischen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Das Kapitel schließt mit der Einführung der reellen Exponential- und Logarithmusfunktionen.

Uwe Storch, Hartmut Wiebe

4. Topologische Grundlagen

Heute spielen topologische Strukturen in allen Bereichen der Mathematik eine wesentliche Rolle. Ausgehend vom Abstandsbegriff werden zunächst metrische Räume eingeführt, zu denen speziell die normierten Vektorräume gehören. Sie motivieren das Konzept des topologischen Raums mit den zugehörigen Homomorphismen, nämlich den stetigen Abbildungen. Einschlägige Konstruktionen wie Bild- und Urbildtopologien mit ihren universellen Eigenschaften, speziell Quotienten und Produkte, werden ausführlich besprochen. Die fundamentalen Begriffe des Zusammenhangs und der Kompaktheit, die schon für die Räume $$\mathbb{R}$$ und $$\mathbb{C}$$ eine wichtige Rolle spielten, sind zentrale Gegenstände der Überlegungen. Der Satz von Tychonoff und die Vollständigkeit metrischer Räume sowie die verschiedenen Konvergenzbegriffe in Abbildungsräumen bis hin zum Satz von Arzelà-Ascoli werden diskutiert. Schließlich wird die Summierbarkeit in hausdorffschen abelschen topologischen Gruppen als Verallgemeinerung der Summierbarkeit in $$\mathbb{R}$$ und $$\mathbb{C}$$ eingeführt.

Uwe Storch, Hartmut Wiebe

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