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2022 | Buch

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Grundkurs Analysis und Lineare Algebra

Eine akzentuierte zweisemestrige Einführung

verfasst von: Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses handliche Lehrbuch stellt akzentuiert diejenigen Inhalte aus Analysis und Linearer Algebra sowie grundlegende mathematische Fähigkeiten und Fertigkeiten dar, die für ein Studium der Mathematik bereits in den ersten beiden Semestern unverzichtbar und für andere Mathematik-nahe Studiengänge in Umfang und Tiefe dennoch vertretbar und realistisch zu bewältigen sind.

Dafür werden einige Themen, die in herkömmlichen, separaten Lehrveranstaltungszyklen zu Analysis und Linearer Algebra weitgehend kanonisch sind, hier bewusst ausgelassen – diese können je nach Bedarf anderweitig vertieft werden.

Insbesondere Studierende der Informatik, der Physik oder auch des Lehramts lernen Mathematik hier nicht als Ansammlung anwendungsbereiter Ergebnisse, sondern als wohlkonstruiertes Gebäude aus Abstraktion, axiomatischen Strukturen, Sätzen und Beweisen kennen.

Passende Übungsaufgaben werden jeweils am Ende der jeweiligen Kapitel angeboten; wenige optionale ergänzende Abschnitte sind als solche gekennzeichnet.

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Grundlagen

Zusammenfassung

Dieses einführende Kapitel widmet sich einigen grundlegenden, teilweise aus der Schule bekannten Begriffen, Formulierungen und Sachverhalten aus der Aussagenlogik, der naiven Mengenlehre und den Beziehungen zwischen Mengen. Im Vordergrund stehen dabei die Eigenschaften von Relationen, insbesondere von Äquivalenzrelationen und Abbildungen. Viele der Beispiele greifen auf die zunächst als geläufig vorausgesetzte Menge der natürlichen Zahlen sowie auf die detailliert eingeführte Menge der ganzen Zahlen zurück. Die axiomatische Einführung der natürlichen Zahlen wird am Ende des Kapitels nachgeholt.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 2. Elemente der Algebra

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der Schritt in einige abstraktere gedankliche Konstrukte vollzogen. Dies betrifft einerseits Operationen auf oder zwischen Mengen und andererseits die Strukturierung von Mengen. Behandelt werden die algebraischen Strukturen der Gruppen, Ringe, Körper und geordneten Körper. Als konkrete Beispiele werden der Körper der rationalen Zahlen, der Körper der reellen Zahlen als vollständiger geordneter Körper und darauf aufbauend die komplexen Zahlen eingehend besprochen.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 3. Folgen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel befasst sich mit dem Begriff der Folge reeller oder komplexer Zahlen als einer spezielle Abbildung auf den natürlichen Zahlen. Behandelt werden die wichtigesten, damit in Zusammenhang stehenden Begriffen und Eigenschaften wie Beschränktheit, Konvergenz, Monotonie, Teilfolge, Cauchy-Folge. Der einheitliche Zugang erfolgt mittels Kugelumgebungen und greift auf die schon in Kap. 1 diskutierte Endlichkeit von Mengen zurück.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 4. Reihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Reihen reeller oder komplexer Zahlen behandelt, wobei die wichtigsten Konvergenzkriterien bewiesen und exemplarisch illustriert werden.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 5. Funktionen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel greift den aus Kap. 1 bekannten Begriff der Abbildung bzw. Funktion zwischen Mengen auf und konkretisiert ihn für Mengen reeller oder komplexer Zahlen. Es werden allgemeine Begriffe bzw. Eigenschaften wie Grenzwerte oder Stetigkeit erörtert. Deren Definition geschieht ohne den Rückgriff auf Folgen, obwohl das Folgenkriterium als wichtiges Hilfsmittel natürlich bewiesen wird. Weiterhin werden speziellere Eigenschaften reeller Funktionen, wie Monotonie und Existenz von Zwischenwerten und Extrema, näher untersucht. Zudem werden die Exponentialfunktion und verwandte Funktionen mittels ihrer Potenzreihen oder als Umkehrfunktionen eingeführt.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 6. Differentialrechnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die Begriffe der Differenzierbarkeit und der Ableitung für Funktionen einer reellen oder komplexen Variablen (univariate Funktionen) eingeführt. Im Hinblick auf Funktionen mehrerer Veränderlicher geschieht dies mittels der Zerlegungsformel und dem zugehörigen Restglied. Die Charakterisierung der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten ergibt sich als Folgerung. Ferner werden praktisch wichtige Ableitungsregeln behandelt. Für reellwertige differenzierbare Funktionen wird der Mittelwertsatz der Differentialrechnung formuliert und bewiesen.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 7. Vektorräume

Zusammenfassung

Mit diesem Kapitel beginnt der Teil der Linearen Algebra. Ausgehend von einigen Beispielen beschäftigt es sich mit der axiomatischen Einführung von K-Vektorräumen. Ausgehend von den Axiomen werden weitere allgemeingültige Rechenregeln bewiesen. Zudem werden Untervektorräume, lineare Hüllen und Erzeugendensysteme eingeführt und Summen von Untervektorräumen betrachtet. Als Beispiele werden hauptsächlich reelle Vektorräume herangezogen.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 8. Basis und Dimension

Zusammenfassung

In Fortführung des vorherigen Kapitels über Vektorräume werden hier die Begriffe der linearen Unabhängigkeit von Vektoren und der Basis von K-Vektorräumen eingeführt und unter verschiedenen Blickwinkeln untersucht. Insbesondere wird der grundlegende Begriff der Dimension eines Vektorraumes ausführlich mit allen erforderlichen Beweisen erklärt. Fortgesetzt wird das Kapitel mit dem Begriff der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen und einigen damit in Zusammenhang stehenden Eigenschaften. Es schließt sich der Nachweis der Isomorphie von K-Vektorräumen der gleichen Dimension an.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 9. Lineare Abbildungen und Matrizen

Zusammenfassung

Aufbauend auf den im vorherigen Kapitel eingeführten Begriffen der Basis eines Vektorraumes und der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen widmet sich dieses Kapitel der Darstellung solcher Abbildungen mit Hilfe von Matrizen und den Korrespondenzen zwischen Abbildungseigenschaften und Matrizeneigenschaften. Betont wird dabei, dass Matrizen als praktikables Hilfsmittel zum Umgang mit linearen Abbildungen dienen und die Operationen mit Matrizen dementsprechend definiert werden.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 10. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Lineare Gleichungssysteme spielen nicht nur in der Mathematik, sondern auch in vielen anderen Wissenschaften eine wichtige Rolle. Diese Kapitel beschäftigt sich mit der Lösungstheorie solcher Systeme und beschreibt eine der bedeutsamsten Lösungsmethode – das Gauß-Verfahren.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 11. Integration

Zusammenfassung

Mit diesem Kapitel wird der Faden der Analysis wieder aufgenommen. Es ist dem Begriff und den wichtigsten Eigenschaften des (Regel-)Integrals reell- oder komplexwertiger Funktionen über beschränkten reellen Intervallen gewidmet. Die Definition des Integrals erfolgt also über die gleichmäßige Approximation der Integranden durch Treppenfunktionen Zudem werden der Mittelwertsatz der reellen Integralrechnung und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vorgestellt und für stetige Funktionen auch bewiesen. Abschließend werden einige wichtige Integrationstechniken behandelt.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Kapitel 12. Differentialrechnung multivariater Funktionen

Zusammenfassung

Das letzte Kapitel baut auf den Kap. 5 und 6 auf und überträgt die dort betrachteten Begriffe und Sachverhalte auf Funktionen mehrerer reeller oder komplexer Variabler (multivariate Funktionen). Es wird der Begriff der Differenzierbarkeit weitgehend analog zu Kap. 6 mittels der Zerlegungsformel eingeführt. Der multivariate Fall generiert zudem die Notwendigkeit, auch noch andere Varianten des Differenzierens, wie etwa das Differenzieren entlang einer Richtung, zu betrachten und entsprechende Zusammenhünge herzustellen. Der Schlussabschnitt des Kapitels ist der Frage der Ermittlung lokaler Extremstellen reellwertiger Funktionen, auch unter Nebenbedingungen, gewidmet.

Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Backmatter

Titel: Grundkurs Analysis und Lineare Algebra
verfasst von: Lutz Angermann
Bernd Mulansky
Copyright-Jahr: 2022
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-65596-2
Print ISBN: 978-3-662-65595-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-65596-2

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