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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundbegriffe

Zusammenfassung
Dieser erste Abschnitt ist keine Einführung in die Aussagenlogik; der Leser soll nur notwendige und hinreichende Bedingungen unterscheiden lernen und erfahren, was ein direkter und was ein indirekter Beweis ist.
Herbert Vogt

2. Folgen und Reihen

Zusammenfassung
Eine Folge ist eine Menge von numerierten Zahlen. Die Nummern sind 0,1,2,… oder 1,2,… und heißen Indizes . Die Zahl mit dem Index k heißt das Folgenglied a k . Wenn eine Folge nur endlich viele Glieder hat, dann wollen wir sie ausdrücklich eine endliche Folge nennen, während wir sonst unter einer Folge eine unendliche Menge von Folgengliedern verstehen wollen. Der Index k läuft also dann von 0 (oder 1) bis ∞ und da die Glieder der Reihe nach aufgezählt werden können, sagt man, daß eine Folge aus abzählbar unendlich vielen Gliedern besteht. Diese müssen aber nicht alle verschieden sein!
Herbert Vogt

3. Wichtige Funktionstypen

Zusammenfassung
Wir haben die Polynome bereits in Abschnitt 1.2 als eine Klasse von überall stetigen Funktionen kennengelernt. Nun wollen wir weitere Eigenschaften und einige Anwendungen betrachten. Man kann Polynome in naheliegender Weise addieren, subtrahieren und miteinander multiplizieren.
Herbert Vogt

4. Differentialrechnung

Zusammenfassung
Es ist jetzt unser Ziel, zu einer gegebenen Funktion f(x) eine andere Funktion f′(x) zu finden, die für möglichst alle x des Definitionsbereichs von f(x) angeben soll, wie stark f(x) an der Stelle x ansteigt oder fällt. Zunächst müssen wir überlegen, was die vage Ausdrucksweise, daß f(x) an einer Stelle mehr oder weniger „stark ansteigt“ bzw. fällt, bedeuten soll.
Herbert Vogt

5. Integralrechnung

Zusammenfassung
Wir betrachten zunächst eine stetige Funktion f(x) mit positiven Werten über einem Intervall [a,b]. Die Fläche, die von [a, b], dem über [a,b] liegenden Teil der Funktionskurve und den beiden die Punkte (a, 0) und (a, f(a)) bzw. (b, 0) und (b, f(b)) verbindenden Strecken begrenzt wird, nennen wir eine Integralfläche (s.Figur 47).
Herbert Vogt

6. Näherungsverfahren

Zusammenfassung
Bei vielen Berechnungen ist man auf Näherungswerte angewiesen, weil die exakten Werte nicht oder nur mit Mühe bestimmbar sind. So muß man etwa für π, e oder auch für \(\sqrt 2\) Näherungen einsetzen, wenn man den Zahlenwert einer Größe bestimmen möchte, die von solchen irrationalen Zahlen abhängt. Auch Nullstellen von Funktionen können oft nur näherungsweise bestimmt werden, denn nur für einige Typen, wie etwa die Polynome bis zum 4.Grad, kennt man Formeln für die exakte Berechnung der Nullstellen. In vielen Fällen ist man daher auf Näherungsverfahren angewiesen. Das einfachste ist das Man setzt hier voraus, daß die Funktion f(x), von der eine Nullstelle gesucht wird, überall oder zumindest in einer Umgebung einer jeden Nullstelle differenzierbar ist.
Herbert Vogt

7. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Die Integrationsaufgabe besteht im wesentlichen darin, eine Funktion zu suchen, deren Ableitung f(x) gegeben ist. Bezeichnen wir die zu suchende Funktion mit y(x), dann ist also die folgende Gleichung gegeben:
$$y'\left( x \right) = f\left( x \right);\,dies\,ist\,bereits\,eine\,Differentialgleichung.$$
Herbert Vogt

8. Funktionen von mehreren Variablen

Zusammenfassung
Die meisten Größen, die wir beobachten können, hängen nicht nur von einer, sondern von mehreren anderen Größen ab. So wird etwa die photosynthetische Aktivität einer Pflanze nicht nur von der Intensität des einfallenden Lichts, sondern auch von der Temperatur, dem CO2-Gehalt der Luft usw. beeinflußt. Der Druck in einem Gas hängt nicht nur von dessen Volumen, sondern auch von der Temperatur ab, die Reaktionsgeschwindigkeit einer chemischen Umsetzung von den Konzentrationen aller daran beteiligten Substanzen usw..
Herbert Vogt

9. Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zusammenfassung
Der bisweilen mit dem Autor korrespondierende Student Robert ist inzwischen in allen Teilbereichen der Biologie intensiv geschult, Mathematik und Statistik hat er bisher allerdings etwas vernachlässigt. Als Diplomarbeit soll er einen Bericht über die fraßhemmende Wirkung gewisser pflanzlicher Alkaloide auf Insekten erarbeiten. Er fertigt ein Substrat A an, das eine bestimmte Konzentration eines solchen Alkaloids enthält. Ein anderes Substrat B enthält das Alkaloid nicht, ist aber sonst identisch mit A. Von 15 Raupen einer Insektenart, die alle von einem Gelege stammen und sich im selben Entwicklungsstadium befinden, werden 7 auf das Substrat A gesetzt und 8 auf das Substrat B. Nach 5 Tagen wird die Gewichtszunahme bei allen Raupen gemessen und das Resultat sei wie folgt:
  • Zunahme in mg der 7 Raupen auf A: 81, 67, 60, 96, 116, 92, 76;
  • Zunahme in mg der 8 Raupen auf B: 88, 124, 108, 84, 104, 75, 85, 116
Herbert Vogt

10. Schätzmethoden

Zusammenfassung
Für die bisher betrachteten zufälligen Variablen kannten wir die Verteilung; diese folgte aus einem Modell, etwa dem des Bernoulli-Schemas oder dem des zufälligen Ziehens aus einer Urne ohne Zurücklegen usw., oder wir forderten einfach, daß die zufällige Variable nach einer gewissen Verteilungsfunktion oder Dichte verteilt sein sollte. Weil wir die Verteilung kannten, konnten wir Vorhersagen über den Wert machen, den die Variable annehmen wird, z.B. konnten wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der er in ein gegebenes Intervall fallen wird.
Herbert Vogt

11. Signifikanztests

Zusammenfassung
„Statistisch nachgewiesenen“ Behauptungen wird häufig mißtraut. Dazu haben nicht nur Fälschungen und bewußte Irreführungen beigetragen, sondern auch Fehlanwendungen von Signifikanztests, die unterlaufen, wenn elementare Regeln mißachtet werden. Eine dieser Regeln lautet:
Wer erst aufgrund vorliegender daten zu einer vermutung kommt, braucht neue daten, um diese vermutung zu bestätigen!
Herbert Vogt

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