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Über dieses Buch

Verständnis der Konzepte statt bloßes Auswendiglernen steht hier im Vordergrund. Und doch wird das komplette Grundwissen über algebraische Strukturen und Zahlentheorie vermittelt - essentiell für jede weitere mathematische Ausbildung und Anwendung! Erreicht wird dies durch die logische Struktur der Kapitel, mit einer Vielzahl von Beispielen, Abbildungen und erprobten Übungen. Damit ist das Buch ideal für das vorlesungsbegleitende Selbststudium und als Leitfaden für Lehrende. Nebenbei findet ein erster Kontakt mit dem hochaktuellen Gebiet der Computeralgebra statt. Am Ende steht die Fähigkeit zum eigenständigen Verstehen mathematischer Inhalte - von hohem Wert im weiteren Studium, im Lehrberuf oder in der anwendungsorientierten Mathematik.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

In diesem einführenden Abschnitt wird eine grundlegende Vorstellung von den in diesem Buch behandelten Themenbereichen der Mathematik, der Algebra und der Zahlentheorie vermittelt. Wir gehen auch kurz auf die Wechselwirkungen der Algebra und Zahlentheorie untereinander und mit anderen Teilgebieten der Mathematik ein.

Janko Boehm

2. Zahlen

Wir beginnen mit einer kurzen Einführung zu den grundlegenden Eigenschaften der ganzen Zahlen. Viele Konzepte, die wir später in einem allgemeineren Kontext kennenlernen werden, übertragen Begriffe und Methoden von den ganzen Zahlen auf allgemeinere Klassen von Ringen. Diese Konzepte wollen wir zunächst im Fall der ganzen Zahlen verstehen. Beispiele sind der euklidische Algorithmus, die Konstruktion des Quotientenkörpers, Primfaktorisierung oder der Chinesische Restsatz.

Janko Boehm

3. Gruppen

Motiviert durch die Eigenschaften der ganzen Zahlen führen wir in diesem Kapitel den Gruppenbegriff ein. Zur Illustration verwenden wir vielfach Symmetriegruppen von geometrischen Objekten. Wichtige Begriffe betrachten wir vom Standpunkt der Gruppenoperation, etwa Nebenklassen, die Quotientengruppe, Konjugationsklassen, Konjugationsklassen von Untergruppen, die Klassengleichung, die Konstruktion von Untergruppen mit Primpotenzordnung und die Sylowsätze.

Janko Boehm

4. Ringe

Ausgehend von den ganzen Zahlen und Restklassenringen führen wir in diesem Kapitel den Ringbegriff ein und diskutieren Einheiten, Nullteiler und Integritätsringe. Danach werfen wir einen kurzen Blick auf die algebraische Geometrie, die sich mit Nullstellenmengen von Polynomen beschäftigt, und gehen auf die Bedeutung von Idealen in diesem Zusammenhang ein. Wir sprechen auch kurz den algorithmischen Zugang dazu im Sinne von Computeralgebra und Gröbnerbasen an. Dies föhrt auf natürliche Weise zu dem Begriff des noetherschen Rings. Wieder motiviert durch Eigenschaften von den ganzen Zahlen, diskutieren wir im Folgenden Hauptidealringe, euklidische Ringe und den Chinesischen Restsatz mit Anwendungen, z. B. in der Polynominterpolation.

Janko Boehm

5. Moduln und der Elementarteilersatz

Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel grundlegende Klassen von Ringen kennengelernt haben, schließt sich auf natürliche Weise nun die lineare Algebra über den ganzen Zahlen, euklidischen Ringen und Hauptidealringen im Sinne des Elementarteilersatzes an. In diesem Zusammenhang sprechen wir auch über Moduln und Präsentationen. Als wichtigste Anwendung beweisen wir den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen, aber auch den Satz über die Jordansche Normalform.

Janko Boehm

6. Die prime Restklassengruppe

Dieses Kapitel widmet sich den Einheitengruppen von Restklassenringen und deren Anwendungen. Wir beweisen den kleinen Satz von Fermat, geben eine allgemeine Charakterisierung von zyklischen Gruppen und zeigen damit, dass die Einheitengruppe eines endlichen Körpers von Primzahlordnung zyklisch ist. Im Anschluss diskutieren wir verschiedene Anwendungen der Einheitengruppen von Restklassenringen, etwa bei der Primfaktorisierung und der Public-Key Kryptographie (RSA und Diffie-Hellman Schlüsselaustausch) und untersuchen, wann genau die Einheitengruppe zyklisch ist.

Janko Boehm

7. Körper

Nach den Grundlagen der Körpertheorie, wie algebraischen und transzendenten Körpererweiterungen, wird in diesem Kapitel die Existenz und Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers behandelt, was wiederum auf natürliche Weise zu dem Begriff der normalen Körpererweiterung führt. Wir klassifizieren alle endlichen Körper, und zeigen dann mit Hilfe der Charakterisierung von zyklischen Gruppen aus dem vorhergehenden Kapitel, dass die Einheitengruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist. Darauf aufbauend beweisen wir den Satz vom primitiven Element, konstruieren den algebraischen Abschluss und zeigen den Hauptsatz der Galoistheorie für Erweiterungen zwischen endlichen Körpern. Danach folgt eine kompakte Darstellung der allgemeinen Galoistheorie: Ausgehend vom Eindeutigkeitsbeweis für den Zerfällungskörper führen wir den Begriff der separablen Erweiterungen ein, zeigen den Satz vom primitiven Element und den Hauptsatz der Galoistheorie.

Janko Boehm

8. Quadratische Reste

Motiviert durch das Zählen von Punkten von elliptischen Kurven über endlichen Körpern, führen wir in diesem Kapitel den Begriff des quadratischen Rests und des Legendre-Symbols ein und entwickeln auf der Basis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes einen Algorithmus zur Berechnung von Legendre und Jacobi-Symbolen. Als eine weitere Anwendung wird der Primzahltest von Solovay und Strassen diskutiert.

Janko Boehm

9. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Im letzten Kapitel kehren wir nochmals zur Körpertheorie zurück. Wir behandeln Konstruktionen mit Zirkel und Lineal und beweisen ein notwendiges Kriterium für die Konstruierbarkeit. Damit zeigen wir, dass eine Reihe klassischer Konstruktionsprobleme nicht mit Zirkel und Lineal lösbar ist, zum Beispiel die Würfelverdopplung, die Quadratur des Kreises und die Konstruktion des regelmäßigen 9-Ecks. Abschliessend charakterisieren wir mit Hilfe der Eulerschen Phi-Funktion alle konstruierbaren regelmäßigen n-Ecke.

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