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2022 | Buch

Grundlagen der Baustatik

Modelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke

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Über dieses Buch

Das vorliegende Lehrbuch schließt die Lücke zwischen den grundlegenden Ansätzen der Technischen Mechanik und den verschiedenen werkstoffabhängigen Bauweisen des Konstruktiven Ingenieurbaus.

Ein tiefes Verständnis für Modelle, Methoden und Aufgabenstellungen der Baustatik ist Grundvoraussetzung für einen erfolgreichen Tragwerksentwurf. Weil Tragwerksmodelle und Berechnungsmethoden unabhängig vom Werkstoff entwickelt und eingesetzt werden können, nimmt die Baustatik eine integrierende Stellung zwischen den werkstoffbezogenen Fachgebieten des Konstruktiven Ingenieurbaus ein.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

GRUNDLAGEN

Frontmatter
Kapitel 1. Einführung

Die Statik ist ursprünglich ein Teilgebiet der Mechanik. Mit dem Entwurf von immer komplexeren Tragsystemen hat sie sich jedoch unabhängig von der Mechanik weiterentwickelt. Heute ist die Baustatik als Folge der auch in Grenzbereichen der Tragfähigkeit geplanten modernen Konstruktionsweisen und mit den hierfür notwendigen weitentwickelten Berechnungsverfahren als eigenständiges Fachgebiet für das Bauwesen unentbehrlich.

Dieter Dinkler
Kapitel 2. Tragwerksmodelle der Stabstatik

Reale Bauwerke sind immer drei–dimensionale Kӧrper. Die Beschreibung der Eigenschaften und die Untersuchung des Verhaltens räumlicher Kӧrper unter äußeren Einwirkungen ist jedoch sehr aufwändig, sodass in der Regel Vereinfachungen erforderlich und sinnvoll sind, die eine effiziente Berechnung zulassen. Die Beschreibung der wesentlichen Eigenschaften eines Bauwerks mit physikalisch begründeten Ansätzen heißt Modellbildung.

Dieter Dinkler
Kapitel 3. Grundlagen der Berechnungsverfahren

Für die Berechnung des Trag– und Verformungsverhaltens von Tragwerken müssen Modellgleichungen für die einzelnen Tragwerkstypen formuliert werden. Ziel der baustatischen Verfahren ist, die Modellgleichungen mӧglichst effizient zu lӧsen, um die für die Sicherheitsnachweise erforderlichen Zustandsgrӧßen schnell zu erhalten. Hierfür sind vereinfachende Annahmen erforderlich, die für ebene Stabtragwerke nachfolgend zusammengestellt sind.

Dieter Dinkler

STATISCH BESTIMMTE SYSTEME

Frontmatter
Kapitel 4. Zustandslinien statisch bestimmter Systeme

In diesem Abschnitt werden die Vorgehensweisen zur Berechnung von Zustandslinien von statisch bestimmten Tragwerken erläutert und an ausgewählten Beispielen gezeigt. Das Vorgehen der Baustatik ist für Durchlaufträger bereits in Abschnitt 3.6 gezeigt. Im folgenden Abschnitt stehen die Stabkräfte in ebenen Fachwerken sowie die M,Q,N–Zustandslinien in Rahmen– und Bogentragwerken im Vordergrund.

Dieter Dinkler
Kapitel 5. Kinematik von ebenen Stabtragwerken

Bisher ist die Berechnung der Zustandslinien M,Q und N von statisch bestimmten Stabtragwerken erfolgt. Dies ist mit dem Schnittprinzip mӧglich, wenn die Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt werden. Statische Systeme kӧnnen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie nicht verschieblich sind. Dies ist bei komplexen, insbesondere räumlichen Systemen nicht immer deutlich sichtbar, sodass hierfür Entscheidungshilfen vorhanden sein müssen.

Dieter Dinkler
Kapitel 6. Arbeitssätze

Grundlage der bisher gewählten Berechnungsverfahren für Zustandslinien sind der Kraft– und der Momentenbegriff. Wenn ein statisches System nicht verschieblich ist, dann sind bei beliebiger Anwendung des Schnittprinzips alle am System angreifenden Lasten mit den Schnittgrӧßen im Gleichgewicht. Dies ist sichergestellt, wenn die Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Zustandslinien für M,Q und N erfüllt sind.

Dieter Dinkler
Kapitel 7. Virtuelle Arbeiten

Die bisher im Arbeitssatz angesetzten Terme sind die Arbeiten wirklicher Kraftgrӧßen auf konjugierten wirklichen Wegen, wobei die mӧglichen Systeme starr – ohne innere Arbeiten – oder elastisch sein kӧnnen. Spannungs– und Verformungszustand sind zunächst in ihrer Grӧße und Verteilung unbekannt.

Dieter Dinkler
Kapitel 8. Berechnung von Schnittgrӧßen mit dem PvV

Der wesentliche Gedanke des Prinzips der virtuellen Verschiebungen ist in Abschnitt 7.1 herausgearbeitet.

Dieter Dinkler
Kapitel 9. Einflusslinien für Kraftgrӧßen

Die Schnittgrӧßen M,Q,N werden bisher in Zustandslinien dargestellt.

Dieter Dinkler
Kapitel 10. Berechnung von Weggrӧßen mit dem PvK

Bisher stand die Berechnung der Zustandsgrӧßen für den Nachweis der Standsicherheit im Vordergrund der Tragwerksanalyse. Hierfür werden allein die Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt, da die bisher untersuchten Tragwerke statisch bestimmt sind. In der Praxis ist in der Regel jedoch auch die Gebrauchstauglichkeit zu untersuchen und gegebenenfalls nachzuweisen.

Dieter Dinkler
Kapitel 11. Berechnung von Biegelinien

Bisher kӧnnen mit dem $$P\upsilon K$$ P υ K einzelne Verschiebungen oder Verdrehungen berechnet werden. Für verschiedene Aufgabenstellungen werden jedoch nicht nur einzelne Weggrӧßen, sondern die gesamte Biegelinie eines Tragwerks benӧtigt. Die Biegelinie eines komplexen Rahmentragwerkes kann man additiv aus unterschiedlichen Anteilen zusammensetzen.

Dieter Dinkler
Kapitel 12. Einflusslinien für Weggrӧßen

Die Arbeitssätze nach Abschnitt 6 sind integrale Aussagen für das gesamte Tragwerk.

Dieter Dinkler

STATISCH UNBESTIMMTE SYSTEME

Frontmatter
Kapitel 13. Eigenschaften statisch unbestimmter Systeme

Bisher wurde das Trag– und Verformungsverhalten an statisch bestimmten Systemen untersucht sowie die Berechnungsverfahren für Schnittgrӧßen und Weggrӧßen grundlegend entwickelt. Statisch bestimmte Systeme besitzen für die Baupraxis verschiedene Vor– aber auch viele Nachteile, sodass man sie dort vermeidet, wo man auch andere Bauweisen wӧhlen kann.

Dieter Dinkler
Kapitel 14. Das Kraftgrӧßenverfahren

Die Zustandslinien von statisch unbestimmten Systemen kӧnnen nicht allein mit den (bei ebenen Systemen) drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden.

Dieter Dinkler
Kapitel 15. Verallgemeinerung des Kraftgrӧßenverfahrens

In einem abgeschlossenen elastischen System gilt nach Abschnitt 6.2 sowohl für Eigen– als auch für Verschiebungsarbeiten $$\sum {A = A^{a} + A^{i} = 0} .$$ ∑ A = A a + A i = 0 .

Dieter Dinkler
Kapitel 16. Berechnung von Weggrößen

Die Berechnung von Biegelinien von statisch unbestimmten Systemen ist – sofern man die Momentenlinie kennt – analog zu statisch bestimmten Systemen durchführbar.

Dieter Dinkler
Kapitel 17. Das Drehwinkelverfahren

In vollständiger Analogie zum Kraftgrößenverfaren kann man ein Berechnungsverfahren für die Momentenlinie entwickeln, das Weggrößen als Unbekannte verwendet, siehe System B in Abschnitt 13.2. Hierbei werden die Grundgleichungen wie folgt erfüllt.

Dieter Dinkler
Kapitel 18. Anmerkungen zu den Berechnungsverfahren

Nachfolgend ist die Analogie bei der Berechnung der Momentenlinie mit dem Kraftgrößen– und dem Drehwinkelverfahren gezeigt. Ist die Momentenlinie bekannt, können Querkräfte und Normalkräfte sowie die Biegelinie in einer Nachlaufrechnung bestimmt werden. Beide Verfahren sind dual aufgebaut und unterscheiden sich in der Art und Weise, wie die Grundgleichungen erfüllt werden.

Dieter Dinkler
Kapitel 19. Einflusslinien statisch unbestimmter Systeme

Die Bedeutung von Einflusslinien wird am Beispiel von mehrfeldrigen Straßen– oder Eisenbahnbrücken besonders deutlich. Bild 19-1 zeigt die im Zuge des Neubaus der Autobahn A45 im Jahr 1969 fertiggestellte Siegtalbrücke, die als Durchlaufträger in Spannbetonbauweise ausgeführt ist. Aufgrund des hiermit verbundenen Tragverhaltens kann die Stützwirkung über den Pfeilern ausgenutzt werden, sodass eine Bauhöhe von h < 6 m möglich ist.

Dieter Dinkler

SPANNUNGSTHEORIE II. ORDNUNG

Frontmatter
Kapitel 20. Stabtragwerke nach Theorie II. Ordnung

Stäbe unter hoher Längsbelastung können zur Seite ausweichen, wenn die Längsbelastung bestimmte Grenzwerte erreicht oder überschreitet. Bei perfekten, ideal geraden Stäben wird dies als Knicken bezeichnet. Knicken beschreibt einen Vorgang, bei dem sich das Tragverhalten des Stabes schlagartig verändert.

Dieter Dinkler

FACHWERKMODELLE

Frontmatter
Kapitel 21. Fachwerkmodelle

Reale Tragwerke besitzen Ausdehnungen in allen drei Raumrichtungen. Wenn ein oder zwei Tragwerksabmessungen klein sind gegen die verbleibenden Abmessungen, kann man zur Vereinfachung der Berechnung Ersatzmodelle verwenden, bei denen das Trag– und Verformungsverhalten des gesamten Tragwerkkontinuums mit den Weg– und Schnittgrößen einer Referenzfläche oder –achse beschrieben wird.

Dieter Dinkler

TRAGLASTVERFAHREN

Frontmatter
Kapitel 22. Einführung in das Traglastverfahren

Die Berechnung des Spannungs– und des Verformungszustandes statisch bestimmter und statisch unbestimmter Systeme erfolgt mit dem Ziel alle Grundgleichungen, also die Gleichgewichtbedingungen, die Werkstoffgleichungen und die Gleichungen der Kinematik zu erfüllen. In der Baustatik werden hierfür das Schnittprinzip, das Prinzip der virtuellen Verschiebungen und das Prinzip der virtuellen Kräfte sowie das Kraftgrößenverfahren und das Weggrößenverfahren eingesetzt.

Dieter Dinkler
Kapitel 23. Tragverhalten der Querschnitte

Das Trag– und Verformungsverhalten von Stahlprofilen wird mit einem idealisierten σ−ε−Diagramm für Baustahl nach Bild 23-1 ermittelt.

Dieter Dinkler
Kapitel 24. Traglasttheoreme

Die Berechnung der Traglast eines Stabtragwerks unter gegebenen Einwirkungen erfolgt mit den üblichen Annahmen der Stabstatik nach Theorie I. Ordnung. Zusätzlich sind hier folgende wesentliche Punkte zu beachten.

Dieter Dinkler
Kapitel 25. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen

In Abschnitt 23.2 werden die in plastischen Gelenken geleisteten Dissipationsarbeiten beschrieben. Für das einführende Tragwerk nach Abschnitt 23.1 können die bei Laststeigerung geleisteten Eigenarbeiten und Verschiebungsarbeiten für jedes Lastinkrement bestimmt werden.

Dieter Dinkler
Kapitel 26. Traglast von Durchlaufträgern und Rahmen

Nachfolgend werden die Traglasten für ausgewählte Tragwerke mit dem PvV berechnet oder eingeschrankt.

Dieter Dinkler
Kapitel 27. Kombination mehrerer kinematischer Ketten

Die direkte Berechnung der Traglast erfolgt mit dem PvV, wenn die virtuellen Verschiebungen so gewählt werden, dass sie einem Verschiebungsfeld entsprechen, das das Tragwerk nach Erreichen der Traglast erfahren kann. Dies bedeutet, dass alle möglichen kinematischen Mechanismen untersucht werden müssen.

Dieter Dinkler
Kapitel 28. Traglastverfahren mit M–N–Q–Interaktion

Bei Rahmentragwerken sind in der Regel zusätzlich zu M auch große Längskräfte N vorhanden, die die Momententragfähigkeit Mpl der Querschnitte stark beeinflussen. Der Einfluss der in üblichen Tragwerken vorhandenen Querkräfte Q auf Mpl ist dagegen vergleichsweise gering, führt aber ebenfalls zu einer Abminderung der plastischen Momente Mpl.

Dieter Dinkler
Kapitel 29. Verformungsberechnung

Bei Erreichen der Traglast sind örtlich große Dehnungen und Verkrümmungen mit $$\varepsilon ,\kappa \to \infty$$ ε , κ → ∞ vorhanden, die auf Tragwerksebene mit großen Verformungen verbunden sein können. Es ist daher wichtig, nicht nur die Traglast zu kennen, sondern auch die Verformungen im Erschöpfungszustand, da im Einzelfall Effekte aus Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen sind und die Gebrauchstauglichkeit sicherzustellen ist.

Dieter Dinkler
Kapitel 30. Tragverhalten bei Be– und Entlastung

Be– und Entlastungen sowie erneute Belastungen sind mit einer Veränderung des Tragverhaltens verbunden, da während der Lastgeschichte Plastifizierungen und damit bleibende Verformungen auftreten. Die Plastifizierungen können bei statisch unbestimmten Systemen Eigenspannungszustände hervorrufen, die das Null–Niveau der Momentenlinien aus Last verschieben. Eigenspannungszustände sind ohne äußere Lasten im Gleichgewicht und mit den bleibenden Verformungen des Tragwerks verknüpft.

Dieter Dinkler
Kapitel 31. Bemessung nach Traglastverfahren

Beim Traglastverfahren werden die Stabquerschnitte und damit die plastischen Momente Mpl in der Regel für gegebene Lastanordnungen vorgegeben. Danach erfolgt die Berechnung der Traglast. In der Praxis ist jedoch die Höhe der Belastung und damit die Traglast gegeben.

Dieter Dinkler
Kapitel 32. Fließgelenktheorie II. Ordnung

Bei schlanken Tragwerkenmit großen Stabdruckkräften ist der Einfluss der Verformungen auf das Gleichgewicht nicht mehr vernachlässigbar. In diesem Fall wird die Traglast durch bisher nicht erfasste Effekte der genaueren Theorie II. Ordnung verringert.

Dieter Dinkler
Kapitel 33. Ergänzungen

An statisch bestimmten Tragwerken bewirken Zwängungen aus Stützensenkungen, Lagerverdrehungen und Erwärmung keine Spannungen bzw. Schnittgrößen. Allerdings treten Verformungen auf. Bevor bei Erreichen der Traglast das letzte Gelenk plastifiziert, liegt gerade noch ein statisch bestimmtes System vor, sodass die Einwirkungen aus Zwang keinen Einfluss auf die kinematische Kette haben und damit die Traglast PT unveränderlich ist.

Dieter Dinkler
Kapitel 34. Stahlbetontragwerke

Im Stahlbetonbau erfolgt die Bemessung nach Bruchschnittgrößen Mu, Nu, siehe Eurocode 2 [55] . Wenn hier die Teilsicherheitsbeiwerte für die Werkstoffeigenschaften und die Einwirkungen entsprechend berücksichtigt sind, ist die Querschnittstragfähigkeit mit dem Sicherheitsnachweis für den maßgebenden Lastfall ausgeschöpft. Die Fließgrenze der Schnittgrößen ist dagegen bei den Schnittgrößen My, Ny erreicht, die den Mpl, Npl bei Stahltragwerken entsprechen.

Dieter Dinkler
Kapitel 35. Anmerkungen zum Traglastverfahren

Das Traglastverfahren wird ursprünglich für die Handrechnung und für Tragwerke mit wenigen Lastfällen entwickelt und dort eingesetzt, wo der Aufwand vertretbar ist. In der heutigen Bemessungsphilosophie sind die Tragwerke in der Regel für viele unterschiedliche Lastfälle nachzuweisen, sodass die Sinnhaftigkeit des Traglastverfahrens oft in Frage gestellt wird.

Dieter Dinkler
Backmatter
Metadaten
Titel
Grundlagen der Baustatik
verfasst von
Dieter Dinkler
Copyright-Jahr
2022
Electronic ISBN
978-3-658-39265-9
Print ISBN
978-3-658-39264-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-39265-9