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Über dieses Buch

Das Lehrbuch ist in drei Abschnitte unterteilt, in denen die baustatischen Methoden anschaulich und grundlegend dargestellt sind. Der erste Teil behandelt die Modellierung statischer Systeme und eine Einführung in die Berechnung der Zustandslinien von Tragwerken. Im zweiten und dritten Teil stehen statisch bestimmte und unbestimmte Systeme mit der Ermittlung von Zustandslinien und Einflusslinien im Vordergrund. Die Spannungstheorie II. Ordnung und eine Einführung in die Fachwerkmodelle ergänzen die vorangehenden Abschnitte und bereiten die Studierenden auf weitere Fachgebiete im Konstruktiven Ingenieurbau vor.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

GRUNDLAGEN

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1. Einführung

Die Statik ist ursprünglich ein Teilgebiet der Mechanik. Mit dem Entwurf von immer komplexeren Tragsystemen hat sie sich jedoch unabhängig von der Mechanik weiterentwickelt. Heute ist die Baustatik als Folge der auch in Grenzbereichen der Tragfähigkeit geplanten modernen Konstruktionsweisen und mit den hierfür notwendigen weitentwickelten Berechnungsverfahren als eigenständiges Fachgebiet für das Bauwesen unentbehrlich.
Dieter Dinkler

2. Tragwerksmodelle der Stabstatik

Reale Bauwerke sind immer drei-dimensionale Körper. Die Beschreibung der Eigenschaften und die Untersuchung des Verhaltens räumlicher Körper unter äußeren Einwirkungen ist jedoch sehr aufwändig, sodass in der Regel Vereinfachungen erforderlich und sinnvoll sind, die eine effiziente Berechnung zulassen. Die Beschreibung der wesentlichen Eigenschaften eines Bauwerks mit physikalisch begründeten Ansätzen heißt Modellbildung.
Dieter Dinkler

3. Grundlagen der Berechnungsverfahren

Für die Berechnung des Trag- und Verformungsverhaltens von Tragwerken müssen Modellgleichungen für die einzelnen Tragwerkstypen formuliert werden. Ziel der baustatischen Verfahren ist, die Modellgleichungen möglichst effizient zu lösen, um die für die Sicherheitsnachweise erforderlichen Zustandsgrößen schnell zu erhalten. Hierfür sind vereinfachende Annahmen erforderlich, die für ebene Stabtragwerke nachfolgend zusammengestellt sind.
Dieter Dinkler

STATISCH BESTIMMTE SYSTEME

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4. Zustandslinien statisch bestimmter Systeme

In diesem Abschnitt werden die Vorgehensweisen zur Berechnung von Zustandslinien von statisch bestimmten Tragwerken erläutert und an ausgewählten Beispielen gezeigt. Das Vorgehen der Baustatik ist für Durchlaufträger bereits in Abschnitt 3.3 gezeigt. Im folgenden Abschnitt stehen die M,Q,N-Verläufe in ebenen Fachwerken sowie Rahmen- und Bogentragwerken im Vordergrund.
Dieter Dinkler

5. Kinematik von ebenen Stabtragwerken

Bisher ist die Berechnung der Zustandslinien M,Q und N von statisch bestimmten Stabtragwerken erfolgt. Dies ist mit dem Schnittprinzip möglich, wenn die Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt werden. Statische Systeme können nur dann im Gleichgewicht sein, wenn sie nicht verschieblich sind. Dies ist bei komplexen, insbesondere räumlichen Systemen nicht immer deutlich sichtbar, sodass hierfür Entscheidungshilfen vorhanden sein müssen. Ob und wie ein System als ganzes oder örtlich verschieblich ist, kann man zeichnerisch mit Hilfe von Polplänen oder rechnerisch mit den Gleichgewichtsbedingungen untersuchen. Ziel der Untersuchungen ist daher:
1.
Feststellen der Unverschieblichkeit des Tragwerks. Alle ausgeführten Tragwerke müssen unverschieblich sein, da die Lasten sonst nicht in den Baugrund abgeleitet werden können.
 
2.
Finden aller möglichen Verschiebungsfelder eines verschieblichen Systems. Dies kann man dazu verwenden, das System gezielt dort mit Steifigkeiten zu versehen, wo die größten Verschiebungen auftreten.
 
Dieter Dinkler

6. Arbeitssätze

Grundlage der bisher gewählten Berechnungsverfahren für Zustandslinien sind der Kraft- und der Momentenbegriff. Wenn ein statisches System nicht verschieblich ist, dann sind bei beliebiger Anwendung des Schnittprinzips alle am System angreifenden Schnittgrößen und Lasten im Gleichgewicht. Dies ist sichergestellt, wenn die Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der Zustandslinien für M, Q und N erfüllt sind.
Dieter Dinkler

7. Virtuelle Arbeiten

Die bisher im Arbeitssatz angesetzten Terme sind die Arbeiten wirklicher Kraftgr ößen auf konjugierten wirklichen Wegen, wobei die möglichen Systeme starr – ohne innere Arbeiten – oder elastisch sein können. Spannungs- und Verformungszustand sind zunächst in ihrer Größe und Verteilung unbekannt.
Dieter Dinkler

8. Berechnung von Schnittgrößen mit dem PvV

Der wesentliche Gedanke des Prinzips der virtuellen Verschiebungen ist in Abschnitt 7.1 herausgearbeitet: Die virtuellen Arbeiten des wirklichen Gleichgewichtszustands auf einem beliebigen, kinematisch zulässigen virtuellen Verschiebungszustand sind im Integral über das gesamte Tragwerk identisch null.
Dieter Dinkler

9. Einflusslinien für Kraftgrößen

Die Schnittgrößen M,Q,N werden bisher in Zustandslinien dargestellt:
Dieter Dinkler

10. Berechnung von Weggrößen mit dem PvK

Bisher stand die Berechnung der Zustandsgrößen für den Nachweis der Standsicherheit im Vordergrund der Tragwerksanalyse. Hierfür werden allein die Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt, da die bisher untersuchten Tragwerke statisch bestimmt sind. In der Praxis ist in der Regel jedoch auch die Gebrauchstauglichkeit zu untersuchen und gegebenenfalls nachzuweisen. Hierzu müssen die Verformungen des belasteten Tragwerks bekannt sein. Die Berechnung der Verformungen ist möglich, wenn der Spannungszustand bekannt ist und die anderen Grundgleichungen – Verformungsgeometrie und Werkstoffgleichungen – in der Analyse berücksichtigt werden.
Dieter Dinkler

11. Berechnung von Biegelinien

Bisher können mit dem PvK einzelne Verschiebungen oder Verdrehungen berechnet werden. Für verschiedene Aufgabenstellungen werden jedoch nicht nur einzelne Weggrößen, sondern die gesamte Biegelinie eines Tragwerks benötigt. Die Biegelinie eines komplexen Rahmentragwerkes kann man additiv aus unterschiedlichen Anteilen zusammensetzen. Es sind dies
  • Knotenverschiebungen des Sehnenpolygons, dies sind auch Lagersetzungen und -verdrehungen,
  • Verkrümmungen und Dehnungen der Einzelstäbe aus Last und Temperatur.
Dieter Dinkler

12. Einflusslinien für Weggrößen

Die Arbeitssätze nach Abschnitt 6 sind integrale Aussagen für das gesamte Tragwerk. Ergänzt man die Verschiebungsarbeiten nach Gleichung (6.3) um die Arbeiten entsprechend Abschnitt 7.2.3, so folgt
Dieter Dinkler

STATISCH UNBESTIMMTE SYSTEME

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13. Eigenschaften statisch unbestimmter Systeme

Bisher wurde das Trag- und Verformungsverhalten an statisch bestimmten Systemen untersucht sowie die Berechnungsverfahren für Schnittgrößen und Weggr ößen grundlegend entwickelt. Statisch bestimmte Systeme besitzen für die Baupraxis verschiedene Vor- aber auch viele Nachteile, sodass man sie dort vermeidet, wo man auch andere Bauweisen wählen kann.
Dieter Dinkler

14. Das Kraftgrößenverfahren

Die Zustandslinien von statisch unbestimmten Systemen können nicht allein mit den (bei ebenen Systemen) drei Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. Es werden zusätzliche Gleichungen benötigt, um die Gesamtbilanz
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15. Verallgemeinerung des Kraftgrößenverfahrens

In einem abgeschlossenen elastischen System gilt nach Abschnitt 6.2 sowohl für Eigen- als auch für Verschiebungsarbeiten
Dieter Dinkler

16. Berechnung von Weggrößen

Die Berechnung von Biegelinien von statisch unbestimmten Systemen ist – sofern man die M-Linie kennt – analog zu statisch bestimmten Systemen durchzuf ühren. Die Gesamtbiegelinie aus vorgegebenen Einwirkungen ist die Superposition der Teilbiegelinien aus Sehnenpolygon wS , der Einzelweggrößen w0(δ, ϑ) am Hauptsystem sowie der Verkrümmungen aus der Momentenlinie (ω-Tafeln) und aus Erwärmung (ω-Tafeln). Damit gilt
Dieter Dinkler

17. Das Drehwinkelverfahren (DV)

In vollständiger Analogie zum Kraftgrößenverfaren kann man ein Berechnungsverfahren für die Momentenlinie entwickeln, das mit unbekannten Weggrößen arbeitet, siehe System B in Abschnitt 13.2. Hierbei sind die Grundgleichungen wie folgt zu erfüllen.
Dieter Dinkler

18. Analogie zwischen Kraftgrößen- und Drehwinkelverfahren

Nachfolgend sind die Analogien bei der Berechnung der Momentenlinie mit dem Kraftgrößen- und dem Drehwinkelverfahren gezeigt. Ist die Momentenlinie bekannt können die Querkräfte, die Normalkräfte sowie die Biegelinie in einer Nachlaufrechnung bestimmt werden. Beide Verfahren sind völlig dual aufgebaut und unterscheiden sich nur in der Art und Weise, wie die Grundgleichungen erfüllt werden.
Dieter Dinkler

19. Einflusslinien statisch unbestimmter Systeme

Die Bedeutung von Einflusslinien für Weg- oder Kraftgrößen ist für statisch bestimmte Systeme in Abschnitt 9 sowie 12 erläutert.
Dieter Dinkler

SPANNUNGSTHEORIE II. ORDNUNG

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20. Stabtragwerke nach Theorie II. Ordnung

Stäbe unter hoher Längsbelastung können zur Seite ausweichen, wenn die Längsbelastung bestimmte Grenzwerte erreicht oder überschreitet. Bei perfekten, ideal geraden Stäben wird dies als Knicken bezeichnet. Knicken beschreibt einen Vorgang, bei dem sich das Tragverhalten des Stabes schlagartig verändert. Unterhalb der Knicklast trägt der Stab die Längsbelastung als Druckstab. Beim Knicken verkrümmt sich der Stab, sodass zusätzlich die Biegetragwirkung aktiviert wird. Dieser Vorgang tritt plötzlich und ohne Vorankündigung ein und ist in der Regel mit großen Verformungen verbunden. Bei der Bemessung knickgef ährdeter Stabtragwerke sind daher die Sicherheiten für
  • die Spannungen gegen Erreichen der zulässigen Spannungen,
  • die Stabilität gegen Erreichen der Knicklast und
  • die Gebrauchstauglichkeit gegen Erreichen großer Verformungen
Dieter Dinkler

FACHWERKMODELLE

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21. Fachwerkmodelle

Reale Tragwerke besitzen Ausdehnungen in allen drei Raumrichtungen. Wenn ein oder zwei Tragwerksabmessungen klein sind gegen die verbleibenden Abmessungen, kann man zur Vereinfachung der Berechnung Ersatzmodelle verwenden, bei denen das Trag- und Verformungsverhalten des gesamten Tragwerkkontinuums mit den Weg- und Schnittgrößen einer Referenzfläche oder -achse beschrieben wird.
Dieter Dinkler

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