1. Grundlagen der Kapitalmarkttheorie und des Portfoliomanagements

Fallen Dividenden an, reduziert sich der Aktienpreis entsprechend. Bei einem Kursindex wird nur die Preisänderung und nicht die Dividendenzahlung für die Berechnung des Indexstandes verwendet.

Neben Preisänderungen und Dividendenzahlungen fließen auch sonstige Einnahmen aus dem Halten von Aktien wie etwa Bezugsrechtserlöse in die Berechnung des Indexstandes ein.

Der SMI beinhaltet die 20 liquidesten Titel der Aktiengesellschaften mit der größten Kapitalisierung im Schweizer Aktienmarkt. Der DAX hingegen umfasst die 30 größten und umsatzstärksten Unternehmen, die an der Deutschen Börse in Frankfurt notiert sind. Beide Aktienindizes bilden das Segment der Blue Chips in ihren Ländern ab.

Der in den Medien dargestellte SMI ist ein Kursindex. Als Performanceindex wird der SMIC (SMI Cum Dividend) berechnet.

Vgl. Abschn. 1.3.1 für die Varianz und die Standardabweichung.

Benutzt man zum Beispiel den für die CFA®-Prüfungen zugelassenen Taschenrechner Texas Instrument BAII Plus, lässt sich die geldgewichtete Rendite wie folgt berechnen: CF, CF₀ = 1000, ±, ENTER, ↓ , C01 = 2000, ±, ENTER, ↓ , ↓ , C02 = 800, ENTER, ↓ , ↓ , C03 = 3185, ENTER, ↓ , ↓ , IRR, CPT.

Mit dem Texas Instrument BAII Plus lässt sich die geldgewichtete Rendite wie folgt berechnen: CF, CF₀ = 50, ±, ENTER, ↓ , C01 = 9, ±, ENTER, ↓ , ↓ , C02 = 13,5, ENTER, ↓ , ↓ , C03 = 3,4, ±, ENTER, ↓ , ↓ , C04 = 54,6, ENTER, ↓ , ↓ , IRR, CPT.

Für den Schätzfehler der erwarteten Rendite vgl. den Abschn. 3.​2.​1 über die Konstruktion der Effizienzkurve mit historischen Daten.

Das Quadrieren ist für die Berechnung der Varianz erforderlich, da die Abweichungen von der erwarteten Rendite positiv oder negativ sein können, was bei einer Addition der Streubreiten zu einer Varianz von null führen kann. Quadriert man hingegen die Streubreiten, erhält man positive Werte. Beispiel: Die erwartete Rendite einer Anlage ist 10 %. Es treten Renditen von 20 %, 10 % und 0 % auf. Die Streubreiten betragen demnach 10 %, 0 % und (−10 %), was zu einer Gesamtabweichung vom Erwartungswert von null führt. Dies entspricht aber nicht den Schwankungen um den Erwartungswert von +10 %, 0 % und (−10 %). Quadriert man hingegen die Streubreiten, erhält man positive Werte, die sich nach der gewichteten Addition durch die Wurzeloperation in die Standardabweichung transformieren lassen.

Vgl. z. B. Markowitz: „Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments“, S. 72 ff.

Die Quantität T − 1 ist auch als die Anzahl Freiheitsgrade (Degree of Freedom) bekannt, die für die Berechnung der Varianz der Stichprobe verwendet wird.

Das folgende Beispiel illustriert die additive Eigenschaft von stetigen Renditen: Y⁵ × Y⁴ = Y^5 + 4 = Y⁹.

Als Richtgröße gilt, dass die Volatilität mit nicht weniger als 24 Renditen zu rechnen ist, da sonst die statistische Relevanz der Risikogröße nicht gegeben ist.

Zum Beispiel kann die Volatilität mit der exponentiell geglätteten Mittelwertmethode bzw. dem Exponentially Weighted Moving Average Model (EWMA) berechnet werden. Dabei wird ein Zerfallsfaktor, der zwischen 0 und 1 liegt, verwendet. Dieser Faktor ist für die Zuordnung der Gewichte verantwortlich und nimmt ab, je älter die Renditebeobachtung ist. Im Modell fallen die Gewichte exponentiell.

Die Normalverteilung ist eine stetige Zufallsverteilung. Der Begriff der „Normalverteilung“ wurde vom Göttinger Mathematiker und Astronomen Carl Friedrich Gauss (1777–1827) geprägt. Daher wird für diese Verteilung im deutschsprachigen Raum oft der Begriff „Gaußsche Verteilung“ verwendet.

Für die Schiefe der Verteilung vgl. Abschn. 1.4.1.2 und für die Kurtosis der Verteilung vgl. Abschn. 1.4.1.3.

Eine Long-Put-Option stellt eine Verkaufsoption dar. Der Inhaber des gekauften Put hat das Recht, den zugrundeliegenden Basiswert (z. B. Aktie) zum Ausübungspreis zu verkaufen. Die Put-Option ist im Geld (in-the-money), wenn der Preis des Basiswertes unterhalb des Ausübungspreises liegt und es sich lohnt, die Option auszuüben. Sind der Preis des Basiswertes und der Ausübungspreis gleich, befindet sich die Option am Geld (at-the-money). Eine Put-Option ist aus dem Geld (out-of-the-money), wenn der Preis des Basiswertes höher als der Ausübungspreis ist. Bei Fälligkeit werden nur Optionen ausgeübt, die im Geld sind (ohne Berücksichtigung von Handelskosten), weil sie den Verlust der bezahlten Optionsprämie reduzieren oder einen Gewinn abwerfen.

Fällt zum Beispiel der Aktienpreis von CHF 100 auf CHF 90 (CHF 70), resultiert ein Verlust von CHF 10 (CHF 30). Der Verlust aus der Aktienposition wird durch den Gewinn von CHF 6 (CHF 26) bei der Long-Put-Option teilweise aufgefangen und beträgt CHF 4. Unabhängig um wie viel der Aktienpreis fällt, der Verlust wird nie größer als CHF 4 sein und der minimale Wert der Strategie beträgt mindestens CHF 96. Steigt hingegen der Aktienkurs auf CHF 110 (CHF 130), resultiert ein Gewinn von CHF 10 (CHF 30). Da die Long-Put-Option aus dem Geld liegt, ist sie bei Fälligkeit wertlos und wird nicht ausgeübt. Daher reduziert sich der Gewinn von CHF 10 (CHF 30) um die bezahlte Optionsprämie von CHF 4 auf CHF 6 (CHF 26).

Markowitz stellt in seiner Arbeit über die Portfoliotheorie die Semi-Varianz vor, um eine Alternative zur Varianz als Risikogröße aufzuzeigen. Allerdings verwendet er in seiner Portfoliotheorie die Varianz und nicht die Semi-Varianz, weil diese einfacher zu berechnen ist und für die Portfoliooptimierung geeignete statistische Eigenschaften aufweist. Vgl. Markowitz: „Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments“, S. 188 ff.

Unter Marktrisiko versteht man Verluste, die aufgrund von Preisänderungen von Aktien, Anleihen (bzw. Zinsen), Fremdwährungen und Rohstoffen entstehen. Besitzt man beispielsweise eine festverzinsliche Anleihe, dann führt ein Zinssatzanstieg zu einem Preisrückgang der Anleihe bzw. zu einem Verlust.

Die VAR-Berechnung für das Kreditrisiko und operationelle Risiko ist unter anderem aufgrund der Datenverfügbarkeit schwieriger als die Ermittlung des VAR für das Marktrisiko.

Ein parametrischer Ansatz unterstellt bei der Berechnung des VAR eine bestimmte Verteilung der Marktwertveränderungen des Portfolios (z. B. die Normalverteilung bei der Varianz-Kovarianz-Methode).

Zum Beispiel: Eine Verteilung hat eine erwartete Rendite von 7 % und eine Standardabweichung von 30 %. Möchte man die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass man eine Rendite von weniger als 10 % erhält, dann ist die Standardnormalvariable anhand der erwarteten Rendite von 7 % und der Standardabweichung von 30 % zu berechnen. Die Standardnormalvariable ist 0,10 [(0,10−0,07) / 0,30]. Nimmt man eine Standardnormalverteilungstabelle oder eine Spreadsheet Funktion von Microsoft Excel [STANDNORMVERT(0,10)], erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 0,5398. Demzufolge beträgt die Wahrscheinlichkeit 53,98 %, dass die Rendite weniger als 10 % ist.

Die Skalierung des VAR mit der Wurzel aus der Zeit (z. B. Tage, Wochen, Monate) und nicht mit der eigentlichen Zeit lässt sich aus der Statistik herleiten. In jedem Prozess (wie der Geometric Brownian Motion), bei dem die Ereignisse normalverteilt sind und unabhängig voneinander anfallen, nimmt die Varianz proportional zu der Anzahl der Ereignisse zu. Da die Standardabweichung aus der Wurzel der Varianz bestimmt wird, erfolgt die Anpassung der Haltedauer mit der Wurzel aus der Zeit.

Ein kohärentes Risikomaß muss die folgenden Eigenschaften aufweisen: Monotonie, Translationsinvarianz, positive Homogenität und Subadditivität. Aufgrund der verletzten Eigenschaft der Subadditivität ist der Value at Risk kein kohärentes Risikomaß. Vgl. diesbezüglich Artzner/Delbaen/Eber/Heath: „Coherent Measures of Risk“, S. 203 ff.

Vgl. den Abschn. 2.​6 über den Diversifikationseffekt.

Am 19. Oktober 1987 „Schwarzer Montag“ verlor der Dow-Jones-Index 22,6 % seines Wertes, was den stärksten prozentualen Tagesrückgang seit dem ersten Weltkrieg darstellte, als die New Yorker Börse nach Kriegsbeginn für Monate geschlossen war und bei Wiedereröffnung über 24 % nachgab. Angesteckt durch den Dow-Jones-Index brachen auch andere Börsen auf der Welt ein. So verlor der damalige Swissindex am Montag des 19. Oktobers 1987 11,3 % und am Dienstag aufgrund der versetzten Handelszeiten mit den USA weitere 3,7 %, während sich die Kurse an der Wall Street bereits wieder leicht erholten.

Für die Annahmen der Normalverteilung vgl. Abschn. 1.3.1.

Das erste zentrale Moment einer Verteilung ist der Erwartungswert, während das zweite zentrale Moment durch die Varianz gegeben ist. Höhere zentrale Momente sind die Schiefe und die Kurtosis der Verteilung.

Investoren bevorzugen Anlagen mit einer hohen erwarteten Rendite, mit niedriger Varianz, positiver Schiefe und niedriger Kurtosis.

Ibbotson und einige statistische Softwarelösungen wie etwa Microsoft Excel verwenden die sogenannte Excess Kurtosis (Kurtosis −3). Bei einer Normalverteilung ist die Excess Kurtosis null (3 − 3).

Vgl. Jarque/Bera: „A Test for Normality of Observations and Regression Residuals“, S. 163 ff.

Vgl. z. B. DeFusco/McLeavy/Pinto/Runkle: „Quantitative Methods for Investment Analysis“, S. 153.

Eine höhere risikoadjustierte oder überdurchschnittliche (abnormale) Rendite bedeutet, dass die erzielte Rendite größer ist als die aufgrund des Risikos der Anlage erwartete Rendite. Die risikogerechte erwartete Rendite kann zum Beispiel mit dem Capital Asset Pricing Model (CAPM) berechnet werden. Vgl. den Abschn. 3.​5 über das CAPM.

Vgl. Fama: „Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work“, S. 383 ff.

Vgl. z. B. Bessembinder/Chan: „Market Effficiency and the Returns to Technical Analysis“, S. 5 ff. und Fifield/Power/Sinclair: „An Analysis of Trading Strategies in Eleven European Stock Markets“, S. 531 ff.

Vgl. Fifield/Power/Sinclair: „An Analysis of Trading Strategies in Eleven European Stock Markets“, S. 531 ff.

Ein nicht erwarteter überraschend hoher Gewinn stellt eine gute Nachricht dar, sodass der Aktienkurs steigt. Ein überraschend niedriger Gewinn bzw. ein Verlust wird hingegen als eine schlechte Nachricht wahrgenommen und der Preis der Aktie fällt.

Vgl. Kap. 3 für das CAPM und das Marktmodell.

Vgl. z. B. Gan/Lee/Hwa/Zhang: „Revisiting Share Market Efficiency: Evidence from the New Zealand, Australia, US and Japan Stock Indices“, S. 996 ff. und Raja/Sudhahar/Selvam: „Testing the Semi-Strong Form Efficiency of Indian Stock Market with Respect to Information Content of Stock Split Announcements – A Study of IT Industry“, S. 7 ff.

Vgl. z. B. Rozeff/Zaman: „Market Efficiency and Insider Trading: New Evidence“, S. 25 ff.

Vgl. z. B. Malkiel: „Returns from Investing in Equity Mutual Funds 1971 to 1991“, S. 549 ff.

Vgl. z. B. Dyl: „Capital Gains Taxation and Year-End Stock Market Behavior“, S. 165 ff. und Roll: „Vas Ist Das?“, S. 18 ff.

Die verkauften Titel sind mehrheitlich Aktien von geringer Kapitalisierung und mit hoher Volatilität. Ebenfalls liegt ein Januar Effekt bei Anleihen vor. Dieser Effekt ist bei Anleihen mit einem niedrigen Rating am größten.

Für die Wertpapiermarktlinie vgl. den Abschn. 3.​5.​3.

Die empirischen Querschnittstests zeigen, ob risikoadjustierte Renditen in der Zukunft vorausgesagt werden können. Die Ergebnisse können entweder auf die Marktineffizienz (Preisanomalie) oder auf das verwendete Kapitalmarktmodell zurückgeführt werden. Ein Kapitalmarktmodell, welches das Risiko falsch misst, führt zu fehlerhaften risikoadjustierten Renditen.

Vgl. z. B. Fama/French: „Value versus Growth: The International Evidence“, S. 1975 ff.

Vgl. Banz: „The Relationship between Return and Market Value of Common Stocks“, S. 3 ff. und Reinganum: „Misspecification of Capital Asset Pricing: Empirical Anomalies Based on Earnings’ Yield’s and Market Values“, S. 19 ff.

Vgl. Fama/French: „Dissecting Anomalies“, S. 1653 ff. Der Größe-Effekt liegt nur bei Aktien mit einer Mikrokapitalisierung vor. Bei Aktien mit kleiner und großer Kapitalisierung besteht keine Preisanomalie.

Vgl. Brown/Kleidon/Marsh: „New Evidence on the Nature of Size-Related Anomalies in Stock Prices“, S. 33 ff.

Vgl. Dimson/Minio-Kozerski: „Closed-End Funds: A Survey“, S. 1 ff.

Vgl. Pontiff: „Closed-End Fund Premia and Returns Implications for Financial Market Equilibrium“, S. 341 ff.

Vgl. Jones/Rendleman/Latané: „Stock Returns and SUEs During the 1970’s“, S. 18 ff.

Vgl. z. B. Hanley: „The Underpricing of Initial Public Offerings and the Partial Adjustment Phenomenon“, S. 231 ff. und Ibbotson/Sindelar/Ritter: „The Market’s Problems with the Pricing of Initial Public Offerings“, S. 66 ff.

Ein Beispiel eines zu hohen Ausgabepreises ist die Emission der Facebook Aktien vom 18. Mai 2012. In den ersten drei Handelstagen ist die Aktie von USD 38 auf USD 31,12 gefallen, was einen Preisrückgang von rund 18 % darstellt.

Vgl. Ritter: „The Long-Run Performance of Initial Public Offerings“, S. 3 ff.

Über- und Unterreaktionen heben sich gegenseitig auf. Vgl. Fama: „Market Efficiency, Long-Term Returns, and Behavioral Finance“, S. 283 ff.

Behavioral Finance beschäftigt sich mit dem Verhalten von Individuen in wirtschaftlichen Situationen. Dabei werden Verhaltensweisen untersucht, die im Widerspruch zu den Modellannahmen wie etwa Risikoaversion stehen. Für eine Diskussion der Risikoaversion vgl. den Abschn. 2.​7.

Die Subprime-Krise gilt als Auslöser für die Finanz- und Wirtschaftskrise von 2008/2009. Portfolios von US-Subprime-Hypotheken wurden mit strukturierten Anleihen – sogenannten Collateralized Debt Obligations (CDOs) – verbrieft. Dabei wurde die Senior Tranche durch die Ratingagenturen mit der begehrten „AAA“-Bewertung versehen. Die verwendeten Bewertungsmodelle stützten sich auf historische Daten von US-Hypothekarmärkten ab, die nur wenige Jahre zurückreichten. Es wurden nur Zeiträume in den Modellen abgebildet, in denen es aufgrund stetig steigender Immobilienpreise und guter Konjunkturlage auch im Subprime-Segment kaum Ausfälle gegeben hat. Durch das gesellschaftliche irrationale Verhalten der Investoren war der Markt ineffizient und die verbrieften Anleihen (CDOs) waren überbewertet.

Vgl. Abschn. 1.4.2.1 über die Informationseffizienz der Märkte.

Der Handel findet grundsätzlich auf folgenden Märkten statt: quotegesteuerter Markt, auftragsgesteuerter Markt und Broker-Markt. In einem quotegesteuerten Markt handeln Investoren direkt mit den Händlern, während in einem auftragsgesteuerten Markt der Handel zwischen den Investoren (ohne Intermediation von Händlern) abgewickelt wird. In einem Broker-Markt hingegen stützt sich der Händler auf einen Broker ab, um eine Gegenpartei für den Handel zu finden.

Preise von Anleihen werden in Prozent des Nennwertes gehandelt. Zum Beispiel bedeutet ein Bid-Preis von 98,355 einen Preis von 98,355 % des Nennwertes.

Eine einfachere Alternative zum Implementation Shortfall stellt der Ansatz des volumengewichteten Durchschnittspreises (Volume Weighted Average Price) dar. Der volumengewichtete Durchschnittspreis (VGDP) eines Wertpapiers ist sein Durchschnittspreis während des Handelstages, der als Summe der volumengewichteten Auftragspreise berechnet wird. Zum Beispiel: Es werden während eines Handelstages zu unterschiedlichen Zeitpunkten Aktien von Delta gekauft: 500 Aktien zu einem Titelpreis von EUR 100, 600 Aktien zu einem Titelpreis von EUR 101 und 900 Aktien zu einem Titelpreis von EUR 103. Der VGDP beträgt demnach EUR 101,65 [(500 × EUR 100 + 600 × EUR 101 + 900 × EUR 103) / 2000]. Kauft man die 900 Aktien zu einem Preis von EUR 103 pro Titel, betragen die impliziten Handelskosten EUR 1215 [(EUR 103 − EUR 101,65) × 900]. Der Nachteil dieses Ansatzes besteht darin, dass der Händler den Zeitpunkt seiner Kauf- und Verkaufsaufträge mit der Höhe des VGDP abstimmen und so die impliziten Handelskosten beeinflussen kann.

Vgl. den Abschn. 3.​2 über das Marktmodell.

Vgl. Grable/Joo: „Environmental and Biopsychosocial Factors Associated with Financial Risk Tolerance“, S. 73 ff.

Vgl. Abschn. 1.2 über die Rendite.

In der Schweiz ist der Insidertatbestand im Schweizerischen Strafgesetzbuch geregelt (Art. 161 StGB). In Deutschland ist das Verbot des Insiderhandels im Wertpapierhandelsgesetz aufgeführt (§14 WpHG).

Im Rahmen dieses Lehrbuches ist die strategische Asset Allokation das Ergebnis der Anlagepolitik und daher nicht Bestandteil der Anlagepolitik.

Vgl. zum Beispiel den Abschn. 2.​4 über die Konstruktion von effizienten Portfolios mit historischen Renditewerten (Markowitz-Modell).

Vgl. den Abschn. 2.​2 über die Bestimmung der erwarteten Rendite und des Risikos einer risikobehafteten Anlage.

Vgl. den Abschn. 2.​6 über den Diversifikationseffekt.

Zu Beginn der 1990er-Jahre zählte man Immobilien zusammen mit Aktien und Anleihen zu den traditionellen Anlageklassen. Heute werden Immobilien zusammen mit Hedgefonds, Private Equity und Rohstoffen als alternative Anlagen bezeichnet.

Vgl. Solnik/McLeavey, „International Investments“, S. 471 ff.

Konstruiert man das optimale Portfolio bzw. die strategische Asset Allokation mit dem Markowitz-Modell (Rendite-Varianz-Methode), unterstellt man, dass die Renditen normalverteilt sind. Bei Anlagen in aufstrebenden Märkten stellt diese Annahme ein Problem dar.

Vgl. den Abschn. 2.​7.​3 über die Nutzentheorie und Indifferenzkurven.

Vgl. den Abschn. 3.​2 über das Marktmodell.

Vgl. den Abschn. 2.​7.​4 über das optimale risikobehaftete Portfolio.

Für eine Diskussion über die verschiedenen Verfahren zur Konstruktion der Effizienzkurve vgl. den Abschn. 3.​3 über die Instabilität der Effizienzkurve.

Vgl. Abschn. 1.4.2.4 über die Marktliquidität und Handelskosten.

Die Summe der Gewichte entspricht 1, sodass die Differenz zwischen der Summe der Gewichte im Portfolio und der Benchmark null ist: \( {\displaystyle {\sum}_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}}\left({\mathrm{w}}_{\mathrm{Pi}}-{\mathrm{w}}_{\mathrm{Bi}}\right)=0 \). Multipliziert man die Differenz der Gewichte mit der Benchmarkrendite erhält man null: \( {\displaystyle {\sum}_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}}\left({\mathrm{w}}_{\mathrm{Pi}}-{\mathrm{w}}_{\mathrm{B}\mathrm{i}}\right){\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}{\displaystyle {\sum}_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{N}}}\left({\mathrm{w}}_{\mathrm{Pi}}-{\mathrm{w}}_{\mathrm{B}\mathrm{i}}\right)=0 \).

Der SPI (Swiss Performance Index) wird beispielsweise in folgende Sektoren bzw. Branchen aufgeteilt (Branchengewichte per 31. Dezember 2013): Gesundheit (33,2 %), Konsumgüter (25,3 %), Finanzen (19,3 %), Industrie (13,0 %), Grundstoffe (4,4 %), Öl und Gas (2,1 %), Dienstleistungen (1,1 %), Telekommunikation (0,9 %), Technologie (0,7 %) und Versorgung (0,1 %).