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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. Grundlagen

verfasst von : Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Erschienen in: Grundkurs Analysis und Lineare Algebra

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Dieses einführende Kapitel widmet sich einigen grundlegenden, teilweise aus der Schule bekannten Begriffen, Formulierungen und Sachverhalten aus der Aussagenlogik, der naiven Mengenlehre und den Beziehungen zwischen Mengen. Im Vordergrund stehen dabei die Eigenschaften von Relationen, insbesondere von Äquivalenzrelationen und Abbildungen. Viele der Beispiele greifen auf die zunächst als geläufig vorausgesetzte Menge der natürlichen Zahlen sowie auf die detailliert eingeführte Menge der ganzen Zahlen zurück. Die axiomatische Einführung der natürlichen Zahlen wird am Ende des Kapitels nachgeholt.
Fußnoten
1
tertium non datur...ein Drittes ist nicht gegeben (lateinisch).
 
2
In einigen Literaturstellen findet sich statt der Bezeichung \(\lnot A\) für die Negation auch \(\overline{A}\). Dies soll hier vermieden werden, um einer funktionellen Überlastung des oberen Querstriches entgegenzuwirken.
 
3
In der Literatur wird auch das Symbol \(X \subseteq Y\) benutzt, um hervorzuheben, dass der Fall \(X=Y\) zugelassen ist (vgl. mit dem nachfolgenden Satz 1.5(i)). Ist \(X \subset Y,\) aber definitiv \(X \ne Y,\) so kann dies mittels der Zusatzangabe \(X\ne Y\) ausgedrückt werden.
 
4
Hier wird also die Tautologie \((x\in X \wedge x\notin Y) \implies x\in X\) benutzt, siehe Abschn. 1.1.
 
5
Daher darf die Klammerung auch entfallen, d. h. \(X \cup Y \cup Z\) bzw. \(X \cap Y \cap Z\) geschrieben werden.
 
6
An dieser Stelle wird vorausgesetzt, dass die Menge \(\mathbb {N}:= \{ 1, 2, 3, 4, \dots \}\) der natürlichen Zahlen intuitiv bekannt ist. In Abschn. 1.5 werden die natürlichen Zahlen axiomatisch erklärt.
 
7
wie es überaus wünschenswert ist!
 
8
Alternative Formulierungen: „wenn \((y,x) \notin R\) oder \(x = y\) für alle \((x,y) \in R\) gilt“ oder „wenn für alle \(x,y \in X\) mit \(x \ne y\) höchstens eine der Beziehungen \((x,y) \in R\) oder \((y,x)\in R\) gilt“.
 
9
oder auch (partielle) Ordnung.
 
10
oder auch vollständige bzw. lineare Ordnung.
 
11
Soll die Äquivalenz zweier Aussagen A und B,  also \(A \Longleftrightarrow B\) gezeigt werden, so wird häufig der Beweis in die beiden Teilschritte \(A \Longrightarrow B\) (Hinlänglichkeit) und \(B \Longrightarrow A\) (Notwendigkeit) aufgeteilt, siehe dazu Abschn. 1.1. Um den gerade bearbeiteten Teilschritt hervorzuheben, wird „\(\Longrightarrow \)“ für den Schritt \(A \Longrightarrow B\) und „\(\Longleftarrow \)“ für \(B \Longrightarrow A\) geschrieben.
 
12
Zum Umgang mit rationalen Zahlen siehe die Beispiele 2.​23(iii) und 2.​31(i).
 
13
Am besten wird \(g \circ f\) als „g nach f“ gelesen, denn g wird nach f ausgeführt.
 
14
Oder aus \(x_1 \ne x_2\) folgt stets \(f(x_1) \ne f(x_2)\).
 
15
In der Literatur werden häufig sowohl die Umkehrabbildung als auch die Urbildmenge mit \(f^{-1}\) bezeichnet. Aber Achtung: Wie es die Namen schon besagen, handelt es sich um verschiedene Objekte – eine Abbildung bzw. eine Menge.
 
16
„Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“ (Leopold Kronecker).
 
17
Man darf sich diese Definition nicht als sukzessives Abarbeiten der Rekursion (A.2) vorstellen, sondern sie erfolgt simultan im selben Moment.
 
18
übliche Kurzschreibweise für den Induktionsanfang, hier \(n=n_0=5\).
 
19
Übliche Kurzschreibweise für den Induktionsschritt: Die Induktionsannahme (IA) ist \(\forall k\in \{1,\ldots ,n\}: A(k)\) und wird nicht mehr hingeschrieben, zu zeigen ist \(A(fn+1)\) unter der Induktionsannahme.
 
20
Die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb {R}\) wird später noch eingeführt werden, siehe Satz 2.​58.
 
21
Dieses Axiom wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert und wird heutzutage von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker (so auch hier) akzeptiert und verwendet. Es gibt allerdings auch Mathematiker, die das Auswahlaxiom nach wie vor ablehnen und nicht verwenden.
 
Metadaten
Titel
Grundlagen
verfasst von
Lutz Angermann
Bernd Mulansky
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65596-2_1

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