Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Das vorliegende Lehrbuch ist eine Einführung in die globale Optimierung, die mathematische Sachverhalte einerseits stringent behandelt, sie aber andererseits auch sehr ausführlich motiviert und mit 85 Abbildungen illustriert. Das Buch richtet sich daher nicht nur an Mathematiker, sondern auch an Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaftler, die mathematisch fundierte Verfahren in ihrem Gebiet verstehen und anwenden möchten.

Mit fast zweihundert Seiten stellt das Buch genügend Auswahlmöglichkeiten zur Verfügung, um es als Grundlage für unterschiedlich angelegte Vorlesungen zur globalen Optimierung zu verwenden. Die ausführliche Behandlung der globalen Lösbarkeit von Optimierungsproblemen unter anwendungsrelevanten Voraussetzungen setzt dabei einen neuen Akzent, der den Bestand der bisherigen Lehrbücher zur Optimierung bereichert. Anhand von Theorie und Algorithmen der glatten konvexen Optimierung verdeutlicht das Buch, dass die globale Lösung einer in der Praxis häufig auftretenden Klasse von Optimierungsproblemen effizient möglich ist, während es für die schwerer handhabbaren nichtkonvexen Probleme ausführlich die Ideen von Branch-and-Bound-Verfahren entwickelt.

Die vorliegende zweite Auflage wurde überarbeitet und um einige Passagen ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Zusammenfassung
Das vorliegende einführende Kapitel motiviert zunächst die grundlegende Terminologie und Notation von Optimierungsproblemen anhand diverser Beispiele. Danach widmet es sich ausführlich der Frage, unter welchen Voraussetzungen Optimierungsprobleme überhaupt lösbar sind und welche Arten von Unlösbarkeit auftreten können. Abschließend stellt es einige Rechenregeln und Umformungen für Optimierungsprobleme bereit, die im Rahmen dieses Lehrbuchs eine Rolle spielen.
Oliver Stein

Kapitel 2. Konvexe Optimierungsprobleme

Zusammenfassung
Nach einer Einführung in die Grundlagen konvexer Mengen und Funktionen beweisen wir die C\(^{1}\)-Charakterisierung von Konvexität und drücken damit die Menge der globalen Minimalpunkte von unrestringierten Optimierungsproblemen als Lösungsmenge einer Gleichung aus. Mit der C\(^{2}\)-Charakterisierung von Konvexität leiten wir außerdem eine handliche Möglichkeit dafür her, die Konvexität von Funktionen zu überprüfen. Optimalitätsbedingungen und Abschätzungen des Optimalwerts für restringierte konvexe Optimierungsprobleme fußen auf Dualitätsaussagen, die wir anschließend beweisen. Danach diskutieren wir eine Reihe algorithmischer Ansätze für konvexe Optimierungsprobleme, deren effizienteste ebenfalls auf der expliziten Ausnutzung von Dualität basieren.
Oliver Stein

Kapitel 3. Nichtkonvexe Optimierungsprobleme

Zusammenfassung
Gängige Verfahren zur Identifizierung globaler Optimalpunkte und -werte nichtkonvexer Optimierungsprobleme basieren auf Branch-and-Bound-Ideen. Das vorliegende Kapitel präsentiert als exemplarisches Branch-and-Bound-Verfahren das \(\alpha \)BB-Verfahren. Eine Möglichkeit zur effizienten Berechnung der dort erforderlichen Unterschranken basiert auf der konvexen Relaxierung nichtkonvexer Mengen und Funktionen, wobei die \(\alpha \)BB-Methode dazu die Technik der Intervallarithmetik nutzt. Die Branch-and-Bound-Techniken diskutiert das Kapitel in einem ersten Schritt nur für den einfachsten Fall von Problemen mit boxförmiger zulässiger Menge, bevor die notwendigen Modifikationen für den Fall konvexer zulässiger Mengen und schließlich für allgemeine nichtkonvexe Probleme betrachtet werden. Abschließend thematisiert das Kapitel einige Möglichkeiten, in Branch-and-Bound-Verfahren neben der Konvexität der definierenden Funktionen zusätzlich oder alternativ ihre Lipschitz-Stetigkeit auszunutzen.
Oliver Stein

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise