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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch gibt eine verständliche Einführung in die parametrische Optimierung, die mathematische Sachverhalte einerseits stringent behandelt, sie aber andererseits auch sehr ausführlich motiviert und mit vielen Abbildungen illustriert. Die vorwiegend geometrische Herleitung von zentralen Stabilitätsresultaten setzt dabei einen neuen Akzent, der den Bestand der bisherigen Lehrbücher zur parametrischen Optimierung bereichert. Die Stabilitäts- und Sensitivitätsergebnisse werden nicht nur mit speziellen ökonomischen Fragestellungen illustriert, sondern auch auf größere Problemklassen wie Nash-Spiele und die semi-infinite Optimierung angewendet, die in den Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften wichtige eine Rolle spielen.

Das Buch richtet sich daher nicht nur an Mathematiker, sondern auch an Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaftler, die mathematisch fundierte Verfahren in ihrem Gebiet verstehen und anwenden möchten. Für Dozenten stellt das Buch genügend Auswahlmöglichkeiten zur Verfügung, um es als Grundlage für unterschiedlich angelegte Vorlesungen zur parametrischen Optimierung zu verwenden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführende Beispiele

Zusammenfassung
In diesem Kapitel illustrieren Beispiele einige grundsätzliche Fragestellungen der parametrischen Optimierung, ohne dass die mathematischen Begriffe bereits rigoros eingeführt werden. Wir wiederholen zunächst das Konzept der Sensitivitätsanalyse aus der linearen Optimierung und arbeiten dabei drei zentrale Fragen heraus. Sie treten im Laufe dieses Lehrbuchs immer wieder auf, so auch in Hotellings Lemma, das wir als mikroökonomische Anwendung der parametrischen Optimierung vorstellen. Eine vierte zentrale Frage spielt beispielsweise bei Konvergenzaussagen zu Algorithmen der nichtlinearen Optimierung eine wesentliche Rolle. Zudem beleuchten wir die parametrischen Aspekte von Dekompositionsverfahren, robusten und semi-infiniten Optimierungsproblemen, Bilevelproblemen, Nash-Spielen und der Mehrzieloptimierung. Dass sich die erwähnten zentralen Fragen nicht ohne Weiteres so beantworten lassen, wie man es vielleicht erwarten würde, zeigt eine Reihe einfacher Beispiele.
Oliver Stein

Kapitel 2. Sensitivität

Zusammenfassung
Das vorliegende Kapitel bietet Antworten auf die ersten drei der in Kap. 1 formulierten zentralen Fragen. Dazu geben wir für ein allgemeines parametrisches Minimierungsproblem zunächst Bedingungen an, unter denen ein globaler Minimalpunkt eines nominalen Problems unter hinreichend kleinen Störungen des Parameters eindeutig von ihm abhängt. Dieselben Bedingungen implizieren auch die Differenzierbarkeit der Minimalpunktfunktion sowie die Differenzierbarkeit der Minimalwertfunktion, und wir können die Ableitungen am nominalen Parameter explizit angeben. Als grundlegend erweist sich dabei das Konzept des nichtdegenerierten kritischen Punkts, da es die Anwendung des Satzes über implizite Funktionen ermöglicht. Als zentrale Ergebnisse geben wir Umhüllungssätze an, die es beispielsweise erlauben, Hotellings Lemma zu begründen und das Konzept von Schattenpreisen aus dem linearen auf den nichtlinearen Fall zu übertragen.
Oliver Stein

Kapitel 3. Stabilität

Zusammenfassung
Das vorliegende Kapitel leitet Bedingungen her, die die Stetigkeit der Minimalwertfunktion und der Minimalpunktabbildung garantieren. Damit können wir nicht nur die vierte zentrale Frage beantworten, sondern die durch Stetigkeit garantierte Stabilität eines Optimierungsproblems unter Parameterstörungen spielt auch eine wichtige Rolle bei der numerischen Lösung parameterfreier Optimierungsprobleme. Außerdem benötigen wir solche Stetigkeitsresultate bei der Untersuchung von semi-infiniten Problemen und Nash-Spielen, und sie ermöglichen die Lockerung der für Sensitivitätsresultate zuvor gestellten Nichtdegeneriertheitsbedingungen.
Oliver Stein

Kapitel 4. Anwendungen

Zusammenfassung
In den vorausgegangenen Kapiteln haben wir gesehen, dass die parametrische Optimierung Ergebnisse erlaubt, die auf der Beantwortung von vier zentralen Fragen basieren, wie Hotellings Lemma, die Berechnung von Schattenpreisen oder die Konvergenz numerischer Verfahren der parameterfreien nichtlinearen Optimierung. Darüber hinaus liefert sie aber auch Lösungsansätze für ganze Klassen von Optimierungsproblemen, die in den Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften eine wichtige Rolle spielen. Wir diskutieren abschließend zwei solche Anwendungen, nämlich die semi-infinite Optimierung und Nash-Spiele. Als eine numerische Anwendung gehen wir außerdem beispielhaft auf die Ideen von Homotopieverfahren ein.
Oliver Stein

Kapitel 5. Lösungen ausgewählter Übungen

Zusammenfassung
Dieses Kapitel stellt Lösungen einiger der im Text eingestreuten Übungsaufgaben zur Verfügung, die zum Verständnis anderer dargestellter Resultate wesentlich sind.
Oliver Stein

Backmatter

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