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2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Gruppen von Möbiustransformationen

verfasst von : Ehrhard Behrends

Erschienen in: Parkettierungen der Ebene

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Auszug

Die Gesamtheit aller Möbiustransformationen bildet eine Gruppe. In gewisser Weise spielen sie für \(\mathbb{C}\) die gleiche Rolle wie die Bewegungen der Ebene für \(\mathbb{R}^{2}\) aus dem ersten Teil. …

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Fußnoten
1
Übrigens ein mathematischer Ur-Ur-…-Urgroßvater des Autors.
 
2
\(\mathbb{F}\) ist also der Abschluss des Inneren von \(\mathbb{F}\); solche Mengen heißen regulär abgeschlossen.
 
3
Es folgt übrigens leicht aus Stetigkeitsgründen: Ist \(M(\mathbb{U})=\mathbb{U}\), so ist \(|M(z)|=1\) für jedes \(z\) mit \(|z|=1\). Und aus \(M(\mathbb{H})=\mathbb{H}\) folgt \(M(\mathbb{R}\cup\{\infty\})=\mathbb{R}\cup\{\infty\}\).
 
4
Er hat sie allerdings nie veröffentlicht, da er den Mathematikern seiner Zeit nicht zutraute, derart revolutionäre neue Entwicklungen zu akzeptieren.
 
5
Alle auftretenden Funktionen sollen stückweise glatt sein.
 
6
Im zweiten Fall ist eigentlich, genau genommen, die Faktorgruppe \(PSL(2,\mathbb{Z})=SL(2,\mathbb{Z})/\{\pm\mathrm{Id}\}\) relevant.
 
7
Unter „Kreisen“ verstehen wir hier die ganzen Kreisscheiben, also nicht nur den Rand.
 
8
Je nachdem, welcher Punkt aus \(K_{1}\) nach \(\infty\) abgebildet wird, hat man noch einen weiteren Wunsch frei.
 
9
Die Kreise \(D_{c_{1},\ldots,c_{k}}\) sind eingefärbt worden.
 
10
\(K_{z,r}\) bezeichnet den Kreis mit dem Mittelpunkt \(z\) und dem Radius \(r\)
 
11
Im Buch von Mumford et al. heißen sie „kissing Schottky disks“.
 
12
Der Kommutator zweier Elemente \(x,y\) in einer Gruppe ist das Element \(xyx^{-1}y^{-1}\). Er ist ein Maß dafür, ob \(x,y\) kommutieren.
 
13
Wie man unseren Wunschzettel erfüllen kann, wird im nächsten Abschnitt diskutiert werden.
 
14
Ich habe es aus dem Buch von Mumford et al., S. 170, übernommen.
 
15
Zur Erinnerung: \(z_{0}\) heißt Häufungspunkt einer Teilmenge \(D\) von \(\mathbb{C}\), wenn für jedes \(\varepsilon> 0\) ein \(z\in D\) mit \(0<|z_{0}-z|\leq\varepsilon\) existiert. Die Gesamtheit der Häufungspunkte einer Menge ist stets abgeschlossen.
 
16
Wie man etwas mehr erreichen kann, wird im Buch von Ford beschrieben
 
17
Damit ist die Frage allerdings noch nicht beantwortet, ob durch \(a\) und \(b\) auch eine diskrete Gruppe erzeugt wird und man deswegen mit einer interessanten Limesmenge rechnen kann. Das muss im Einzelfall immer gesondert nachgeprüft werden.
 
18
Explizit heißt das \(C=\bigl(s(1-s)t_{a}^{2}-1\bigr)/B\) und \(G=\bigl(t(1-t)t_{b}^{2}-1\bigr)/F\).
 
19
Im Buch von Mumford et al. wird sie Jørgensen zugeschrieben.
 
Metadaten
Titel
Gruppen von Möbiustransformationen
verfasst von
Ehrhard Behrends
Copyright-Jahr
2019
Buch
Parkettierungen der Ebene

Print ISBN: 978-3-658-23269-6

Electronic ISBN: 978-3-658-23270-2

Copyright-Jahr: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-23270-2_6