Halbeinfache komplexe Lie-Algebren

Die Klassifizierung der Darstellungen der in der Überschrift gennannten Lie- Algebren ist ein besonders eindrucksvolles Beispiel der Nützlichkeit und Effektivität der „infinitesimalen“ Methode in der Gruppentheorie. Wir beginnen dieses Kapitel mit einer ausführlichen Erläuterung des „Abstiegs“ von der Darstellungstheorie linearer Gruppen zu der ihrer Lie-Algebren und deren Komple- xifizierungen; m.a.W. der Injektivität der Abbildung D(G, V) → D((LG)_ℂ, V), ρ ↦ Lρ von der Menge der Darstellungen der Gruppe G auf V in die Menge der Darstellungen der komplexen Lie-Algebra (LG)_ℂ auf V. Die Bijektivität dieser Abbildung im Fall, daß G einfach zusammenhängend ist, ist eine der Grundlagen für den Weyischen Unitär-Trick, mit dem die vollständige Reduzibilität der halbeinfachen Lie-Algebren und ihrer Gruppen bewiesen wird (§1.4).