Herleitungen

Zu beachten ist, dass die Integrationsvariable \(z\) nicht von \(t\) abhängt, was auf \(\frac{\partial z}{\partial t}=0\) führt. Deshalb musste hier auch keine neue Variable \(\tilde{z}\) eingeführt werden.

Im Spatprodukt dürfen die Vektoren zyklisch vertauscht werden, sodass man die beiden gleichen Vektoren ins Kreuzprodukt ziehen kann. Das Kreuzprodukt zweier gleicher Vektoren ist aber stets gleich null, sodass auch das Spatprodukt verschwindet.

Hierbei ist \(\alpha\) durch \(p\) zu ersetzen.

Die Anwendung der Regel, dass man das Produkt einer Determinante mit einem Faktor bilden darf, indem man eine beliebige Spalte mit diesem Faktor multipliziert, ist noch so zu verallgemeinern, dass sie auch dann gilt, wenn der Faktor durch die Summationskonvention eine Summation auslöst. Diese Verallgemeinerung lässt sich ohne Verwendung der Summationskonvention wie folgt durchführen: Hierbei wurde angenommen, dass sowohl der Faktor \(a_{i}\) als auch die \(k\)-te Spalte der Determinante von \(i\) abhängen. Im ersten Schritt wurde dieser Faktor in die \(k\)-te Spalte hineingezogen, was zweifellos erlaubt ist, da erst nachträglich über \(i\) summiert wird. Durch diesen ersten Schritt entsteht offenbar eine Summe von Determinanten, die sich nur durch eine einzige Spalte, nämlich die \(k\)-te, voneinander unterscheiden. Bekanntlich darf man eine solche Summe durch eine einzige Determinante ersetzen, wenn man als \(k\)-te Spalte die Summe der \(k\)-ten Spalten der Einzeldeterminanten verwendet. Dies wurde im zweiten Schritt durchgeführt. Mithilfe der Einstein’schen Summationskonvention lässt sich der Schritt vom ursprünglichen Ausdruck zum letzten wie folgt schreiben: Obwohl also über \(i\) summiert wird, lässt sich \(a_{i}\) wie ein gewöhnlicher Faktor in eine beliebige Spalte der Determinante hineinziehen.

Hier und im Folgenden werden mehrfach Gleichungen der Form \(A^{2}+B^{2}=C^{2}\) durch Ansätze vom Typ \(A=C\;\cos\varphi\) und \(B=C\;\sin\varphi\) gelöst, wobei \(A^{2}\) bzw. \(B^{2}\) aus mehreren Summanden bestehen können.