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Erschienen in:

2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Heurismen der Induktion

verfasst von : Wolfgang Schwarz

Erschienen in: Problemlösen in der Mathematik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Bei der in Kap. 1 vorgenommenen Behandlung von Heurismen des mathematischen Problemlösens stand das „Problemlösen im engeren Sinne“ im Vordergrund. Unter dem uniformisierenden Aspekt der Variation wurde eine Systematik von Problemlösestrategien vorgestellt, die im Einzelnen bei der Lösung konkret vorgegebener Probleme eingesetzt und erläutert wurden. In Kap. 2 geht es nun um Denkmuster und Strategien, die der induktiven Methode zuzurechnen sind.

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Nächstes Kapitel Heurismen der Reduktion

Pólya, G: Mathematik und plausibles Schließen, Band 1. Birkhäuser, Basel (1962).

Obgleich Pólya mehrfach darauf hinweist, dass es sich beim „plausiblen Schließen“ nicht um ein folgerichtiges Schließen im deduktiven Sinne handelt, scheint es Missverständnisse hinsichtlich des formallogischen Wertes seiner „Regeln des plausiblen Schließens“ zu geben.

inductio (lat.): das Hineinführen.

Vertritt man wie Imre Lakatos (1922–1974) den mathematikphilosophischen Standpunkt des Quasi-Empirismus, der den Dogmatismus undefinierter Grundbegriffe ablehnt und den Axiomen einer mathematischen Theorie allenfalls Erklärungskraft, niemals aber Beweiskraft für die aus ihnen deduzierten Sätze zubilligt, dann existiert auch in der Mathematik nur Mutmaßlichkeit, jedoch keine gesicherte Wahrheit. Positiv gesehen: Mathematische Forschung produziert relative Wahrheiten, also Wahrheiten im Bezug auf ein Axiomensystem.

Es gilt \(7\mid n\) genau dann, wenn \(7\mid Q_{3}^{\prime\prime}(n)\), wobei \(Q_{3}^{\prime}(n)\) die alternierende Quersumme dritter Stufe von \(n\) in dezimaler Zifferndarstellung bezeichnet.

„Relativ“ wenige, denn es gibt unendlich viele Zahlen dieser Art!

Natürlich wären auch andere Beobachtungen denkbar – es handelt sich um eine offene Problemstellung.

Benannt nach Blaise Pascal (1623–1662).

Man spalte mit \(p\) den kleinsten aller Primteiler von \(z\) ab; weil \(z\) zusammengesetzt ist, gilt \(p\neq z\). Als Komplementärteiler von \(z\) bezüglich \(p\) ergibt sich dann eine von 1 verschiedene natürliche Zahl, die ungerade sein muss, weil \(z\) ungerade ist.

Mit \([\frac{j-1}{3}]\) wird die größte ganze Zahl \(\leq\frac{j-1}{3}\) bezeichnet; allgemein definiert \([x]\) den ganzzahligen Anteil von \(x\).

Benannt nach Adrien-Marie Legendre (1752–1833).

Wegen \(\lim_{i\to\infty}q^{i}=\infty\) ist \(0<\frac{m}{q^{i}}<1\) für \(i\geq i_{0}=i_{0}(q)\) und deshalb \([\frac{m}{q^{i}}]=0\) für fast alle \(i\in\mathbb{N}\).

Unabhängig von der Wahlentscheidung der Kandidatin existiert mindestens eine andere Tür mit Ziege dahinter!

Auch ohne Kenntnis bedingter Wahrscheinlichkeiten ist dies einsichtig, wenn man bedenkt, dass die Entscheidung, das Tauschangebot anzunehmen, genau dann falsch ist, wenn man ursprünglich die richtige der drei Türen gewählt hatte – Letzteres geschah mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{3}\).

Intuitiv würde man vielleicht vermuten, dass es keine Rolle spielt, ob man das Tauschangebot annimmt oder nicht; hinter einer von zwei verbleibenden Türen ist der Preis, also stehen die Chancen 50:50, dass es sich um die Tür handelt, die man ausgewählt hat!?

Wahrscheinlich ursprünglich Ostomachion; man muss davon ausgehen, dass der Titel bei der Überlieferung verstümmelt wurde.

Beim TSP geht es darum, eine Rundreise durch \(n\) Städte so zu planen, dass ein bestimmter Faktor (Reisezeit, Distanzen, …) minimiert wird.

Etwa in Russel/Norvig: Artificial Intelligence: A Modern Approach. Prentice Hall (2003).

König, H: Einige für den Mathematikunterricht bedeutsame heuristische Vorgehensweisen. MU 38, Heft 3 (1992).

Nachzulesen in einem Artikel von Bernd Zimmermann aus Glatfeld, M.: Finden, Erfinden, Lernen: Zum Umgang mit Mathematik unter heuristischem Aspekt. Verlag P.Lang, Frankfurt (1990).

Benannt nach dem hellenistischen Mathematiker Diophant von Alexandria, der vermutlich um 250 n. Chr. lebte und dessen „Arithmetica“ im 17. Jahrhundert Pierre de Fermat zu interessanten zahlentheoretischen Studien anregte. Auf dem Rand seiner Diophant-Ausgabe notierte Fermat, dass er die Unlösbarkeit der Gleichung \(x^{n}+y^{n}=z^{n}\) für \(n\geq 3\) im Bereich der natürlichen Zahlen beweisen könne, aber der Buchrand zu wenig Platz für diesen Beweis biete – der von Andrew Wiles 1995 in den Annals of Mathematics publizierte Beweis des Satzes von Fermat füllte am Ende insgesamt 139 Buchseiten.

Jede \(6\)-Teilmenge \(B\) von \(A_{9}\) repräsentiert genau \(6\cdot 3+1=19\) Mengen aus \({\cal P}_{6}(A_{9})\).

Das englische „greedy“ bedeutet „gierig“. Greedy-Strategien bestehen darin, sich in jedem einzelnen Schritt stets für diejenige Möglichkeit zu entscheiden, die adhoc den größten Fortschritt verspricht.

Diese Ungleichung geht auf ein anderes Mitglied der schweizer Mathematiker-Dynastie, nämlich auf Jakobs jüngeren Bruder Johann Bernoulli (1667–1748) zurück.

In jedem angeordneten Körper \((K,+,\cdot,\leq)\) sind das Supremumsaxiom („Jede nicht-leere, nach oben beschränkte Teilmenge von \(K\) besitzt ein Supremum in \(K\)“) und das Monotonieaxiom („Jede nach oben beschränkte, monoton wachsende Folge von Elementen aus \(K\) hat in \(K\) einen Grenzwert“) äquivalent. Beide beschreiben sowohl die Vollständigkeit von \(K\) als auch die Archimedizität von \(K\), welche sich getrennt durch das Intervallschachtelungsaxiom („Jede Intervallschachtelung in \(K\) besitzt einen Kern in \(K\)“) und das Archimedische Axiom („Für alle \(a,b\in K\) mit \(0_{K}<a<b\) gibt es ein \(n\in\mathbb{N}\) mit \(na> b\)“) charakterisieren ließen. Umgekehrt kann man unter dem Postulat der Axiomengruppe „Intervallschachtelungsaxiom und Archimedisches Axiom“ auf die Gültigkeit von Monotonieaxiom und Supremumsaxiom schließen.

In der Antike war man bemüht, krummlinig begrenzte Flächen mit Zirkel und Lineal in flächeninhaltsgleiche Quadrate zu verwandeln; daher hat sich damals für Flächeninhaltsbestimmungen der Name „Quadratur“ durchgesetzt.

Hischer / Scheid: Grundbegriffe der Analysis: Genese und Beispiele aus didaktischer Sicht. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (1995).

Damit meint Toeplitz das Archimedische Axiom.

Die stetige Funktion \(|f|\) nimmt auf dem Kompaktum \([a,b]\) ihr Maximum an.

Zielführend ist in den meisten Grenzbetrachtungen für Integralfolgen im Kontext gleichmäßiger Konvergenz eine Standard-Abschätzung vom Typ \(|\int_{a}^{b}h(x)\,dx|\leq\int_{a}^{b}|h(x)|\,dx\leq(b-a)\cdot\lVert{h}\rVert_{[a,b]}\), wobei \(\lVert{h}\rVert_{[a,b]}:=\sup\{|h(x)|\ |\ x\in[a,b]\}\) die Supremumsnorm von \(h\) auf \([a,b]\) bezeichnet.

Es gibt viele verschiedene Versionen des Cauchyschen Integralsatzes, die sich mehr in ihrem topologischen als in ihrem analytischen Inhalt unterscheiden. Die hier zitierte Form ist als Cauchyscher Integralsatz für Rechtecke bekannt und entspricht den topologischen Bedingungen in der Originalarbeit von Cauchy aus dem Jahr 1825.

Ein geschlossener Integrationsweg in \(G\) ist durch eine stückweise stetig differenzierbare Funktion \(\gamma\colon[a,b]\longrightarrow G\) mit \(\gamma(a)=\gamma(b)\) gegeben, wobei \([a,b]\subset\mathbb{R}\) ein kompaktes Intervall ist. Die Bildmenge \(\operatorname{Sp}\gamma:=\gamma([a,b])\subset G\) wird als die Spur von \(\gamma\) bezeichnet; tritt eine Teilmenge \(M\subset\mathbb{C}\) als Spur eines Integrationsweges \(\gamma\) auf, so sagt man, \(\gamma\) parametrisiere \(M\). Es ist in der Funktionentheorie üblich, einen Weg und seine Spur mit demselben Symbol zu kennzeichnen, wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind.

Ist \(\gamma\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb{C}\) ein Integrationsweg und \(f\) eine auf \(\operatorname{Sp}\gamma\) stetige Funktion, so ist \(\int_{\gamma}f(z)\,dz:=\int_{a}^{b}f(\gamma(t))\cdot\gamma^{{}^{\prime}}(t)\,dt\) („Wegintegral von \(f\) längs \(\gamma\)“).

Benannt nach George Gabriel Stokes (1819–1903).

Benannt nach George Green (1793–1841).

Genauer gilt sogar: \(f\) ist komplex differenzierbar genau dann, wenn \(f\) reell differenzierbar ist und die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen für \(f\) erfüllt sind.

Dies ergibt sich mithilfe der Cauchyschen Integralformel, welche ihrerseits aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt.

Jede monoton wachsende (fallende) und nach oben (nach unten) beschränkte Folge reeller Zahlen ist in \(\mathbb{R}\) konvergent.

Jede nach oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge von \(\mathbb{R}\) besitzt in \(\mathbb{R}\) ein Supremum.

Jede unendliche, beschränkte Teilmenge von \(\mathbb{R}\) besitzt in \(\mathbb{R}\) einen Häufungspunkt. Dieser Satz ist nach Bernhard Bolzano und Karl Weierstrass benannt.

Jede auf einem Intervall \(I\subset\mathbb{R}\) stetige Funktion, welche die Werte \(\alpha\) und \(\beta\) (\(\alpha<\beta\)) annimmt, nimmt auch jeden Wert \(\gamma\in[\alpha,\beta]\) zwischen \(\alpha\) und \(\beta\) als Funktionswert an.

Wird aus jedem \(R_{n}\) ein Punkt \(z_{n}\) gewählt, so hat die beschränkte Folge \((z_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) in \(R_{1}\) nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass einen Häufungspunkt \(z_{0}\), der zu \(R_{1}\) gehört, weil \(R_{1}\) kompakt ist. Nach (1) ist aber für jedes \(\mu> 1\) der Punkt \(z_{0}\) auch Häufungspunkt der Folge \((z_{n})_{n\geq\mu}\) in \(R_{\mu}\) und liegt deshalb im Kompaktum \(R_{\mu}\). Mehr als einen Punkt kann \(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}R_{n}\) wegen (2) aber nicht enthalten, woraus \(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}R_{n}=\{z_{0}\}\) folgt. Alternativ hätte man auch die Intervallschachtelungen betrachten können, die durch die Projektionen der Rechtecksfolge \((R_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) auf die reelle bzw. die imaginäre Achse für \(\operatorname{Rerm}z_{0}\) bzw. für \(\operatorname{Imrm}z_{0}\) gegeben sind.

Einfach-zusammenhängende Gebiete \(G\subset\mathbb{C}\) lassen sich auf viele unterschiedliche Weisen charakterisieren. Eine sehr anschauliche Beschreibung ist: \((\mathbb{C}\setminus G)\) hat keine beschränkten Zusammenhangskomponenten, \(G\) hat also keine „Löcher“.

M. Glatfeld in Überlegungen zum Induktionsbegriff – unter fachdidaktischer Hinsicht. Verlag Peter Lang, Frankfurt (1987).

Eine Bezeichnung für die Handlung, mit der man die Induktionsvoraussetzung für die Durchführung des Induktionsschlusses nutzbar machen kann.

Solange es weniger sind als die (endliche) Anzahl aller Raben, die die Erde je bevölkert haben und noch bevölkern werden.

Zu je zwei Peano-Algebren \((M,e,\varphi)\) und \((N,f,\psi)\) gibt es eine bijektive Abbildung \(\alpha\colon M\longrightarrow N\) mit \(\alpha(e)=f\) und \(\alpha\circ\varphi\circ\alpha^{-1}=\psi\).

Aus \(t\mid a\) und \(t\mid b\) folgt stets \(t\mid(a+b)\).

Vgl. dazu die Ausführungen zu den vier kombinatorischen Grundaufgaben in Abschn. 1.2.5.

Titel: Heurismen der Induktion
verfasst von: Wolfgang Schwarz
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Problemlösen in der Mathematik
Print ISBN: 978-3-662-56761-6

Electronic ISBN: 978-3-662-56762-3

Copyright-Jahr: 2018
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56762-3_2

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