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Über dieses Buch

Mathematik lehren heißt Denken lehren und nicht nur das rezepthafte Abarbeiten von Kalkülen. Wie kann dies gelingen? In diesem Buch werden einige Antworten auf Grundlage heuristischer Strategien gegeben. Diese stellen einen wesentlichen Teil der Methode der Mathematik dar und sind damit zentral für das Verständnis mathematischer Handlungen und Kompetenzen. Die Anwendung dieses fachdidaktisch fundierten theoretischen Konzeptes wird durch vielfältige detaillierte Beispiele aus der Schulmathematik illustriert.

Das Buch richtet sich an Fachdidaktiker, Lehrerbildner, Studierende des Lehramtes sowie praktizierende Lehrerinnen und Lehrer und zeigt viele Möglichkeiten auf, wie heuristischen Strategien in der Schule konkret für den Unterricht genutzt werden können. Dabei wird deutlich, dass diese Strategien sowohl in der Schulmathematik als auch in der Universitätsmathematik omnipräsent sind. Auf diese Weise wird ein roter Faden von der Mathematik in der Grundschule über die weiterführende Schule bis zur Universität sichtbar.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Heuristische Strategien werden hier, wie auch schon bei Pólya, als zentraler Teil der Methode der Mathematik aufgefasst. Es wird eine Zusammenfassung der in der Literatur genannten heuristischen Strategien beschrieben und verwendet und an zahlreichen Beispielen das Auftreten dieser Strategien in der Mathematik von der Grundschule bis in die Universität dargestellt. Damit wird der Fachdidaktik eine Sichtweise hinzugefügt, die hier als Methodendidaktik bezeichnet wird. Methodendidaktik analysiert Fachinhalte analog zur Stoffdidaktik, fokussiert jedoch auf die implizit in der Mathematik enthaltenen Denkvorgänge und verwendet dafür ein weit gefasstes Konzept von heuristischen Strategien.
Peter Stender

Theoretische Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 2. Heuristische Strategien

Zusammenfassung
Heurstische Stratgien wurden bereits von unterschiedlichen Autoren thematisiert (unter anderen Pólya, Engel, Dörner, Kießwetter und vielen anderen). Diese Strategien warden hier vorgestellt und mit Beispielen aus der Schulmathematik und teilweise der Universitätsmathematik illustriert.
Peter Stender

Kapitel 3. Beweisstrategien

Zusammenfassung
Als Beweisstrategien werden diejenigen heuristischen Strategien bezeichnet, für deren Anwendung in der Mathematik das Verwenden der formalen Sprache weitgehend unverzichtbar ist. Diese Beweisstrategien spielen in der Mathematik eine zentrale Rolle und gehören zum Standardrepertoire des Fachs. Sie werden oft im Mathematikstudium explizit thematisiert. Diese Strategien werden hier beschrieben und durch schulnahe Beispielen illustriert. Dazu gehören auch kleinere Beweistricks, die in Beweisen, Herleitungen und Umformungen oft verwendet werden, deren strategische Bedeutung jedoch selten thematisiert wird. Viele dieser Beweisstrategien und Beweistricks stellen formalsprachliche Spezialfälle heuristischer Strategien dar.
Peter Stender

Kapitel 4. Kompetenzen und Strategien

Zusammenfassung
Die Zielsetzungen der Arbeit in Bildungsprozessen wird seit etwa zwanzig Jahren mit dem Kompetenzbegriff formuliert. Die Bildungspläne der Kultusministerkonferenz stellen den Kompetenzbegriff ins Zentrum der Zielbeschreibung von Bildungsprozessen, wobei der im Rahmen des Pisa-Prozesses entwickelte Kompetenzbegriff für die Bildungspläne im Fach Mathematik verwendet wird. Dabei hat sich der verwendete Kompetenzbegriff sowohl in den Bildungsplänen als auch im Pisa-Framework im Laufe der Zeit weiter entwickelt, so dass die aktuelle Sichtweise sich von den frühen Konzepten sichtbar unterscheidet. Hier wird der Kompetenzbegriff geklärt, sowie einige Konsequenzen aus dem Kompetenzkonzept für das Lernen und Lehren gezogen. Ferner wird dargestellt, welche Beziehung die Heuristischen Strategien zu den Kompetenzen haben. Dabei wird deutlich, dass die heuristischen Strategien als feineres Raster zur Beschreibung der Kompetenzen verwendet werden können.
Peter Stender

Rekonstruktion von Strategien in der Schulmathematik

Frontmatter

Kapitel 5. Strategien in der Grundschule

Zusammenfassung
Heuristischen Strategien können in erheblichem Umfang schon in sehr vielen Inhalten der Grundschulmathematik rekonstruiert werden. Werden diese Inhalte unterrichtet, sollen Schülerinnen und Schüler gleichzeitig die mit den Strategien verbundenen Denkweisen erlernen und später an anderen Inhalten nutzen. Gelingt dies, so ist Mathematikunterricht bereits in der Grundschule eine Denkschulung und nicht nur die Vermittlung von Basiskalkülen. Dabei ist nicht gemeint, dass die Strategien im Unterricht explizit erklärt werden sollen - mit entsprechend abstrakten Darstellungen sind Schülerinnen und Schüler in Grundschule sicherlich weitgehend überfordert. Lehrerinnen und Lehrer sollten jedoch bewusst mit den Strategien umgehen und sie nutzen, um die unterrichteten Verfahren zu erklären oder auch um typische Probleme im Lernprozess zu identifizieren, um dann darauf angemessen zu reagieren.
Peter Stender

Kapitel 6. Zahlenbereichserweiterungen

Zusammenfassung
In der Sekundarstufe wird der Zahlenraum, in dem die Schülerinnen und Schüler operieren sollen, schrittweise erweitert. Üblicherweise werden zunächst die positiven rationale Zahlen/positiven Brüche entwickelt, und dann die negativen Zahlen. Später werden noch reelle Zahlen gebildet. Es werden die beiden erstgenannten Zahlenbereichserweiterungen betrachtet. Hier wird keine vollständige Didaktik des Bruchrechnens entfaltet, es warden lediglich diejenigen Aspekte betrachtet, die aus Sicht der heuristischen Strategien relevant sind. Dabei treten die zentralen Gedanken zum Verständnis des Bruchbegriffs und von Dezimalzahlen in den Fokus.
Peter Stender

Kapitel 7. Strategien beim funktionalen Denken

Zusammenfassung
Der Funktionsbegriff ist einer der wichtigsten aber für Schülerinnen und Schüler auch schwierigsten Begriffe der Schulmathematik. Es wird zunächst eine mathematische Klärung des Gegenstandes vorgenommen. Die dabei stattfindende Begriffsklärung soll nicht dazu dienen, dass der Unterricht in der Schule von einem formal definierten Funktionsbegriff geprägt wird. Die mathematische Klärung ermöglicht jedoch, die implizit enthaltenen heuristischen Strategien zu analysieren. Diese hier durchgeführte Analyse führt zu wesentlichen Schlussfolgerungen für den Mathematikunterricht.
Peter Stender

Kapitel 8. Vom Lösen quadratischer Gleichungen

Zusammenfassung
Die Fähigkeit zum Lösen von quadratischen Gleichungen ist eine der zentralen Fertigkeiten, die im Mathematikunterricht der Mittelstufe erworben werden. Dabei gibt es unterschiedliche Lösungsverfahren, die hier zunächst dargestellt werden. Dann warden die dabei in großem Umfang verwendeten heuristischen Strategien identifiziert.
Peter Stender

Kapitel 9. Figurierte Zahlen

Zusammenfassung
Der Ausdruck „Figurierte Zahlen“ steht für Zahlenfolgen oder Zahlen, die sowohl durch geometrische Repräsentationen dargestellt werden also auch durch die Systematik der Zahlenfolge oder durch die Struktur der Zahl beschrieben werden können. Durch den Vergleich der unterschiedlichen Repräsentationen können Formeln oder Bildungsgesetze gefunden werden. Aus streng mathematischer Sicht werden die Gesetzmäßigkeiten dadurch nicht bewiesen, es handelt sich jedoch um sehr überzeugende Argumentationen, die daher als präformale Beweise gelten. Aus Sicht der heuristischen Strategien stellen figurierte Zahlen eine Möglichkeit dar zu zeigen, wie Formeln durch den Vergleich von Repräsentationen gefunden werden können.
Peter Stender

Kapitel 10. Kreiszahl π – Näherungsverfahren von Archimedes

Zusammenfassung
Die Berechnung des Umfangs und des Flächeninhaltes eines Kreises ist traditionell ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Mathematik. Dabei steht nicht nur die praktische Bedeutung im Rahmen der Geometrie im Fokus, sondern auch historische Aspekte und die einzigartige Symmetrie des Kreises. Das Näherungsverfahren von Archimedes zur Bestimmung der Kreiszahl π wird hier beschrieben und die reichhaltig auftretenden heuristischen Strategien werden analysiert.
Peter Stender

Kapitel 11. Modellieren

Zusammenfassung
Heuristische Strategien treten beim Modellieren vielfach auf. Hier wird zum Beispiel „Tanken“ (nach Blum und Leiß) ein ausführlicher Lösungsweg dargestellt und in Hinblick auf die im Lösungsprozess verwendeten heuristischen Strategien analysiert.
Peter Stender

Kapitel 12. Ein trigonometrisches Problem

Zusammenfassung
Hier wird ein komplexes eher innermathematisches Problem beschrieben und zusammen mit einem ausführlicher Lösungsprozess beschrieben, wobei jeweils die verwendeten heuristischen Strategien mit dargestellt werden. Der Einsatz in der Schule sollte auf besonders interessierte Schülergruppen beschränkt werden, für die Lehrerbildung stellt das Problem eine anspruchsvolle Fragestellung dar. Das Auftreten von heuristischen Strategien in klassischen mathematischen Problemen ist eigentlich selbstverständlich und wird hier durch dieses Beispiel nochmals illustriert. Dabei adressiert dieses Beispiel eher Leser, die auch Freude an umfangreichen formalen Arbeitsschritten haben.
Peter Stender

Kapitel 13. Universitärer Ausblick – Jordansche Normalform

Zusammenfassung
Die Jordansche Normalform ist ein wichtiger Meilenstein in dem Modul „Lineare Algebra“ im Mathematikstudium, das regelhaft auch Studienbestandteil des gymnasialen Lehramts ist. Die Jordansche Normalform hat dabei einerseits eine große mathematische Bedeutung, da viele Resultate der in der Lehre vorangegangenen Fachinhalte hier verwendet werden, andererseits wird die Nutzung eines sehr großen Anteils der beschriebenen heuristischen Strategien hier wirksam.
Peter Stender

Heuristische Strategien: Relevanz für Theorie und Praxis des Unterrichts

Frontmatter

Kapitel 14. Bedeutung der heuristischen Strategien für das Bild von Mathematik und deren Lehre

Zusammenfassung
Betrachtet man Mathematik auf Basis einer mit heuristischen Strategien struk-turierten Sichtweise, so treten gegenüber einer eher fachsystematisch geprägten Sichtweise weitere Aspekte in den Vordergrund, die für die Lehre der Mathematik Konsequenzen haben können:
Peter Stender

Kapitel 15. Heuristische Strategien im Unterricht

Zusammenfassung
Die Frage, wie heuristische Strategien vermittelt werden können, wurde schon vielfach thematisiert, ohne dass sich dabei ein einfacher erfolgreicher Weg eindeutig abzeichnet. Hier werden mögliche Zugänge beschrieben und diskutiert. Daneben wird das Nutzen heuristischer Strategien für Lehrerintervention beim Problemlösen und Modellieren und für die Unterrichtsplanung analysiert.
Peter Stender

Kapitel 16. Zusammenfassung

Zusammenfassung
Die Verwendung Heuristischer Strategien wurde in einem weiten Spektrum mathematisch fachwissenschaftlicher Inhalte dargestellt. Dadurch wird deutlich, dass heuristische Strategien ein zentraler Bestandteil der mathematischen Methode sind. Als relevanter Teil der Methode der Mathematik werden die heuristischen Strategien vielfältig in Lehr-Lern-Prozessen wirksam. Ein einzelner der betrachteten Aspekte würde nicht zwangsläufig die Notwendigkeit der intensiven Befassung der heuristischen Strategien begründen, die Vielzahl der Aspekte, in denen heuristische Strategien für die Lehre wirksam werden, macht die intensive Befassung mit diesem Konzept für jede Lehrperson verpflichtend. Diese werden hier zusammenfassend dargestellt.
Peter Stender

Backmatter

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