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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

High Frequency Weighted Resolvent Estimates for the Dirichlet Laplacian in the Exterior Domain

verfasst von : Vladimir Georgiev, Mario Rastrelli

Erschienen in: New Trends in the Applications of Differential Equations in Sciences

Verlag: Springer Nature Switzerland

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Abstract

In this paper, we want to present several resolvent estimates for the Dirichlet Laplacian in exterior domain. The estimates evaluate a weighted \(L^2\) norm with a weight measured by a negative power of the distance from the boundary. We consider an exterior domain \(\varOmega \), that is the complementary of a compact in \(\textbf{R}^n\), and the inhomogeneous Helmotz equation on it. If the exterior domain is non-trapping, there are cut-off resolvent estimates without weights. Our main result is that we can improve the estimates putting the weights. The main idea is the polar change of coordinates, where \(r=d(x,\partial \varOmega )\), that allows us to use the Hardy inequality close to the boundary of the domain. Kato smoothing estimate is obtained as a consequence of the weighted cut-off resolvent estimates.

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Metadaten
Titel
High Frequency Weighted Resolvent Estimates for the Dirichlet Laplacian in the Exterior Domain
verfasst von
Vladimir Georgiev
Mario Rastrelli
Copyright-Jahr
2024
Buch
New Trends in the Applications of Differential Equations in Sciences

Print ISBN: 978-3-031-53211-5

Electronic ISBN: 978-3-031-53212-2

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-53212-2_9

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