Historisches und Grundsätzliches über das Unendliche und den Gebrauch Idealer Punkte

Seit altersher haben sich Mathematiker mit dem Problem des Unendlichen beschäftigt und sich von ihm herausgefordert gefühlt. Doch stets war das Unendliche ein etwas sprödes Mädchen, leichtfertige Annäherungsversuche wurden sehr ungnädig behandelt und mit Paradoxien beantwortet. Die elementarste (und wie manche sagen, eigentlich die einzige) Erscheinungsform des Unendlichen ist die des potentiellen Unendlichen: Man kann ohne Grenzen weiterzäjilen, Größen halbieren etc.. Möchte man aber über eine solchermaßen erzeugte Gesamtheit von Dingen, mag sie nun “fertig” da sein oder nicht, etwas beweisen, so muß ein solcher Beweis seiner Natur nach einmalfertig und somit endlich sein. Um aber über unendliche Objekte in finiter Zeit reden zu können, bedarf es gewisser zusätzlicher Prinzipien oder Methoden, die es erlauben, an einer gewissen Stelle den Schluß zu ziehen, daß jetzt alle unendlich vielen Möglichkeiten erledigt seien. Solche Mittel ermöglichen dann eine endlich lange Argumentation, weshalb man sie auch Finitarisierungsmaßnahmen nennen kann. Die klassische Mathematik hat eine ganze Reihe solcher Maßnahmen anzubieten, von denen noch die Rede sein soll. Sie bedeuten fast immer auch den Übergang vom potentiellen zum aktualen Unendlichen. Auf die philosophischen Hintergründe wollen wir hier nicht eingehen; sie sind auch bis zu einem gewissen Grade für den Mathematiker irrelevant, weil man es nämlich häufig offen lassen kann, ob ein unendliches Objekt “wirklich existiere”, oder ob man dies bloß hypothetisch, als Sprechweise annimmt (zum Begriff der “Finitarisierung” vergleiche man auch W.Felscher in [Fe]).