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2017 | Buch

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(Hoch)Schulmathematik

Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni

verfasst von: Tobias Glosauer

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch dient als Brücke zwischen Schul- und Hochschulmathematik. Zum einen hilft es Schülerinnen und Schülern sowie Studienanfängern, grundlegende Rechenfertigkeiten zu erwerben, die man bei jedem naturwissenschaftlich-technischen Studiengang beherrschen muss, wie z. B. (Un)Gleichungen lösen, Grenzwerte bestimmen oder Integrale knacken. Hat man sich diese Fertigkeiten bereits vor Studienbeginn angeeignet, so ist der Sprung ins kalte Uni-Wasser deutlich weniger erschreckend. Andererseits eröffnet dieser Text auch freundlich geschriebene Einblicke in die Schönheit der reinen Mathematik: Wir lernen logisch zu argumentieren und Beweise zu führen, erfreuen uns am Körper der komplexen Zahlen, beginnen uns in Vektorräumen wohl zu fühlen und machen erste rigorose Bekanntschaften mit dem Unendlichen. Aufgrund der vielen Beispiele zusammen mit den zahlreichen Aufgaben inklusive ausführlichen Lösungen eignet sich dieses Buch sowohl zum Selbststudium wie auch als Unterrichtstext für Lehrerinnen und Lehrer, die hier viel nützliches Material zur Vertiefung des Unterrichts finden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Formales Fundament

Frontmatter

1. Ein wenig Logik

Zusammenfassung

Logik ist die vom griechischen Philosophen-Boss Aristoteles (384 - 322 v.Chr.) begründete wissenschaftliche Disziplin vom ″korrekten Schlussfolgern″, die heutzutage ein eigenständiges Gebiet der mathematischen Grundlagenforschung ist. Wir stellen hier lediglich ein paar bescheidene Grundkonzepte der Logik vor, die uns im weiteren Verlauf des Buches von Nutzen sein werden.

Tobias Glosauer

2. Beweismethoden

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die gängigsten mathematischen Beweismethoden anhand zahlreicher Beispiele erläutert. Hauptsächlich wird es dabei um Aussagen aus der elementaren Zahlentheorie gehen. Die dort zu beweisenden Aussagen lassen sich nämlich sehr einfach formulieren und für den Beweis selbst braucht man meist nur sehr wenig Vorkenntnisse; oftmals genügen schon die aus der Schule bekannten Rechenregeln. Zusätzlich werden jedoch einige grundlegende Fakten über Zahlen und Teilbarkeit benötigt, die wir im nächsten Abschnitt kurz vorstellen.

Tobias Glosauer

3. Mengen und Abbildungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel lernst du, mit Mengen und den Abbildungen zwischen ihnen umzugehen. Auch hier werden teilweise wieder hohe Anforderungen an dein Abstraktionsvermögen und deine mathematische Denkweise gestellt, wie du sie von der Schule her kaum gewohnt sein wirst. Wie immer gilt: Nicht verzagen und deinem Gehirn ruhig etwas Zeit geben, damit es sich nach und nach an die neuen Begriffe und Konzepte gewöhnen kann.

Tobias Glosauer

Anfänge der Analysis

Frontmatter

4. Grenzwerte von Folgen und Reihen

Zusammenfassung

Wir machen nun unsere erste (rigorose) Bekanntschaft mit dem Unendlichen und lernen eines der wichtigsten und fruchtbarsten Konzepte der Analysis kennen: den Grenzwert.

Tobias Glosauer

5. Grundwissen Differenzialrechnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf das, was in der Schule oftmals etwas zu kurz kommt: Eine präzise Einführung des Begriffes der ″Ableitung einer Funktion″. Zusammen mit dem Integralbegriff ist dies wohl die bedeutsamste Anwendung des Grenzwert-Konzepts in der Mathematik schlechthin. Auf Dinge wie z.B. Berechnung von Extrem- und Wendepunkten gehen wir hier nicht näher ein – dies wird im Matheunterricht ja auch bis zum Umfallen eingeübt. Allerdings stellen wir ausführlich die Ableitungsregeln bereit, die wir in Kapitel 8 benötigen werden.

Tobias Glosauer

6. Grundwissen Integralrechnung

Zusammenfassung

Wir stellen hier die Grundlagen für Kapitel 8 bereit, nämlich den Begriff der Stammfunktion sowie elementare Integrationsregeln. Anschliessend feiern wir einen weiteren Siegeszug der Grenzwert-Idee, indem wir das bestimmte Integral als Grenzwert gewisser Summen einführen.

Tobias Glosauer

Rechenfertigkeiten

Frontmatter

7. Lösen von (Un)Gleichungen

Zusammenfassung

Nachdem wir uns bis jetzt mit vielen abstrakten und theoretisch anspruchsvollen Konzepten auseinander gesetzt haben, kommt nun ein Kapitel, in dem endlich mal wieder ″ganz normal″ gerechnet werden darf. Einige der hier vorgestellten Lösungsmethoden werden dir aus der Schule noch in guter Erinnerung sein, aber bereits bei Bruch-, Wurzel-, oder gar Betragsgleichungen (von den zugehörigen Ungleichungen ganz zu schweigen) bist du vielleicht schon nicht mehr ganz so sattelfest.

Tobias Glosauer

8. Die Kunst des Integrierens

Zusammenfassung

In diesem Kapitel lernst du, wie man komplizierteren Integralen zu Leibe rückt. Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse in Integralrechnung (siehe Kapitel 6) sowie die Produkt- und Kettenregel (siehe Kapitel 5).

Tobias Glosauer

Abstrakte Algebra

Frontmatter

9. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Dieses und das nächste Kapitel sollen dir einen kleinen Einblick in die wunderbare Welt der Algebra vermitteln. Algebra ist hier nicht wie du es aus der Schule gewohnt bist das ″Rechnen mit Buchstaben″, sondern es geht vielmehr darum, die Struktur gewisser Objekte (wie z.B. sogenannter Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, Moduln etc.) zu studieren und die Eigenschaften von strukturerhaltenden Abbildungen (sogenannter Homomorphismen) zwischen diesen Strukturen zu verstehen. Einigen dieser abstrakten Konzepte wollen wir nun anhand zahlreicher Beispiele Leben einhauchen. Bei den komplexen Zahlen beginnen wir ganz moderat und rechnen viele konkrete Zahlenbeispiele durch, allerdings geben wir auch hier schon einen kleinen Einblick in die axiomatische Methode der Algebra, indem wir uns mit den sogenannten Körperaxiomen auseinandersetzen.

Tobias Glosauer

10. Grundzüge der Linearen Algebra

Zusammenfassung

Dieses letzte Kapitel bietet dir eine Einführung in das Teilgebiet der Algebra, das als Lineare Algebra bekannt ist. Die Bedeutung des Wortes ″ linear″ wird dabei erst im Laufe des Kapitels klarer werden. Wir lernen hier, uns in Vektorräumen wohl zu fühlen und mit Abbildungen zwischen diesen Objekten zu hantieren. Gleich als Trost oder Warnung vorneweg: Zu Beginn können einem die vielen neuen Begriffe und Strukturen etwas auf den Magen schlagen, und man verliert möglicherweise den Überblick. Gibt man seinem Gehirn aber ein wenig Zeit, dies alles zu verdauen und sich setzen zu lassen, dann lichtet sich plötzlich der Nebel und alles wird wunderschön!

Tobias Glosauer

Anhang

Frontmatter

11. Ein paar Übungsklausuren

Zusammenfassung

Zum Nachtisch serviere ich noch einige Original-Klausuren aus meinen MathePlus-Kursen.

Tobias Glosauer

Backmatter

Titel: (Hoch)Schulmathematik
verfasst von: Tobias Glosauer
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-14763-1
Print ISBN: 978-3-658-14762-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-14763-1