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Über dieses Buch

Dieses Buch dient als Brücke zwischen Schul- und Hochschulmathematik. Zum einen hilft es Schülerinnen und Schülern sowie Studienanfängern, grundlegende Rechenfertigkeiten zu erwerben, die man bei jedem naturwissenschaftlich-technischen Studiengang beherrschen muss, wie z. B. (Un)Gleichungen lösen, Grenzwerte bestimmen oder Integrale knacken. Hat man sich diese Fertigkeiten bereits vor Studienbeginn angeeignet, so ist der Sprung ins kalte Uni-Wasser deutlich weniger erschreckend. Andererseits eröffnet dieser Text auch freundlich geschriebene Einblicke in die Schönheit der reinen Mathematik: Wir lernen logisch zu argumentieren und Beweise zu führen, erfreuen uns am Körper der komplexen Zahlen, beginnen uns in Vektorräumen wohl zu fühlen und machen erste rigorose Bekanntschaften mit dem Unendlichen. Aufgrund der vielen Beispiele zusammen mit den zahlreichen Aufgaben inklusive ausführlichen Lösungen eignet sich dieses Buch sowohl zum Selbststudium wie auch als Unterrichtstext für Lehrerinnen und Lehrer, die hier viel nützliches Material zur Vertiefung des Unterrichts finden.

Die vorliegende Neuauflage wurde durch einige neue Beispiele und Aufgaben ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Formales Fundament

Frontmatter

Kapitel 1. Ein wenig Logik

Logik ist die vom griechischen Philosophen-Boss Aristoteles (384 - 322 v.Chr.) begründete wissenschaftliche Disziplin vom „korrekten Schlussfolgern“ , die heutzutage ein eigenständiges Gebiet der mathematischen Grundlagenforschung ist. Wir stellen hier lediglich ein paar bescheidene Grundkonzepte der Logik vor, die uns im weiteren Verlauf des Buches von Nutzen sein werden.
Tobias Glosauer

Kapitel 2. Beweismethoden

In diesem Kapitel werden die gängigsten mathematischen Beweismethoden anhand zahlreicher Beispiele erläutert. Hauptsächlich wird es dabei um Aussagen aus der elementaren Zahlentheorie gehen. Die dort zu beweisenden Aussagen lassen sich nämlich sehr einfach formulieren und für den Beweis selbst braucht man meist nur sehr wenig Vorkenntnisse; oftmals genügen schon die aus der Schule bekannten Rechenregeln. Zusätzlich werden jedoch einige grundlegende Fakten über Zahlen und Teilbarkeit benӧtigt, die wir im nächsten Abschnitt kurz vorstellen.
Tobias Glosauer

Kapitel 3. Mengen und Abbildungen

In diesem Kapitel lernst du, mit Mengen und den Abbildungen zwischen ihnen umzugehen. Auch hier werden teilweise wieder hohe Anforderungen an dein Abstraktionsvermӧgen und deine mathematische Denkweise gestellt, wie du sie von der Schule her kaum gewohnt sein wirst. Wie immer gilt: Nicht verzagen und deinem Gehirn ruhig etwas Zeit geben, damit es sich nach und nach an die neuen Begriffe und Konzepte gewӧhnen kann.
Tobias Glosauer

Anfänge der Analysis

Frontmatter

Kapitel 4. Grenzwerte von Folgen und Reihen

Wir machen nun unsere erste (rigorose) Bekanntschaft mit dem Unendlichen und lernen eines der wichtigsten und fruchtbarsten Konzepte der Analysis kennen: den Grenzwert.
Tobias Glosauer

Kapitel 5. Grundwissen Differenzialrechnung

In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf das, was in der Schule oftmals etwas zu kurz kommt: Eine präzise Einführung des Begriffes der „Ableitung einer Funktion“. Zusammen mit dem Integralbegriff ist dies wohl die bedeutsamste Anwendung des Grenzwert-Konzepts in der Mathematik schlechthin.
Tobias Glosauer

Kapitel 6. Grundwissen Integralrechnung

Wir stellen hier die Grundlagen für Kapitel 8 bereit, nämlich den Begriff der Stammfunktion sowie elementare Integrationsregeln. Anschließend feiern wir einen weiteren Siegeszug der Grenzwert-Idee, indem wir das bestimmte Integral als Grenzwert gewisser Summen einführen.
Tobias Glosauer

Rechenfertigkeiten

Frontmatter

Kapitel 7. Lösen von (Un)Gleichungen

Nachdem wir uns bis jetzt mit vielen abstrakten und theoretisch anspruchsvollen Konzepten auseinander gesetzt haben, kommt nun ein Kapitel, in dem endlich mal wieder „ganz normal“ gerechnet werden darf. Einige der hier vorgestellten Lösungsmethoden werden dir aus der Schule noch in guter Erinnerung sein, aber bereits bei Bruch-, Wurzel-, oder gar Betragsgleichungen (von den zugehörigen Ungleichungen ganz zu schweigen) bist du vielleicht schon nicht mehr ganz so sattelfest. Siehe auch [Glo1] für eine noch elementarere Darstellung dieser Thematik.
Tobias Glosauer

Kapitel 8. Die Kunst des Integrierens

In diesem Kapitel lernst du, wie man komplizierteren Integralen zu Leibe rückt. Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse in Integralrechnung (siehe Kapitel 6) sowie die Produkt- und Kettenregel (siehe Kapitel 5).
Tobias Glosauer

Abstrakte Algebra

Frontmatter

Kapitel 9. Komplexe Zahlen

Dieses und das nächste Kapitel sollen dir einen kleinen Einblick in die wunderbare Welt der Algebra vermitteln.
Tobias Glosauer

Kapitel 10. Grundzüge der Linearen Algebra

Dieses letzte Kapitel bietet dir eine Einführung in das Teilgebiet der Algebra, das als Lineare Algebra bekannt ist. Die Bedeutung des Wortes „linear“ wird dabei erst im Laufe des Kapitels klarer werden. Wir lernen hier, uns in Vektorräumen wohl zu fühlen und mit Abbildungen zwischen diesen Objekten zu hantieren.
Tobias Glosauer

Anhang

Frontmatter

Kapitel 11. Ein paar Übungsklausuren

Zum Nachtisch serviere ich noch einige Original-Klausuren aus meinen MathePlus-Kursen. Die Bearbeitungszeit betrug stets gemütliche 100 min. Handschriftliche Lösungen sind auf der im Vorwort genannten Homepage zu finden.
Tobias Glosauer

Kapitel 12. Lösungen zu den Übungsaufgaben

Ist eine Aussage, die offenbar falsch ist.
Tobias Glosauer

Backmatter

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