Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch stellt ausgehend von der analytischen Geometrie im Raum sowie den komplexen Zahlen die Kerninhalte der Linearen Algebra dar: Vektorräume, Abbildungen, Matrizen und Gleichungssysteme.

Das Buch ist besonders für Studierende in anwendungsorientierten Bachelorstudiengängen geeignet, da mathematische Begriffe hier aus konkreten Problemstellungen heraus motiviert und anhand zahlreicher durchgerechneter Beispiele erläutert werden. Beweisideen werden anhand exemplarischer Situationen skizziert, sodass sich ein gutes Verständnis für die wesentlichen Zusammenhänge einstellt.

Am Ende jedes Abschnitts finden sich Beispielaufgaben, die an Ort und Stelle vollständig gelöst werden und die Herangehensweise Schritt für Schritt zeigen. Zusätzliche Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels dienen der selbstständigen Wiederholung sowie der Klausurvorbereitung, ausführliche Musterlösungen dazu sind am Ende des Buchs zusammengefasst.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Vektoren im Raum

Zusammenfassung
Vektoren werden als Verschiebungen im \(\mathbb {R}^3\) eingeführt. Die elementaren Vektoroperationen werden erklärt und einfache geometrische Aufgaben gelöst. Länge und Winkel bei Vektoren werden mit dem skalaren Produkt verknüpft.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 2. Vektorielles Produkt und Geometrie

Zusammenfassung
Zwei Vektoren spannen ein Parallelogramm auf. Seine Fläche ergibt die Länge des vektoriellen Produkts. Die Richtung des vektoriellen Produkts orientiert die Fläche. Die Verbindung von skalarem und vektoriellem Produkt liefert das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats. Zusammen mit der Orientierung ergeben sich Rechtssysteme.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 3. Komplexe Zahlen

Zusammenfassung
Komplexe Zahlen werden als Zeiger in der Gaußschen Ebene eingeführt und ihre Körpereigenschaften herausgearbeitet. Neben die Kartesische Darstellung, die analog zur Vektorrechnung in der Ebene verläuft, wird die Polardarstellung mit Argument und Betrag gestellt. Die Multiplikation wird interpretiert als Drehung eines Zeigers in der Ebene. Schließlich wird auf die Lösung algebraischer Gleichungen und die Faktorisierung von Polynomen eingegangen.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 4. Matrizen und Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Die Rechenoperationen mit Matrizen werden erklärt. Zeilen- und Spaltenoperationen werden eingeführt und als Matrixoperationen dargestellt. Die Formulierung linearer Gleichungssysteme und ihre lösungsäquivalente Umformung wird erörtert. Der Gaußsche Algorithmus wird ausführlich vorgestellt. Die Matrixinversion wird diskutiert.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 5. Vektorräume

Zusammenfassung
Vektorräume im Allgemeinen werden betrachtet, insbesondere die Vektorräume der reellen und komplexen n-Tupel \(\mathbb {R}^n\) und \(\mathbb {C}^n\). Unterräume und Linearkombinationen werden eingeführt und zur linearen Unabhängigkeit und zur Basisdarstellung übergeleitet. Verschiedene Basen werden in Beziehung gesetzt. Das skalare Produkt aus dem \(\mathbb {R}^3\) wird verallgemeinert und zur Herstellung von Orthogonalsystemen verwendet.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 6. Matrizen und lineare Abbildungen

Zusammenfassung
Der Rang einer Matrix wird definiert. Die Bestimmung des Rangs wird eingehend beschrieben. Matrizen stellen lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen dar. Das Verhalten der darstellenden Matrix beim Basiswechsel wird geklärt. Die Dimension des Bildraums einer Abbildung stimmt mit dem Rang der darstellenden Matrix überein. Mit der Dimensionsformel für den Nullraum und dem Rangkriterium wird die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme erfasst.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 7. Determinanten

Zusammenfassung
Permutationen werden bereit gestellt, soweit ihre Eigenschaften für Determinanten gebraucht werden. Der Entwicklungssatz wird hergeleitet. Die Determinante wird als multilineare Abbildung betrachtet. Der Gaußsche Algorithmus vereinfacht die Berechnung der Determinante wesentlich. Die Cramersche Regel für quadratische Gleichungssysteme wird aus dem Entwicklungssatz hergeleitet.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 8. Eigenwerte und Eigenvektoren

Zusammenfassung
Eigenvektoren reproduzieren sich unter einer linearen Abbildung bis auf einen skalaren Faktor. Das charakteristische Polynom liefert geeignete Skalare: Eigenwerte. Zu einem Eigenwert gibt es einen Eigenraum. Ist seine Dimension nicht hinreichend groß, werden Haupträume herangezogen. Die besonderen Eigenschaften symmetrischer Matrizen und orthogonaler Matrizen werden geschildert.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 9. Diagonalisierung

Zusammenfassung
Eine Basis aus Eigenvektoren gestattet die Transformation einer Matrix auf Diagonalgestalt. Symmetrische Matrizen lassen sich stets diagonalisieren. Sie beschreiben quadratische Formen. Quadratische Formen werden klassifiziert mithilfe von Orthonomalbasen. Als letzte Matrixoperation wird das Exponential eingeführt. Dabei kommen die Diagonalisierung und die Hauptvektoren zum Einsatz.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Kapitel 10. Lösungen zu den Übungsaufgaben

Zusammenfassung
Am Schluss der vorausgegangenen Kapitel wurden Übungsaufgaben zum Wiederholen und Vorbereiten auf Klausuren vorgeschlagen. Lösungen und Hinweise zu sämtlichen Übungsaufgaben werden in diesem Kapitel gegeben. Dabei werden die Lösungen zu den einzelnen Kapiteln jeweils in einen Abschnitt gefasst.
Walter Strampp, Dörthe Janssen

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

    Bildnachweise