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Über dieses Buch

Das Buch schildert die wichtigsten Inhalte der Analysis. Durch zahlreiche Beispiele und ausführliche Übungen wird der Leser zur sicheren Beherrschung des Stoffs geführt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Reelle Zahlen

Zusammenfassung
Die reellen Zahlen werden eingeführt mit ihren Körper- und Anordnungseigenschaften. Wir legen die Grundlagen für Termumformungen und den Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen. Wir legen den Betrag einer Zahl fest, betrachten den Abstand zweier Zahlen auf der Zahlengeraden und arbeiten die Regeln für Beträge heraus.
Das Rechnen mit Summen, das Beweisprinzip der vollständigen Induktion und der Binomische Satz stellen unerlässliche Hilfsmittel der Analysis dar.
Walter Strampp

2. Folgen

Zusammenfassung
Folgen werden erklärt und verschiedene Darstellungsformen besprochen. Die Folgenkonvergenz ist grundlegend für die ganze Analysis. Auf ihr baut der Grenzwert bei Funktionen und damit die Stetigkeit, die Ableitung und das Integral auf. Wichtige Eigenschaften wie Monotonie und Beschränktheit werden erläutert.
Der Begriff der Teilfolge wird eingeführt und durch Beispiele verdeutlicht.
Der Nachweis der Konvergenz kann sich als schwierig erweisen und komplizierte Abschätzungen erfordern. Man kann dies vermeiden, wenn man Konvergenzsätze heranzieht und bereits bekannte Grenzwerte als Bausteine verwendet. Wir führen schließlich die Reihen als spezielle Folgen ein. Eine unendliche Reihe wird über die Folge von Teilsummen erklärt.
Walter Strampp

3. Funktionen

Zusammenfassung
Die Bestimmungsstücke einer Funktion werden erläutert: Definitionsbereich, Zuordnung, Wertemenge und Wertebereich. Anhand von Beispielen gehen wir der Frage der Einschränkung
einer Funktion und der Erweiterung einer Funktionsvorschrift nach.
Wir gehen auf die Darstellung von Funktionen durch Graphen ein. Operationen mit Funktionen, insbesondere die Verkettung und die Umkehrung, werden betrachtet. Folgen von Funktionswerten leiten zur Stetigkeit über. Grenzwerte geben Einsichten in den Funktionsverlauf. Wir bauen die wichtigen Funktionen Logarithmus und Exponentialfunktion unter Verwendung von Folgen und Grenzwerten auf. Äquivalente Stetigkeitsbegriffe werden diskutiert.
Walter Strampp

4. Differentiation

Zusammenfassung
Wir gehen von Sekanten in einem Grenzprozess zur Tangente über, vom Differenzenquotienten zur Ableitung. Die Tangente wird in ihrer Eigenschaft als berührende Gerade betrachtet.
Wir stellen Regeln für die Ableitung auf, sodass die Ableitung zusammengesetzter Funktionen aus den Ableitungen der Bestandteile erzeugt werden kann. Besonders eingehend behandeln wir die Kettenregel und die Ableitung der Umkehrfunktion. Der Mittelwertsatz garantiert, dass jede Sekante eine parallele Tangente besitzt und ermöglicht damit den Vergleich benachbarter Funktionswerte.
Als wichtige Folgerungen chakterisieren wir Extremalstellen, konstante Funktionen und monotone Funktionen. Einen breiten Raum nimmt die Regel von de l’Hospital bei der Berechnung von Grenzwerten ein.
Walter Strampp

5. Integration

Zusammenfassung
Der Integralbegriff geht vom Flächenbegriff aus.
Flächen unter Kurven werden durch Summen von Rechtecksflächen berechnet. Allgemein werden mit Riemannschen Summen über Grenzwertbildungen Integrale definiert. Wichtige Eigenschaften, wie Linearität, Intervalladditivität sowie Abschätzungen gestatten die Umwandlung eines Integrals in eine Rechtecksfläche. Damit bekommt man den Hauptsatz: Das Integral kann nach der oberen Grenze abgeleitet werden und stellt eine Stammfunktion der Ausgangsfunktion dar. Die Berechnung des Integrals kann auf die Herstellung einer Stammfunktion reduziert werden.
Diesem Problem sind die Abschnitte partielle Integration und Substitution gewidmet. Neben den allgemeinen Zugängen gibt es zahlreichen Methoden für bestimmte Funktionenklassen. Wir betrachten nur die wichtige Klasse der rationalen Funktionen und die Methode der Partialbruchzerlegung.
Schließlich geben wir die Vorraussetzungen der stetigen Funktion und des beschränkten Integrationsintervalls auf. Durch Grenzübergänge behandeln wir diese Fälle im Rahmen der uneigentlichen Integration.
Walter Strampp

6. Taylorentwicklung

Zusammenfassung
Der Mittelwertsatz gibt die Abweichung der Funktionswerte in einer Umgebung eines Entwicklungspunktes. Die Funktion wird durch eine Konstante ersetzt. Der Satz von Taylor gibt eine wesentlich feinere Annäherung durch Taylorpolynome.
Nicht nur die Funktionswerte sondern auch die Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung der Funktion und der Näherung stimmen überein. Wir fassen die Taylorpolnome als Teilsummen einer Reihe auf und gelangen zur Taylorreihe.
Der Satz von Taylor liefert uns alle Hilfsmittel für die Untersuchung einer Funktion auf Monotoniebereiche, Extremalstellen, Wendepunkte. Taylorpolynome werden anhand der Definition aufgestellt. Es wird gezeigt, wie man bekannte Entwicklungen benutzen kann, um langwierige Ableitungen zu vermeiden. Taylorpolynome werden herangezogen zur Berechnung von Näherungen von Funktionswerten der Wurzel, des Sinus und anderer durch Reihenentwicklungen gegebener Funktionen.
Walter Strampp

7. Reihen

Zusammenfassung
Wir gehen tiefer auf den Konvergenzbegriff ein und unterscheiden bedingte und absolute Konvergenz. Das Problem der Umordnung wird diskutiert und der Vorteil der absoluten Konvergenz herausgearbeitet.
Das Wurzel- und das Quotientenkriterium werden in einer Version bereitgestellt, die für eine große Klasse von Beispielen ausreicht. Darüber hinaus betrachten wir noch das Leibniz- und das Integralkriterium. Mit diesen Vorbereitungen kann die Frage nach der Konvergenz einer Taylor- bzw. Potenzreihe geklärt werden.
Viele Funktionen aus den Anwendungen werden durch Potenzreihen gegeben. Der letzte Abschnitt beschäftigt sich mit dem Rechnen mit Potenzreihen: der Multiplikation durch das Cauchy-Produkt, der Differenziation und der Integration. Summation und Differentiation bzw. Integration dürfen vertauscht werden. Die Differentiation und Integration von Potenzreihen erfolgt termweise.
Walter Strampp

8. Differentiation im ℝ n

Zusammenfassung
Die Grundbegriffe der Analysis müssen zunächst in den mehrdimensionalen Raum übertragen werden: Folgen, Funktionen, Grenzwerte.
Folgen und Funktionen werden in Komponenten zerlegt, sodass möglichst viele Konzepte aus der eindimensionalen Analysis übernommen werden können. Der Fall einer reellwertigen Funktion von zwei Variablen dient immer wieder als Modellfall. Wir können solche Funktionen durch Flächen im Raum oder durch Höhenlinien in der Ebene veranschaulichen. Der Einstieg in die Differentialrechnung erfolgt mit der partiellen Ableitung. über den Gradienten kommen wir zur totalen Ableitung einer Funktion. Anstelle der Tangente tritt nun die Tangentialebene. Bei den Ableitungsregeln stellen die Ableitung der Umkehrfunktion und die Kettenregel die größte Herausforderung dar, weil die Matrizenrechnung in die Überlegungen eingeht. Der Satz von Taylor für Funktionen einer Variablen besitzt eine unmittelbare Verallgemeinerung auf den mehrdimensionalen Fall. Wie bei der partiellen Ableitung schränken wir hierzu die Funktion auf eine Gerade ein und greifen auf den eindimensionalen Fall zurück. Wieder hilft der Satz von Taylor bei der Charakterisierung von Extremalstellen. Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall spielen Extremalstellen unter Nebenbedingungen eine große Rolle. Unter einer Nebenbedingung versteht man eine Einschränkung einer Funktion auf Kurven oder Flächen, die implizit gegeben und erst durch Auflösen von Gleichungen gewonnen werden.
Walter Strampp

9. Integration im ℝ n

Zusammenfassung
Mehrdimensionale Intervalle, Partitionen und ihre Feinheit werden eingeführt und Riemannsche Summen bei Funktionen von mehreren Variablen erklärt. Das Integral ergibt sich wieder als Grenzwert Riemannscher Summen.
Vertauschungen bei der Summenbildung führen auf das fundamentale Konzept der iterierten Integration und den Satz von Fubini. Integrale über mehrdimensionale Intervalle können auf eindimensionale Integrationen zurückgeführt werden. Der weitere Aufbau zielt auf die Verallgemeinerung des Integrationsgebiets. Von Intervallen gehen wir zu Mengen über, die längs einer Koordinatenachse projiziert werden können. Die Integration kann nach der Projektion iteriert unter Reduktion der Dimension ausgeführt werden. Typische Anwendung findet man in der Berechnung der Volumina beliebiger Körper nach dem Prinzip von Cavalieri. Die Beschreibung des Interationsgebiets stellt eine der wesenlichen Schwierigkeiten der mehrdimensionalen Integration dar. Die Substitutionsregel hat nicht nicht nur wie im eindimensionalen Fall die Aufgabe die Integration zu vereinfachen, sondern das Integrationsgebiet einer übersichtlichen Beschreibung zuzuführen. Typische Beispiele schildern die Beschreibung von Gebieten in den klassischen Koordinatensystemen Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten.
Walter Strampp

10. Integralsätze

Zusammenfassung
Ausgehend vom Funktionsgraphen werden Kurven und Flächen im Raum diskutiert. Parametrisierungen werden ineinander überführt und Tangenten und Normalenvektoren betrachtet. Längen- und Flächenelemente bilden die Grundlage für Kurven- und Flächenintegrale. Anschauliche Konzepte des Wegintegrals und Flusses eines Vektorfeldes durch eine Fläche werden vorgestellt. Potenzialfelder werden durch die Wegunabhängigkeit des Integrals charakterisiert.
Die Sätze von Green, Gauß und Stokes setzen die Begriffe Fluss eines Vektorfeldes, Divergenz und Rotation in Beziehung. Beim Satz von Green wird das Integral eines ebenen Vektorfelds längs der Randkurve mit einem Integral über eine Fläche verknüpft. Beim Satz von Gauß wird der Fluss eines Vektorfelds durch die Randfläche durch das Integral der Divergenz über den Normalbereich ausgedrückt. Beim Satz von Stokes wird das Integral eines Vektorfeldes längs der Randkurve durch eine Fläche den Fluss der Rotation durch ausgedrückt.
Walter Strampp

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