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2025 | Buch

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Höhere Mathematik auf Deutsch und Ukrainisch Вища математика нiмецькою та українською мовами

Band 1: Grundlagen und Lineare Algebra Том 1: Основнi поняття та лiнiйна алгебра

verfasst von: Andreas Johann, Irina Sidorenko, Oleg Burdo

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis
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Über dieses Buch

Das vorliegende Buch deckt den Inhalt eines typischen Kurses in Höherer Mathematik ab, wie er in den ersten Semestern eines Ingenieurstudiums in Deutschland gelesen wird und kann sowohl vor Beginn als auch während des Studiums sinnvoll genutzt werden.

Der Text wird zweisprachig (linke Spalte: Deutsch, rechte Spalte: Ukrainisch) gedruckt. Damit können ukrainische Studienanfänger nicht nur leicht dem Stoff der Vorlesung folgen, sondern parallel wichtige Fachbegriffe lernen, die normalerweise nicht Inhalt von Deutschkursen sind. Diese Begriffe werden im Text markiert, so dass gleich während des Lesens die entsprechenden Übersetzungen schnell gefunden werden können. Ergänzt wird das Buch durch eine kurze Einführung ins deutsche Bildungssystem und einen zweisprachigen Index mit Fachbegriffen und deren Übersetzung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Grundlagen/Основнi поняття
Zusammenfassung
Dieses Kapitel stellt mathematische Grundlagen vor, auf denen die nachfolgenden Kapitel aufbauen.
Am Beginn stehen die Aussagenlogik und Quantorenlogik. Hierauf folgen Mengen und Mengenoperationen. In einem Abschnitt über Zahlenbereiche behandeln wir die Struktur der natürlichen Zahlen, der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen.
Im Abschnitt über elementare Funktionen führen wir den Betrag, die Potenz, die Wurzel, den Logarithmus, die trigonometrischen Funktionen, das Summenzeichen und das Produktzeichen sowie Polynome ein. In diesem Zusammenhang behandeln wir jeweils die wichtigsten Rechenregeln für diese Funktionen.
In einem abschließenden Abschnitt über die Struktur mathematischer Resultate führen wir deren elementare Bausteine ein: Definition, Satz, Axiom und Beweis. Als Beispiel für ein Axiomensystem werden die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen vorgestellt. Mit deren Hilfe formulieren wir das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
Andreas Johann, Irina Sidorenko, Oleg Burdo
Kapitel 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie/Векторне числення та аналiтична геометрiя
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden allgemeine Grundlagen und geometrische Anwendungen der Vektorrechnung vorgestellt.
Wir führen zunächst geometrische Vektoren in der Ebene und im Raum ein. Mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems lassen sich diese durch Zahlenvektoren beschreiben. Wir verwenden diese Beziehung, um Konzepte wie die Norm eines Vektors und das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren zunächst geometrisch einzuführen und dann auf Zahlenvektoren beliebiger Dimension zu übertragen. Schließlich erhalten wir mit Hilfe der Axiomatisierung eine Verallgemeinerung auf beliebige Vektorräume. Dies führt uns zu allgemeinen normierten Vektorräumen (in denen Längen erklärt sind) und euklidischen Vektorräumen (in denen Längen und Winkel erklärt sind).
In der gleichen Weise führen wir das Vektorprodukt zweier Vektoren im Raum zunächst geometrisch ein, um es anschließend auf Zahlenvektoren zu übertragen. Mit seiner Hilfe definieren wir das Spatprodukt und verallgemeinern dieses zur Determinante in beliebigen Dimensionen.
Die Methoden der Vektorrechnung verwenden wir, um Geraden, Ebenen und Hyperebenen darzustellen und zu untersuchen. Neben Parameterdarstellungen führen wir die in vielen Anwendungen besonders praktische Hessesche Normalform ein.
Andreas Johann, Irina Sidorenko, Oleg Burdo
Kapitel 3. Lineare Gleichungssysteme/Системи лiнiйних рiвнянь
Zusammenfassung
Sowohl in der Mathematik als auch in den Natur- und Ingenieurwissenschaften führen viele Anwendungsprobleme auf lineare Gleichungssysteme.
Um lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Notation schreiben zu können, führen wir Matrizen und das Matrizenkalkül ein. In diesem Zusammenhang behandeln wir das Matrixprodukt. Mit Hilfe der transponierten Matrix und des Matrixprodukts stellen wir das euklidische Skalarprodukt und das dyadische Produkt zweier Vektoren dar. Ferner führen wir symmetrische und orthogonale Matrizen ein.
Wir verwenden die erweiterte Matrixform, um lineare Gleichungssysteme mit Hilfe der Gauß-Elimination auf Zeilenstufenform zu bringen. Anschließend lösen wir diese durch Rückwärtssubstitution. Hierbei formulieren wir Kriterien für die (eindeutige) Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems.
Den Abschluss des Kapitels bildet ein Abschnitt über die inverse Matrix und deren Berechnung mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus.
Andreas Johann, Irina Sidorenko, Oleg Burdo
Kapitel 4. Vektorraumtheorie und lineare Abbildungen/Теорiя векторного простору та лiнiйнi вiдображення
Zusammenfassung
Dieses Kapitel behandelt die allgemeine Theorie von Vektorräumen und von linearen Abbildungen.
Wir führen die Konzepte des Untervektorraums und der Basis ein. Während wir in Kapitel 2 ausschließlich kartesische Koordinatensysteme behandelt haben, können wir nun Vektoren bezüglich allgemeinerer Koordinatensysteme darstellen, die aus einer Basis entstehen.
Mit Hilfe von Basen können wir lineare Abbildungen als Matrix darstellen. Diese Technik verwenden wir, um Koordinatentransformationen (Basiswechsel) einzuführen. Mit deren Hilfe kann man lineare Abbildungen in angepassten Koordinaten konstruieren beziehungsweise analysieren. Wir formulieren das Normalformproblem (und den Spezialfall des Jordanschen Normalformproblems). Dieses besteht darin, zu einer gegebenen linearen Abbildung geschickte Koordinatensysteme zu finden, so dass bezüglich dieser Koordinatensysteme die lineare Abbildung durch eine möglichst einfache Matrix dargestellt wird. Diese Fragestellung hat eine Vielzahl an Anwendungen.
Im letzten Abschnitt beschäftigen wir uns mit Orthonormalbasen. Wir verwenden das Orthonormalisierungsverfahren nach Gram/Schmidt, um aus einer gegebenen Basis eines Vektorraums oder Untervektorraums eine Orthonormalbasis zu konstruieren. Der Vorteil einer Orthonormalbasis liegt darin, dass man die Koordinatendarstellung eines Vektors besonders einfach bestimmen kann. Zum Schluss betrachten wir orthogonale lineare Abbildungen und klassifizieren diese geometrisch als Drehungen oder Drehspiegelungen.
Andreas Johann, Irina Sidorenko, Oleg Burdo
Kapitel 5. Lineare Ausgleichsprobleme/Задача лiнiйної пiдгонки
Zusammenfassung
In den Natur- und Ingenieurwissenschaften beschreibt man Vorgänge oft durch idealisierte Gleichungen. Darin kommen in der Regel Parameter vor, die empirisch durch Messung bestimmt werden müssen. Um den Einfluss von Messfehlern zu reduzieren, ist es sinnvoll, zur Bestimmung der Parameter eine möglichst große Anzahl an Messwerten heranzuziehen. Diese Fragestellung führt auf überbestimmte Gleichungssysteme. Ziel ist es, die gesuchten Parameter so zu bestimmen, dass die gegebenen Messwerte möglichst gut approximiert werden.
Wir beschränken uns in diesem Kapitel auf Gleichungen, in denen die gesuchten Parameter linear vorkommen. Diese können mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems aus den Messwerten bestimmt werden. Bei der Verwendung von sehr vielen Messwerten zeigt es sich, dass das lineare Gleichungssystem in der Regel überbestimmt ist und somit keine Lösung besitzt.
Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate ermöglicht es, die gesuchten Parameter so zu bestimmen, dass die idealisierte Gleichung die Messwerte zwar nicht exakt wiedergibt, aber in einem geeigneten Sinne möglichst gut approximiert. Hierzu überführen wir das überbestimmte lineare Gleichungssystem in die Normalengleichung. Diese liefert die gesuchten Parameterwerte. Eine Fehlerabschätzung mit Hilfe des Residuenvektors gibt an, wie gut die ursprünglichen Messwerte approximiert werden.
Andreas Johann, Irina Sidorenko, Oleg Burdo
Kapitel 6. Komplexe Zahlen und Vektorräume/Комплекснi числа та векторнi простори
Zusammenfassung
In diesem Kapitel führen wir die komplexen Zahlen ein. Diese werden unter anderem im nachfolgenden Kapitel 7 über Eigenwertprobleme benötigt. Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenraum der reellen Zahlen. Das zentrale theoretische Resultat in diesem Kapitel ist der Fundamentalsatz der Algebra. Dieser besagt, dass sich innerhalb der komplexen Zahlen jedes Polynom in Linearfaktoren zerlegen lässt.
Wir interpretieren die komplexen Zahlen als Vektoren in der Gaußschen Zahlenebene. Neben der Darstellung durch Realteil und Imaginärteil führen wir die Polardarstellung ein. Für letztere erhalten wir mit Hilfe der Eulerschen Formel eine einfache Darstellung. Die Polardarstellung ermöglicht es, Gleichungen der Form zn = c zu lösen. Dieses Ergebnis nutzen wir, um eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen herzuleiten.
Im letzten Abschnitt verallgemeinern wir die in den vorangehenden Kapiteln entwickelte Theorie über Vektoren und Matrizen auf den komplexen Fall. Wir untersuchen das hermitesche Skalarprodukt und führen hermitesche sowie unitäre Matrizen ein.
Andreas Johann, Irina Sidorenko, Oleg Burdo
Kapitel 7. Eigenwertprobleme/Проблема власних значень
Zusammenfassung
Die Eigenwerttheorie ist der Schlüssel zur Lösung vieler praxisrelevanter Probleme. Beispiele sind die Bestimmung von Hauptträgheitsachsen in der Mechanik, die Lösung und Stabilitätsanalyse von Differentialgleichungen sowie das Jordansche Normalformproblem, das in Kapitel 4 formuliert wurde.
Ausgangspunkt ist eine quadratische Matrix A, für die wir die Eigenwertgleichung Ax = λx aufstellen. Die Eigenwerte λ bestimmen wir als Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Der in Kapitel 6 behandelte Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass das charakteristische Polynom innerhalb der komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt. Die zu jedem Eigenwert λ gehörenden Eigenvektoren x bestimmen wir mit Hilfe der in Kapitel 3 entwickelten Methoden als Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Der einfachste und wichtigste Spezialfall des Jordanschen Normalformproblems ist die Diagonalisierung von Matrizen. Wir lösen dieses Problem durch Koordinatentransformation auf eine Basis aus Eigenvektoren. Dabei geben wir allgemeine Kriterien für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix an.
In vielen Anwendungen treten symmetrische (oder hermitesche) Matrizen auf. Diese sind immer diagonalisierbar und haben ausschließlich reelle Eigenwerte. Wir verwenden die Methode der Hauptachsentransformation, um sie mit Hilfe einer orthogonalen (oder unitären) Transformationsmatrix zu diagonalisieren.
Andreas Johann, Irina Sidorenko, Oleg Burdo
Backmatter
Metadaten
Titel
Höhere Mathematik auf Deutsch und Ukrainisch Вища математика нiмецькою та українською мовами
verfasst von
Andreas Johann
Irina Sidorenko
Oleg Burdo
Copyright-Jahr
2025
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-71575-8
Print ISBN
978-3-662-71574-1
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-71575-8

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