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2024 | Buch

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Höhere Mathematik

Eine Brücke zwischen Theorie und Praxis

verfasst von: Laurent Demaret, Georg Schlüchtermann, Michael Wibmer

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch baut anhand vieler praktischer Beispiele auf Kenntnissen im Bachelorstudium der Ingenieurwissenschaften auf mit vorhandenen Grundkenntnissen in Linearer Algebra und Analysis. Jedes neue Kapitel wird durch motivierende Beispiele eingeleitet, die die Grundideen auf elementarem Niveau kurz erläutern, sie aber nicht streng einführen. Zudem wird auf das jeweils notwendige Basiswissen verwiesen, dessen Auffrischung gezielt angeraten wird. Mathematische Definitionen werden ebenfalls an Beispielen in angewandter Weise eingeführt. Alle wichtigen Elemente werden klar didaktisch hervorgehoben.

Die Zielgruppen

Studierende und Lehrende der Ingenieurwissenschaft, Naturwissenschaften, Wirtschafts- und Computerwissenschaften Auffrischung für Studierende der Mathematik und Physik

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Die Einführung beschreibt die Inhalte der Kapitel 2 bis 6 und erläutert kurz das didaktische Konzept.

Laurent Demaret, Georg Schlüchtermann, Michael Wibmer

Kapitel 2. Einführung in die Stabilitätstheorie

Zusammenfassung

Thematisch anknüpfend an das Grundstudium wird auf die Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen eingegangen. Allerdings wird kein Gewicht auf die Lösungstechniken gelegt, sondern das Studium des qualitativen Verhaltens von nicht notwendig bekannten Lösungen rückt in den Vordergrund. Dabei wird untersucht, wie sich Lösungen verhalten, welche in der Umgebung von so genannten kritischen Punkten starten. Zuerst werden lineare Systeme untersucht und klassifiziert. Folgend sind nichtlineare Systeme thematisiert, welche mit Hilfe der Charakterisierung der linearen Systeme auf das lokale qualitative Verhalten der Lösungen hin untersucht werden. Eine Vielzahl praktischer Beispiele erläutern Theorie und Anwendung. Das Kapitel schließt mit Übungsaufgaben und Fragen zum Verständnis.

Laurent Demaret, Georg Schlüchtermann, Michael Wibmer

Kapitel 3. Rand- und Eigenwertprobleme

Zusammenfassung

Einführende Beispiele aus den Anwendungen zeigen die Bedeutung der Randwertaufgaben gewöhnlicher Differenzialgleichungen in den Ingenieurwissenschaften. Darauf aufbauend wird der Unterschied zum Anfangswertproblem einer gewöhnlichen Differenzialgleichung dargelegt: es kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen geben. In diesem Kapitel werden überwiegend lineare Differenzialgleichungen und Randbedingungen behandelt und dafür ein Kriterium zur Beantwortung der Lösbarkeit gegeben. Beispiele aus der Praxis begleiten diese Theorie. Folgend werden Eigenwertprobleme behandelt, welche im Kapitel zu partiellen Differentialgleichungen eine wichtige Anwendung finden. Am Schluss gibt es in den Übungen und den Kurzfragen Gelegenheit, den Stoff zu vertiefen.

Laurent Demaret, Georg Schlüchtermann, Michael Wibmer

Kapitel 4. Integraltransformationen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden drei für unterschiedlichste Anwendungen wichtige Integraltransformationen behandelt: die Fourierreihen, die Laplacetransformation und die Fouriertransformation. Dabei wird jeder Abschnitt durch kurze Beispiele eingeleitet, um deren Relevanz zu beschreiben. Ausführlich wird auf die Fourierreihe einer stückweise stetigen und periodischen Funktion eingegangen. Nach der Herleitung der Reihe selbst und der damit verbundenen Berechnungsformel werden die wesentlichen Eigenschaften präsentiert. Die anschließend behandelte Laplacetransformation findet vor allem Bedeutung bei der Lösung von linearen Differenzialgleichungen. Die abschießende Fouriertransformation wird mit ihrer Grundidee präsentiert sowie Eigenschaften und Formeln vorgestellt. Die zur Berechnung notwendigen mathematischen Werkzeuge werden in diesem Buch nicht behandelt. Deshalb werden nur elementare Beispiele geliefert, diese sind für ein grundlegendes Verständnis ausreichend. Das Kapitel wird durch Übungen und Kurzfragen zum Verständnis abgeschlossen.

Laurent Demaret, Georg Schlüchtermann, Michael Wibmer

Kapitel 5. Partielle Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Partielle Differenzialgleichungen spielen eine wesentliche Rolle in den Ingenieurwissenschaften. Zunächst werden die grundlegenden Begriffe und Einteilungen vorgestellt. Ausführlich wird auf die linearen partiellen Differenzialgleichungen und deren Klassifizierung eingegangen. Aus den Anwendungen werden drei charakteristische Gleichungen hergeleitet, um deren Relevanz aufzuzeigen. Da es keine einheitliche Theorie zur Lösung von partiellen Differenzialgleichungen und deren Existenz gibt, werden für spezielle Typen von partiellen Differentialgleichungen geeignete Lösungsverfahren vorgestellt. Vor allem das Charakteristikenverfahren für Gleichungen erster Ordnung und der Separationsansatz für lineare partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung werden im Detail besprochen. Hier wird auf die klassische Einteilung in Wellen-, Wärmeleitungs- und Laplacegleichung eingegangen und deren Gemeinsamkeiten wie Unterschiede behandelt. Bei den letzten drei Typen werden Ausblicke und Vertiefungen gegeben. Jeder Abschnitt wird durch Übungsaufgaben und Kurzfragen zum Verständnis abgeschlossen.

Laurent Demaret, Georg Schlüchtermann, Michael Wibmer

Kapitel 6. Grundlagen der Stochastik

Zusammenfassung

Es werden die Grundlagen für das Studium im Bereich Stochastik und Statistik gelegt. Diese umfassen Begriffe wie den Wahrscheinlichkeitsraum, die Zufallsvariablen, die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz. Danach werden die mehrdimensionalen Verteilungen mit der Anwendung auf die Verteilung von Summen von Zufallsvariablen behandelt. Schließlich werden noch Quantilfunktion, Transformationen und wichtige Grenzwertsätze besprochen. Als Abschluss wird ein Einblick in das Gebiet der stochastischen Prozesse gegeben, ein wichtiges Konzept z. B. für Datenanalyse und Künstliche Intelligenz. Alle Abschnitte können mit Übungsaufgaben und Kurzfragen zum Verständnis vertieft werden.

Laurent Demaret, Georg Schlüchtermann, Michael Wibmer

Kapitel 7. Probeklausuren

Zusammenfassung

In diesem letzten Kapitel präsentieren wir drei verschiedene Probeklausuren zu den Inhalten dieses Buches. Diese Probeklausuren sollen eine Idee einer möglichen Klausur als Abschlussprüfung einer einsemestrigen Vorlesung darstellen.

Laurent Demaret, Georg Schlüchtermann, Michael Wibmer

Backmatter

Titel: Höhere Mathematik
verfasst von: Laurent Demaret
Georg Schlüchtermann
Michael Wibmer
Copyright-Jahr: 2024
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-45217-9
Print ISBN: 978-3-658-45216-2
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-45217-9

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