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01.10.2016 | Ausgabe 1/2016

Designs, Codes and Cryptography 1/2016

\({\text {SL}}_2\) homomorphic hash functions: worst case to average case reduction and short collision search

Zeitschrift:
Designs, Codes and Cryptography > Ausgabe 1/2016
Autoren:
Ciaran Mullan, Boaz Tsaban
Wichtige Hinweise
Communicated by K. Matsuura.

Abstract

We study homomorphic hash functions into \({\text {SL}}_2({q})\), the \(2\times 2\) matrices with determinant 1 over the field with q elements. Modulo a well supported number theoretic hypothesis, which holds in particular for concrete homomorphisms proposed thus far, we provide a worst case to average case reduction for these hash functions: upto a logarithmic factor, a random homomorphism is as secure as any concrete homomorphism. For a family of homomorphisms containing several concrete proposals in the literature, we prove that collisions of length \(O(\log {q})\) can be found in running time \(O(\sqrt{q})\). For general homomorphisms we offer an algorithm that, heuristically and according to experiments, in running time \(O(\sqrt{q})\) finds collisions of length \(O(\log q)\) for q even, and length \(O({\log }^2{q}/\log {\log {q}})\) for arbitrary q. While exponetial time, our algorithms are faster in practice than all earlier generic algorithms, and produce much shorter collisions.

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