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05.07.2014 | Ausgabe 1/2016

Journal of Dynamical and Control Systems 1/2016

Horizontal Gradient of Polynomial Functions for the Standard Engel Structure on ℝ4

Zeitschrift:
Journal of Dynamical and Control Systems > Ausgabe 1/2016
Autoren:
Si Tiep Dinh, Krzysztof Kurdyka

Abstract

We investigate the set V f of horizontal critical points of a polynomial function f for the standard Engel structure defined by the 1-forms ω 3 = d x 3x 1 d x 2 and ω 4 = d x 4x 3 d x 2, endowed with the sub-Riemannian metric \(g_{\text {SR}}=d{x_{1}^{2}}+d{x^{2}_{2}}\). For a generic polynomial, we show that the set Γ f of points in V f , where V f is not transverse to the Engel distribution, does not have a connected component which is contained in a fiber of f. Then, we prove that each trajectory of the horizontal gradient of f approaching the set V f has a limit.

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