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Über dieses Buch

Dieses Buch stellt ausgehend von der Kontinuitätsgleichung, den Eulergleichungen und der Adiabatengleichung zunächst die Hydrodynamik idealer Fluide dar. Die Behandlung von viskosen Fluiden und den entsprechend modifizierten Grundgleichungen erfolgt über die Navier-Stokes-Gleichungen und die Wärmetransportgleichung, welche die Energiedissipation in realen Fluiden beschreiben. Außerdem werden Diffusionsprozesse in inhomogenen Fluiden und bei der Brown’schen Bewegung untersucht. Diffusion spielt auch bei der Teilchenerzeugung in relativistischen Kollisionen von Bleikernen am LHC eine wichtige Rolle. Eine Lorentz-invariante relativistische Formulierung der Hydrodynamik wird ebenfalls präsentiert. Kapitel über Anwendungen der Hydrodynamik in der Astrophysik und auf Superfluide wie Helium bei tiefen Temperaturen runden diese Einführung in ein breites und modernes Forschungsgebiet ab.

Die Neuauflage enthält zusätzlich ein Kapitel über nichtlineare Diffusionsprozesse in fermionischen und bosonischen Systemen mit ihrer Anwendung auf die Bildung von Bose-Einstein-Kondensaten bei niedrigen Energien und Temperaturen sowie auf die lokale Equilibrierung von Quarks und Gluonen in Schwerionenkollisionen bei hohen relativistischen Energien.

Testaufgaben am Ende des Buchs motivieren den Leser, sich den Stoff aktiv anzueignen. Der Autor liefert mit diesem Werk eine kurze Einführung für Physikstudierende in die Hydrodynamik. Doch auch Promovierende und Wissenschaftler finden in den fortgeschrittenen Teilen eine gute Hinführung zu aktuellen Forschungsfragestellungen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung
Die Hydrodynamik ist ein Gebiet der Kontinuumsmechanik, der Mechanik der deformierbaren Medien, das sich auf die Betrachtung von Fluiden mit bestimmten Eigenschaften konzentriert. In der Einleitung wird der Zusammenhang zwischen der Hydrodynamik und den verwandten und übergeordneten Disziplinen dargestellt, und die Grundgleichungen werden benannt.
Georg Wolschin

2. Ideale Fluide

Zusammenfassung
Bereits im vorigen Kapitel wurden die Charakteristika idealer Fluide erwähnt: sie haben keine Viskosität und keine Wärmeleitfähigkeit. Im Folgenden werden die Grundgleichungen der Hydrodynamik für ideale Fluide abgeleitet. Die Kontinuitätsgleichung gilt sowohl für ideale als auch für viskose Fluide, während die Euler’schen Gleichungen und die Adiabatengleichung spezifisch für ideale Fluide sind. Die Bernoulli’sche Gleichung ist besonders für Anwendungen im Turbinenbau und der Aerodynamik wichtig. Lösungen der Euler’schen Gleichungen im linearisierten Fall werden diskutiert, ausserdem Elemente der Hydrostatik, der Energie- und Impulsstrom im Fluid, die Zirkulation und der Thomson’sche Satz, Potenzialströmungen und inkompressible Fluide. Die Stromfunktion ermöglicht eine elegante Berechnung ebener (zweidimensionaler) Strömungen mit Methoden der Funktionentheorie. Die Beschreibung von Fluidwellen – Oberflächenwellen, die an die Grenze zweier Medien gebunden sind – beschliesst das Kapitel.
Georg Wolschin

3. Viskose Fluide

Zusammenfassung
Bei Strömungen viskoser Fluide untersucht man die Auswirkungen von Prozessen mit Energiedissipation auf die Strömung. Aufgrund der inneren Reibung (\(=\) Viskosität) und der Wärmeleitfähigkeit wird die Strömung thermodynamisch irreversibel.
Die Navier-Stokes-Gleichungen treten dann an die Stelle der Euler’schen Gleichungen. Die dissipativen Effekte werden durch Viskositäts- und Zähigkeitskoeffizienten beschrieben, die im Allgemeinen Funktionen von Druck und Temperatur sind, jedoch oft näherungsweise konstant gesetzt werden können. Die Energiedissipation in einem Fluid bewirkt eine Abnahme der mechanischen Energie. Beispiel einer viskosen Strömung ist die stationäre Strömung einer inkompressiblen, zähen Flüssigkeit durch ein Rohr, bei der sich das Geschwindigkeitsprofil und die Durchflussmenge (Hagen-Poiseuille’sches Gesetz) aus den Grundgleichungen berechnen lassen. Ein wichtiges Kriterium für die Entstehung von Turbulenz liefert die Reynold’sche Zahl; bei kleinen Werten vereinfachen sich die Navier-Stokes’schen Gleichungen und die Stokes’sche Formel für den Strömungswiderstand kann abgeleitet werden. Die Strömung im Bereich des laminaren Nachlaufs lässt sich in der Oseen’schen Näherung der Grundgleichungen berechnen.
Georg Wolschin

4. Turbulenz

Zusammenfassung
Laminare Strömungen eines viskosen Fluids werden für große Reynolds-Zahlen Re im Allgemeinen instabil gegenüber infinitesimalen Störungen: Die Störung klingt nicht mit der Zeit ab, sondern wächst an; die Strömung wird turbulent. Für jeden Strömungstyp gibt es ein eigenes Rekrit, z. B. liegt es bei der Strömung um feste Körper im Allgemeinen zwischen 10 und 100. Im turbulenten Fall wird den Navier-Stokes-Gleichungen eine turbulenzerzeugende Kraft hinzugefügt und es werden statistische Mittelwerte für die Geschwindigkeit, die dissipierte Energie usw. berechnet. In manchen Fällen – insbesondere bei entwickelter Turbulenz – ist dies näherungsweise analytisch möglich, z.B. beim Wirbelverteilungsgesetz für die mittlere quadratische Energie. Bei manchen Strömungstypen gibt es keine Instabilität, wohl aber Turbulenz; dazu ist eine endliche Störung des laminaren Profils erforderlich. Es gibt dann eine doppelte Schwelle für den Turbulenzeinsatz: Sowohl Re als auch die Störung müssen groß genug sein. Das Strömungsprofil unterscheidet sich im turbulenten Fall stark von dem einer laminaren Strömung. Ohne makroskopische Störung setzt Turbulenz allein über infinitesimale Instabilitäten ein, so bei der Taylor-Couette-Instabilität und der Rayleigh-Bénard-Zelle. Damit eine Strömung stabil bleibt (nicht turbulent wird), müssen kleine Störungen mit der Zeit abklingen, wie sich dies in der Landau’schen Stabilitätstheorie mathematisch beschreiben lässt. Es werden einige Beispiele für entwickelte Turbulenz in astrophysikalischen Umgebungen vorgestellt.
Georg Wolschin

5. Grenzschichten

Zusammenfassung
Bei sehr großen Reynolds-Zahlen kann das Fluid allgemein als ideal angesehen werden. Dies gilt jedoch nicht in der Nähe fester Wände, da dort für viskose Fluide sowohl die Normal- als auch die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit am Rand verschwindet, beim idealen Fluid dagegen nur die Normalkomponente gleich Null sein muss.
Die Abnahme von \(\mathbf{v}\) auf \(0\) für große Reynolds-Zahlen erfolgt fast vollständig in einer dünnen Fluidschicht an den Wänden, der Grenzschicht. Hier haben die Geschwindigkeitsgradienten hohe Werte; die Strömung kann dort laminar oder turbulent sein. Die Zähigkeit verursacht den Geschwindigkeitsabfall in der Grenzschicht bis zu \(\mathbf{v}=0\). Der Rand der Grenzschicht ist nicht scharf. Das Verhalten des Fluids in der Grenzschicht lässt sich durch die Prandtl’schen Gleichungen beschreiben.
Georg Wolschin

6. Wärmetransport

Zusammenfassung
Mit Berücksichtigung von Viskosität und Wärmeleitung besteht das Gleichungssystem der Hydrodynamik aus den Navier-Stokes-Gleichungen, der Kontinuitätsgleichung und einer fünften \(-\) thermodynamischen \(-\) Gleichung. Sie tritt an die Stelle der Adiabatengleichung bei idealen Fluiden, welche dort für die Erhaltung der Entropie steht. Wegen der irreversiblen Energiedissipation ist bei viskosen Fluiden die Entropie nicht erhalten; vielmehr wächst sie an.
Mit dem Energieerhaltungssatz, der Energiestromdichte für den viskosen Fall, den Navier-Stokes-Gleichungen und der Kontinuitätsgleichung lässt sich die Wärmetransportgleichung ableiten. Wir untersuchen den Wärmetransport bei inkompressiblen Fluiden, die Wärmeleitung in einem unbegrenzten Medium und die Konvektion, bei der man den Viskositätsterm in der Wärmetransportgleichung vernachlässigen kann, sofern die Temperaturdifferenzen groß sind gegen die Temperaturveränderung durch Wärmeentwicklung.
Georg Wolschin

7. Diffusion

Zusammenfassung
Bisher haben wir das Fluid als homogen angenommen. Bei Gemischen, deren Zusammensetzung vom Ort abhängt, werden die hydrodynamischen Gleichungen wesentlich abgeändert.
Wenn sich die Zusammensetzung durch molekularen Massentransport aus einem Teilvolumen in ein anderes ändert, liegt zeitlich irreversible Diffusion vor - im Gegensatz zu mechanischer Durchmischung, bei der sich jedes Teilvolumen als Ganzes mit unveränderter Zusammensetzung bewegt.
Findet der Konzentrationsausgleich bei einem Gemisch aus zwei oder mehreren Komponenten durch molekularen Massentransport statt, handelt es sich um Diffusion. Dann kommt zum Substanzstrom in der Kontinuitätsgleichung der sogenannte Diffusionsstrom hinzu; die so modifizierte Gleichung bezeichnet man auch als sechste Grundgleichung der Hydrodynamik bei Gemischen, und mit Hilfe der thermodynamischen Größen erhalten wir die verallgemeinerte Wärmetransportgleichung. Die Ausdrücke für Energie und Enthalpie enthalten dabei einen zusätzlichen Term mit dem Differenzial der Konzentration. Bei kleinen Konzentrationen ergibt sich eine reine Diffusionsgleichung mit derselben Gestalt wie die Wärmetransportgleichung für eine ruhende Flüssigkeit. Auf dieser Grundlage berechnen wir als Beispiel die ortsabhängige Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Brown’sches Teilchen, das in einer Flüssigkeit suspendiert ist. Eine aktuelle Anwendung ist die Diffusion beim Stopping und der Teilchenerzeugung in relativistischen Schwerionenkollisionen, wie sie derzeit am Relativistic Heavy Ion Collider RHIC in Brookhaven und am Large Hadron Collider LHC in Genf untersucht werden. Dabei vergleichen wir das relativistische Diffusionsmodell mit experimentellen Daten.
Georg Wolschin

8. Nichtlineare Diffusion

Zusammenfassung
Zahlreiche Diffusionsvorgänge in Physik, Chemie und Biologie lassen sich wie im vorherigen Kapitel dargestellt durch lineare Diffusionsgleichungen vom Langevin- oder Fokker-Planck-Typ beschreiben. Die Gleichgewichtsverteilungen, die für \(t\rightarrow\infty\) erreicht werden, sind hier Maxwell-Boltzmann-Verteilungen oder – im Fall relativistischer Systeme – Maxwell-Jüttner-Verteilungen. Dies ist jedoch nicht der Fall in Diffusionsprozessen, bei denen die Quantennatur der Teilchen eine Rolle spielt: In diesem Fall sind die Gleichgewichtsverteilungen Bose-Einstein-Verteilungen für Bosonen und Fermi-Dirac-Verteilungen für Fermionen. Der Weg zum statistischen Gleichgewicht lässt sich dann nicht mehr durch lineare Gleichungen beschreiben, sondern mithilfe einer Nichtlinearität im Driftterm. Die in vorherigen Kapiteln dargestellten einfachen Lösungsverfahren über Fourier-Transformation reichen nicht aus – die Lösung des Nichtgleichgewichtsproblems wird wesentlich schwieriger. In einigen Spezialfällen lassen sich dennoch analytische Lösungen finden, die in diesem Kapitel dargestellt und auch mit numerischen Lösungen verglichen werden. Diese Lösungen sind sowohl bei hohen relativistischen Energien anwendbar – wie bei der Equilibrierung von Gluonen (Trägerteilchen der starken Wechselwirkung) und Quarks im Anfangsstadium relativistischer Schwerionenkollisionen –, als auch bei sehr niedrigen Energien und Temperaturen, wie bei der zeitabhängigen Bildung eines Bose-Einstein-Kondensats aus kalten Atomen. Beispiele für beide Gebiete werden vorgestellt und für kalte Quantengase mit experimentellen Ergebnissen verglichen.
Georg Wolschin

9. Relativistische Hydrodynamik

Zusammenfassung
Relativistische Effekte müssen in der Hydrodynamik berücksichtigt werden, wenn
(1)
die Geschwindigkeit der makroskopischen Fluidströmung \(\left|\mathbf{v}\right|\) mit der Lichtgeschwindigkeit \(c\) vergleichbar wird oder
 
(2)
die Geschwindigkeiten der mikroskopischen Bewegung der Fluidteilchen mit \(c\) vergleichbar werden.
 
Während wir im Kapitel über Diffusion relativistische Prozesse durch die Einführung relativistischer Variablen berücksichtigt hatten, sollen nun die Grundgleichungen der Hydrodynamik entsprechend modifiziert werden.
Sind starke Gravitationsfelder vorhanden, kann es notwendig sein, auch die allgemeine Relativitätstheorie zu berücksichtigen; hier beschränken wir uns jedoch auf speziell-relativistische Effekte. Sofern es – wie in der Astrophysik – starke Magnetfelder gibt, muss die Theorie zur Magnetohydrodynamik erweitert werden. Während im Regelfall die Navier-Stokes Gleichungen mit den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik kombiniert werden, erfordert beispielsweise die Untersuchung von Radiojets relativistisch-magnetohydrodynamische Gleichungen. Ohne Berücksichtigung der Magnetfelder folgen die Bewegungsgleichungen für ideale Fluide im relativistischen Fall direkt aus der Energie-Impuls-Erhaltung mit dem Energie-Impuls-Tensor für eine Flüssigkeit. Bei Berücksichtigung von dissipativen Termen lässt sich dann auch das Analogon zu den Navier-Stokes-Gleichungen ableiten.
Georg Wolschin

10. Astrophysikalische Hydrodynamik

Zusammenfassung
Das Gebiet der astrophysikalischen Hydrodynamik konzentriert sich auf die Betrachtung statischer und dynamischer Probleme bei Fluiden in nichtterrestrischen Umgebungen. Sterne bestehen aus Gasen, die im Wesentlichen homogen sind und ihr eigenes Gravitationsfeld erzeugen - sie simulieren die Bewegung eines Fluids im Feld, so dass sich hydrodynamische Methoden verwenden lassen. Alle Arten von hydrodynamischem Fluss, die sich auf der Erde beobachten lassen, finden sich auch im Universum, jedoch auf wesentlich grösseren Skalen. Hier werden Schockwellen im Universum als ein repräsentatives Kapitel herausgegriffen, und für zusätzliche Themen wird auf die umfangreiche weiterführende Literatur verwiesen.
Georg Wolschin

11. Hydrodynamik der Superflüssigkeiten

Zusammenfassung
Als Quantenflüssigkeiten bezeichnet man Fluide in der Nähe des absoluten Nullpunkts, wo Quanteneffekte ins Spiel kommen. Bis \(0\,{\mathrm{K}}\) bleibt nur Helium flüssig. Bei He-4 haben Kern und Atom den Spin Null, so dass hier die Bose-Einstein-Statistik gilt, während He-3 Spin 1/2 hat und dementsprechend unterhalb des Siedepunktes von 3,19 K eine Fermi-Flüssigkeit ist. In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf Bose-Flüssigkeiten und beschreiben die Hydrodynamik von Superfluiden auf der Grundlage einer Theorie, die Tisza und Landau unabhängig voneinander für He II (superflüssiges Helium unterhalb des sogenannten Lambda-Punktes bei 2,18 K) entwickelt hatten. Die Fermi-Flüssigkeit He-3 wird ebenfalls superfluid, jedoch erst bei Temperaturen unter 1/1000 K; die Hydrodynamik ist dort wesentlich komplizierter. Wir behandeln die hydrodynamischen Gleichungen für He II und beschreiben dabei die Eigenschaften der superfluiden Strömung durch eine normale und eine superfluide Komponente. Auf diese Weise lässt sich auch die Schallausbreitung im Superfluid und das experimentell bestätigte Phänomen des zweiten Schalls erfassen.
Georg Wolschin

12. Testaufgaben

Zusammenfassung
Die 20 Testaufgaben in diesem Kapitel sollen die Leserinnen und Leser motivieren, sich den Stoff dieses Buches durch selbständiges Rechnen anzueignen. Oft finden sich die Lösungen in den jeweiligen Kapiteln, manchmal sind sie auch direkt angegeben.
Georg Wolschin

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